揭秘微积分的起源：从费马到牛顿，数学巨人如何改变了我们的世界！

本系列文章预计会有20个章节，这套文献将系统讲述数学本身，这里是数学篇第一季第11篇。

我是从费马画切线的方法中得到了微分法的启示  —— 艾萨克·牛顿

没有一个艺术家平日一天二十四小时始终是艺术家的，艺术家创造的重要的一切、恒久的一切，总是在罕有的充满灵感的时刻完成的。被我们视为古往今来最伟大的诗人和表演家的历史也是如此，绝不是不息的创造者。

——【奥】斯蒂芬·茨威格《人类群星闪耀时》

副标题：费马对科学的影响 11

大家好，我是科学羊🐏

正如斯蒂芬·茨威格所说，其实每一个灵感和创新其实都不是每天都有的，而是某一瞬的灵感，我记得以前看《西游记》的记录篇时，杨洁导演曾说过这样一个故事：

《敢问路在何方》的作曲者许镜清在1983年冬季的某一天坐在公交车上看到车窗外雪花纷纷扬扬、行人匆匆赶路，脑子里突然冒出了旋律，于是立即下车用借的铅笔把“一番番春秋冬夏……”这句旋律记在了烟卷盒上。

回去之后他伏在办公桌用大约两个小时从第一句“你挑着担，我牵着马”起补全了整首歌，只在两天后改动了两个音符。

这个灵感就是在那一瞬之间，所以我们也不要小看自己瞬间的灵感，有什么好idea就要赶紧记下来。

进入主题，今天我想说的，其实不光是灵感，还有比灵感更重要的是积累，也就是量变引起质变。

牛顿和莱布尼茨发明微积分也绝对不是一簇而就的，而是前人的积累和思考，才慢慢沉淀下来的。

今天我们先来看看费马在数学应用方面的一些积累。

01 费马在微积分的发展中所起的作用

首先，我想为大家明确一点，其实微积分一点也不难，我们不能因为它被定义在《高等数学》所以畏惧它。

之所以要这么设置，个人认为主要2点：

第一，场景问题，因为微积分的需要一个人动态的去思考问题，当然我觉得高中物理已经学过牛顿力学，动态看世界的思维其实中学生早就掌握。

第二，基础问题，微积分一定要基于函数、极限、平面几何等概念的基础上。

接下来我们聊聊这个“简单”的话题，我想初中生都能看得懂。

艾萨克·牛顿

我们推测，牛顿应该听到过费马用过微积分，并且应该感谢过这个信息。

但直到1934年以前，没有关于这个结论的明显证据公布出来，但就在这一年，L·T·莫尔（L. T. More）教授在他写的牛顿的传记中，记述了一封至今未被人们注意的信，在那封信里，牛顿清楚地说，他从费马画切线的方法中得到了微分法的启示。

微分学中与几何学等价的一个基本问题是：

画一条直线与一个给定的不打圈的连续曲线弧在任意给定的点上相切。

此处对“连续”的意义的一个非常接近的描述是“光滑，不断开或没有突然的跳跃”，当然这些概念在高等数学有明确的数学表达方法。

我们具体来看一下这个问题。

对于一条“连续曲线”的图形，在曲线上的点P处描绘出一条直线使它相切于曲线的过程，这个过程是，取另一个也是在曲线上的点Q，画一条连接P和Q的直线PQ。

然后，在想象中让点Q沿着曲线弧滑向P，直到Q与P重合，当弦PQ在上面所描述的极限位置时，它就成了曲线在点P的切线PP——这就是他们所要寻找的东西。

下一步是把所有这些翻译成代数或分析的语言。

他们在Q开始滑过去与P重合之前，先知道图上点P的坐标P(x, y)和点Q的坐标，比如说是Q(x+a, y+b)。

然后他们审视图看出，弦PQ的斜率等于b/a。

显然这是该弦相对于x轴（在其上量度x方向上的距离的直线）的“倾斜度”的一种度量，这个“倾斜度”就是精确的斜率的意义所在。

由此就很清楚了，点P处所求切线的斜率（在Q已经滑动到与P重合时）就应该是当b与a同时趋近于0时，b/a的极限值。

因为Q的坐标x+a, x+b，最终成了P的坐标x、y，这个极限值就是所要求的斜率。

有了斜率和点P，他们现在就能画出切线了。

这并不一定就是费马画切线的过程，但是他的过程大体上与上面描述的过程相同。

为什么这一切值得一个有理智和注重实际的人认真考虑呢？

这是一个很长的故事，后篇我们详细谈微积分关于讨论到牛顿时再详细讨论叙述吧。

我们知道，动力学的基本概念之一是一个移动的质点的速度。

如果我们相对于单位时间，画出该质点所通过的距离单位数，我们就可得到一条线，无论是直线还是曲线，它一目了然地描述了该质点的“运动”.

在这条线上任意给定点处的切线明显地就是该质点在该点处时的瞬时速度。而这恰恰就是导数的几何意义。

质点运动得越快，切线的斜率越陡。

事实上，这个斜率确实测量了质点在运动路径上任何点处的速度。

当运动中的问题转换为几何问题时，确实就是一个在曲线上找出给定点的斜率的问题。

也有与曲面的切平面（在力学和数理物理中也有重要的解释）对应的类似的问题。

这些问题都要用微分学来着手解决——而微分学的基本问题，我们已经试图以它出现在费马和他的后继者面前的样子加以描述了。

假定一个量y是另一个量t的“函数”，写成y=f（t），意为当任意确定的一个数，比如说10，用来代替t时，我们就得到f（10）——“当t为10时函数f的值”，这时我们就能够从假定已经给出的f的代数表达式，计算出y的对应值，此处y=（f10）。

为了更明确起见，假定 f(t) 是在代数上用t²，或t×t表示的t的一个特定的函数。那么，当t=10时，我们得到y=f(10)，因而此处对于t的这个值，y=10²=100；当t=1/2时，y=1/4，如此等等，y可对应于t的任意值。

02 极值问题的探索

凡是在近30年或40年来接受过初级中学教育的人，对所有这些都是熟悉的。甚至最健忘的人也会看出，我们能够对任何f的特别形式，画出y=f（x）的图形当（f x）是t²时，图形是一个像翻转过来的拱那样的抛物线（如上图）。

想象一下画出来的图形，如果在图形上面有极大（最高）或极小（最低）点——比它们紧邻的那些点更高或更低的点——我们就会看到在每一个这样的最大和最小点处，其切线将平行于t轴。

也就是说，在我们正在画的f（x）的这样一个极值（极大或极小值）处，切线的斜率是零。

这样，如果我们正在寻找一个给定函数f（t）的极值，我们不得不再次为特别的曲线y=f（t）解决斜率问题，在找到一般点（t, y）处的斜率后，让这个斜率的代数表达式等于零，就可找出该极值点的t的值。

这大体上就是费马在他的极大极小方法中所做的，这个方法是他在1628—1629年发现的，但直到10年后才半公开，那时他通过梅森把这个方法的一份说明送给了笛卡儿。

这个简单的设想在科学上的应用——当然，为了考虑比上面描述的复杂得多的问题，需要经过充分而细心的构思——是多种多样并十分广泛的。

例如在力学中，拉格朗日发现，在一个问题中有某个所考虑的物体的位置（坐标）和速度的“函数”，当取极值函数时，它就会给我们提供所论系统的“运动方程”，而这些方程反过来又可用来确定在每一给定时刻的运动，即完全地描述了这个运动。

在物理学中有很多这类函数。在问题中的函数必须是一个极值函数的简单要求下，这些函数中的每一个都概括了数理物理学的一个广阔的分支。

希尔伯特（Hilbert）在1916年为广义相对论发现了一个这样的函数。

所以当费马在辛苦的法律事务之余，以研究极大和极小的问题作为消遣时，他并不是在浪费时间。

他本人把他的原理应用于光学，做得既漂亮又令人惊奇。

附带说一下，可以注意到的是，这个特殊的发现已经被证明是从1926年起人们精心构造的新的量子理论的萌芽——在它的数学方面，指“波动方程”。

费马发现了通常所谓的“最小时间原理”，不过称它为“极值”（最小或最大）比称它为“最小”或许要更准确些。

03 费马原理

光线从点Q传播至点O时，会被半圆形或混合形镜子反射，最终抵达点P，图片来自WIKI

费马原理（Fermat's principle）最早由法国科学家皮埃尔·德·费马在1662年提出：光传播的路径是光程取极值的路径。这个极值可能是极大值、极小值或函数的拐点。最初提出时，又名“最短时间原理”：光线传播的路径是需时最少的路径。

根据这个原理，如果一束光线从一个点A射向另一个点B，途中经过各种各样的反射和折射（“折射”，也就是弯曲，就像光线从空气进入水中那样，或是光线通过不同密度的胶状物那样），那么它经过的路程——所有由于折射的扭转和转向，由于反射的难以捉摸的向前和退后——可以由从A到B所需的时间为极值这个唯一的要求计算出来。

由这个原理，费马推出了熟知的折射和反射的规律：

在反射中：入射角等于反射角；

在折射中：从一个介质到另一个介质的入射角的正弦是反射角正弦的一个常数倍。

好，今天就先这样，下篇我们继续看看费马在其他方面的贡献。

Masir 2023/11/29

祝幸福~

参考文献

[1]. 《数学大师》

[2]. 《数学简史》

[3]. 部分图片素材来自《数学大师》

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