牛顿是如何发现微积分的导火索——二项幂级数的？其过程引人思考！
本系列文章预计会有20个章节，这套文献将系统讲述数学本身，这里是数学篇第一季第16篇。
副标题：牛顿是如何发现二项幂级数的 16
大家好，我是科学羊🐏。
关于微积分的产生以及如何发展以及未来，我们后面会专门开个专辑来讲，这篇我们来谈谈牛顿的伟业。
01 一个孤寂的男孩，再谈神童
在一个被岁月深深印记的1642年圣诞节，一个被命运选中的孩子诞生在一座简陋的石头农舍里，他就是后来名垂青史的艾萨克·牛顿。
他的出生本就是一个奇迹，作为一个弱小的早产儿，他的身躯竟然如此之小，以至于可以被放入一个仅1.136升容量的杯子中。
遗憾的是，他来到这个世界时，并没有父亲的陪伴。他的父亲，一位辛勤的自耕农，早在牛顿出生前三个月便撒手人寰，留下了一些谷物、家具和羊群。
牛顿三岁那年，他的母亲汉娜再嫁给了富有的巴纳巴斯·史密斯牧师，却将他留给外祖父母抚养。
这个决定在牛顿心中埋下了深深的创伤和怨恨。这段不幸的童年反映在他后来所罗列的“罪行”中，其中包括了对继父及母亲的愤怒，以及对周围世界的猛烈抵触。
这个无伴而孤独的小男孩拥有无限的空闲时间，他开始独自探索学问的海洋。他在农舍里建造日晷，以此来观察时间的流逝和光影的变化。
当他十岁时，他的母亲带着另外三个孩子回到了他的身边，并将他送往八英里外的格兰瑟姆学校。那里，他寄宿在一位药剂师家中，开始接触药物学、化学和天文学等领域。
牛顿在学校并不突出，甚至被认为是个懒散、注意力不集中的学生。但他的内心世界却极其丰富，他在夜晚独自一人时，对着墙壁上画着阿基米德的圆和多边形。
16岁那年，他被迫离开学校，回家帮助经营家庭农场。但他对农活毫无兴趣，反而更加沉迷于书籍和科学实验。最终，他的母亲在亲友的建议下，让他重返学校。
1661年，牛顿以优异的成绩进入剑桥大学三一学院，虽然他必须通过做服务员的工作来维持生计。
在大学的前两年，牛顿忙于学习传统的哲学理论，但很快他的兴趣转向了数学和科学。他开始自学当时的数学教科书，快速掌握了复杂的数学概念和技巧。
牛顿的大学生涯开启了他的科学探索之旅。他的孤独和内心的痛苦成为了他科学追求的动力。
在那个远离世俗的学术殿堂里，他不仅深入研究数学，还探索了天文学、物理学和化学等领域，逐渐铺展开他那充满传奇色彩的科学生涯。
02 牛顿是如何发现二项幂级数
好，接下来我们看看牛顿是如何证明的。
这一切都开始于1664-1665年的冬天，年轻的牛顿在认真阅读约翰 · 沃利斯的《无穷算术》中这本书时 ，偶然发现了某个神奇数学方法。
约翰 · 沃利斯
它是一种求解曲线下方面积的新方法，既简单又具有系统性。
这是一本17世纪数学的开创性著作。Wallis提出了一种新颖的归纳法来确定 π 的值，牛顿也想设计出类似的方法。他从求可调宽度x的“弓形”的面积开始。
上图是单位圆下面的区域，由
一个单位圆的面积是 π，就像牛顿知道的那样，所以当 x = 1时，曲线下的面积是单位圆的 π/4，但是对于 x 的其他值，什么都不知道。
如果牛顿能够找到一种方法来确定曲线下面积的每一个可能的 x 值，这可能会给他一个前所未有的方法来逼近 π。这本来是他的宏伟计划。
这是牛顿的第一个创举，使用变量x的好处在于，就像转动一个旋钮一样，他可以不断调整这个区域的形状。当x的值很小且接近于0时，就会产生一个细而竖直的圆弓形，看上去好像立在边缘处的细条；增大x会使这个圆弓形变宽为一个块状区域；当x的值为1时，则会得到他熟悉的形状——1/4圆。
所以，通过上下转动旋钮，牛顿可以得到介于0和1之间的任意大小的x。
借助实验、模式识别和启发性猜测这个随心所欲的过程（他从沃利斯的书中学到的一种思考方式），牛顿发现圆弓形的面积可以用下面的幂级数来表示：
那么他是怎么得到的呢？
牛顿的第一步是通过类比进行推理。他没有直接瞄准弓形的面积，而是研究了由以下曲线界定的类似段的面积:
牛顿知道整数幂列表中曲线下的面积(如02 = 0和22 = 1)很容易计算，因为它们在代数上简化了。比如说
同样的，
但是对于圆的方程
但是这个问题牛顿避开了，转而去求解对应于整数次方的圆弓形面积，后一个问题很容易解决，因为牛顿从沃利斯的书中习得了相关方法。
也就是上面那些数学公式，其实是圆的弓形所有面积S，这个问题当然很容易解决。
他运用二项式定理将表达式展开后，发现它们都变成了简单幂函数的和，而这些幂函数正是我们在下图看到的那些被他编制成表格的面积函数。
牛顿22岁的笔记手稿
之后，他开始寻找圆弓形面积随x变化的模式。根据对应于整数次方的圆弓形面积，牛顿猜出了对应于1/2次方的圆弓形面积（这是他的第三个创举），并用各种方法检验他的答案。
这个答案引领他建立了A(x)的公式，也就是前文中展示的那个由奇异分数构成的令人惊叹的幂级数。
由于篇幅原因，再具体的证明方法，请大家自行查阅！我主要向为大家表达这个证明思想，这也是后期为微积分打基础。
所以，我们会学到，
1、从这里可以看出，如果一个问题太难，我们可以尝试改变它，不要死钻牛角尖！
2、如果它看起来太具体了，那就归纳一下，总能发现这其中规律。
牛顿两者都做到了，这可能就是牛顿之所以是牛顿的原因，并且得到了比他最初所追求的更重要、更有力的结果。
当然，在他的后期工作中，艾萨克·牛顿发现了一种强大的数学工具：幂级数。
这一发现对他的微积分研究产生了革命性的影响，我们后期再谈。
利用幂级数，牛顿能够轻松地进行积分计算，解决代数方程，甚至精确计算正弦、余弦和对数等函数的值。
正如他自己所表述的那样：“借助这些工具，分析学的能力达到了巅峰，几乎所有的问题都能找到解决之道。”
当然，牛顿在幂级数的应用上并未止步。
他将其应用拓展至自然对数和三角函数领域，因为在天文学、测量学和航海领域中，圆形、周期性和三角形的计算无处不在，三角函数的应用至关重要。
然而，值得注意的是，牛顿并非幂级数的首位发现者。
事实上，早在他之前的几个世纪，印度喀拉拉邦的数学家们已经发现了正弦、余弦和反正切函数的幂级数表达式。
16世纪初，印度数学家加斯特德维和尼拉坎撒·萨马亚吉在他们的著作中，将这些成就归功于喀拉拉邦数学与天文学院的创始人马德哈瓦。
马德哈瓦不仅推导出了这些公式，而且以韵文的形式表达了它们，比牛顿早了约250年。
因此，可以说印度数学家对幂级数的存在有着先见之明。
更值得一提的是，小数的发明也起源于印度。正如我们所见，牛顿认为他在曲线理论上的成就与小数在算术上的贡献具有相似之处。
总结来说，牛顿的幂级数理论为他提供了一种强大的微积分工具，可以说是他的数学瑞士军刀。
这一理论不仅让他能够求解积分、找到代数方程的根，还能计算诸如正弦、余弦和对数等非代数函数的值。
牛顿本人也曾表示，“在这些工具的帮助下，几乎所有的问题都能找到解决办法。”
好，今天就先这样，下篇继续~
科学羊🐏 2023/12/08
祝幸福~
参考文献：
[1]. 《微积分的力量》
[2]. How Isaac Newton Discovered the Binomial Power Series | Quanta Magazine
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