为什么数学家对质数很着迷？探索费马留下的一个坑！

本系列文章预计会有20个章节，这套文献将系统讲述数学本身，这里是数学篇第一季第12篇。

大家好，我是科学羊🐏~

今天我们继续谈数学，我们数学篇目前还驾驶在费马大定理阶段，本篇继续，走起！

你知道吗？数学里面有一个学问，其实所有的人，不论是数学家还是业余爱好者，都同样能了解，就是所谓的“数论”，或者叫“高等算术”，或者最后，用一个不卖弄学问的名称，叫算术。

希腊人把我们在初级课本中收集在“算术”名下的杂类分成了两个单独的部分，即逻辑学和算术，其中的第一部分是关于计算在一般商业和日常生活中的实际应用，而第二部分就是在费马和高斯意义下的算术，他们力图照这样去发现数的性质。

算术的终极目的也许就是研究一般整数1,2,3,4, 5, …的相互关系，这些数我们差不多一学会讲话就能说。

在为说明这些关系的努力中，数学家不得不去发明代数和分析中的那些微妙而深奥的定理。

其实我们都知道，数学如果让你数数其实很简单，但是研究数字之间的关系再外加公式的话就简直摸不清头脑了。

比如，什么是偶数，什么是奇数，这个还好，公式也简单。

奇数，又称单数， 整数中，能被2整除的数是偶数，不能被2整除的数是奇数，奇数的个位为1，3，5，7，9。

偶数可用2k表示，奇数可用2k+1表示，这里k就是整数。

再以以著名的斐波那契数列为例，它的定义是：以1和1开始，每个后续数字是前两个数字的和。前几个数字是:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 …

具体关于数字的神奇故事我们后面再谈。

当然，我们已经知道了皮埃尔·德·费马以他的名字命名于数学界最著名的定理之一（费马大定理）。

300多年来，费马最后定理一直是无法实现的数学伟大的终极象征。

在17世纪，费马在他正在阅读的一本书中草草记下了他提出的定理，声称知道如何证明它，但没有提供任何细节。

数学家们试图自己解决这个问题，直到20世纪90年代，安德鲁 · 怀尔斯(Andrew Wiles)终于用费马死后几百年发现的新技术证明了这个问题。

不过你可能不知道其实费马还有一个关于“数”的其他研究，也就是不那么著名的“小定理”，而这个定理就是用来研究质数，也称为素数，又称质数。

01 什么是质数？

即：除了1跟它本身，没有其他数可以整除的，这种数叫做质数。

自然数中那些不是质数的数字，数学家们对它们几乎是无视的态度，但凡是涉及到质数就会非常感兴趣，甚至到了着魔的地步，这是为什么呢？

最简单的理解就是，所有非质数只要通过质数简单的相乘就可以得到了，所以当我们把质数的规矩了解透了，整个自然数，我们就算是全面了解了。

我们就会了解到自然数的结构，而且这些结构也许可以对应到现实世界里一些真实存在的东西上。

当然现在这种对应关系只是隐隐约约地已经浮现出来了，实际还在研究当中。

02 最早迷上质数的人

欧几里得

有文字资料可查的最早迷上质数的人是欧几里得，他是公元前300多年的人，欧几里得之后很长一段时间里就再也没有记载有人详细研究过质数了，这段空窗期有多久呢？这前后2000年左右。

在1601年的时候，既是法官又是业余数学家的费马开始研究费马数，费马数由一个公式来定义，咱们不具体说了，如果顺着这个公式算下去，前几个数都是质数，这前几个是3、5、17、257、65537，但是第六个数是不是呢？

这判断难度太高了，因为这第六个是4294967297。

你怎么能够确定这42亿多的数字有没有其它的数能整除它呢？

太难了！

但这个费马是一个业余数学家，他经常就不负责任地乱猜、乱证，他就看这前几个数没问题，所以就猜这个公式大概也没问题，这个公式算出来的其它数也都是质数。

莱昂哈德·欧拉 Leonhard Euler

后来这个坑是在费马去世之后67年被一个25岁的职业数学家欧拉给填上的。但其实欧拉是把费马数给捅破了，因为那个42亿多的数字中间有一个因子是641，用它可以整除。

在这个期间还出现过一个神父兼数学家，叫梅森，他也构造出另外一个公式，这个公式可以说就是2的n 次方再减1，如果这个 n 是质数的话，这个公式算出来的数也是质数。

当初梅森神父跟费马大法官都只是这么一个猜测，他们也都是没有能力证明的，其实也是因为难度太高，连欧拉也没有办法证明。

在这个梅森数提出之后250年，美国数学家科勒成了梅森质数的刽子手，因为他发现 n 次方的那个 n 等于67的时候，算出来的数字不是质数，那个巨大的数字是可以被193707721这个数字整除的。

但梅森公式是要算出好多好多位才能出现这第一个反例。

所以，200多年来就惹得数学界也心里头痒痒的，就想看看这个公式算下去，能不能找到下一个更大的质数。这当然是一个没有极限的挑战了。

科勒枪毙了梅森质数的公式是在1898年，那会儿要想确认这个也只能靠手跟笔来算。虽然有很多数学算法可以简化验证的工作，但依然是一个重体力的重复性的，而且还不能出错的严谨的工作。

这种工作谁做最合适呢？是数学家吗？

不是的，是计算机。

当计算机在上世纪60年代刚刚从军事用途下放到民用，下放到科研的时候，算最大梅森质数的军备竞赛就开始了。

直到现在，很多的电脑测试软件在测试稳定性的时候，都会让 CPU 处于百分之百的负荷运转，就是用来确认梅森公式算出来的那个数到底是不是质数的程序。

当然，数学家对质数的研究远远不止这2个例子，只不过它们是最好懂的。

03 质数的意义

质数的意义就在于，当我们研究透了以后，我们会重新认识数的结构。

普通人对数是完全没感觉的，那不就是1234嘛，有什么结构啊？

如果真的是这么简单，几百年来就不会吸引那么多数学家了。

所以想了解数的结构，不要着急，我们只需要慢慢期待就好！

总结：

数学家为什么这么着迷质数这个问题，相比看完文章应该都比较清楚了。

我所理解的就是“数”，这么一个简单的存在其实要掌握其数与数之间的关系那是箱单困难的。

这种价值观对金钱至上的社会来说略微有点奇怪，跟大多数人说的时候，他们的反应就是“你跟我说这个干什么呀，这跟我有什么关系呀？”

但其实知道了这些，你对人类是怎么一步一步发展到这样现代化的程度，就有了一个从理工科角度的文化理解了。

好，今天就先到这里了。

Masir 2023/12/01

祝幸福~

参考文献

[1].https://www.dedao.cn/course/article?id=7EGBgdkRbn1mKg7z7KY890D3rvPOAN&source=search 参考

[2].《数学大师》

我已经有300+个科普知识啦，小目标1000+，欢迎大家关注，每天给你一个科普知识~

数学篇往期连载

往期推荐