其实，我们中学物理所求S=vt方法是骗人的，真实世界的求解方法其实是这样的！

大家好，我是科学羊🐑，这里是数学专栏第2季第23篇。

微积分，这门数学的奇迹，展现了两种神奇的操作：微分和积分。

它就犹如就像一枚硬币两面。在这枚硬币上，一面刻着微分，而另一面则是积分——微分的逆运算。

尽管在积分被发现之初，人们并未意识到这种逆关系，但随着时间的推移，这一点变得愈加明显。

那么，何为积分呢？

简单来说，积分就是将一条曲线分割成无数微小的片段，接着累加每一小块下方区域的面积。

这听起来可能有些抽象，但实际上，积分是理解许多现象的关键——无论是测量国家的经济增长，追踪在轨道上飞行的卫星，还是分析热带风暴的路径。

另外，积分主要分为两类：定积分和不定积分。

定积分关注的是在特定区间内函数曲线下的总面积，而不定积分则是寻找一个函数的原函数，它没有固定的界限。

主要应用有下面这些：

1. 物理学中的运动学：积分在物理学中扮演着重要的角色。

例如，考虑一个物体的速度图表，通过对速度函数进行积分，我们可以找到物体在特定时间内的位移，这在分析物体的运动轨迹时尤为重要。后面我们会重点举例。

2. 经济学中的消费者和生产者剩余：在经济学中，积分用于计算消费者剩余和生产者剩余，因为这是衡量市场效率和福利非常重要指标。

消费者剩余是指消费者愿意支付的价格与市场价格之间的差额总和，而生产者剩余则是市场价格与生产者愿意出售的最低价格之间的差额。

3. 工程学中的面积和体积计算：在工程领域，积分用于计算不规则形状的面积和体积，这对于材料估算和成本计算至关重要。

例如，在建筑工程中，计算复杂形状的水坝或拱桥的体积就需要用到积分。

4. 生物学中的种群模型：在生物学中，积分用来模拟种群增长。

种群的增长率可能依赖于当前的种群大小，通过对增长率函数进行积分，可以预测未来某一时刻的种群数量。

5. 天文学中的轨道计算：天文学家使用积分来计算行星和卫星的轨道。这些天体的运动轨迹可以通过对它们的速度和加速度函数进行积分来确定。

6. 概率论中的概率密度函数：在概率论中，积分用于从概率密度函数计算出事件的概率。这是理解和应用统计模型的基础。

以上例子仅是积分应用的冰山一角。从理论物理到金融分析，从生态学研究到声学设计，积分的足迹无处不在，其深远的影响力体现在我们生活的方方面面。

好，接下来，让我们通过一个日常的例子来具体理解积分。

想象一辆汽车从静止开始加速，5秒后时速达到36英里，10秒后增加到50英里。

我们可以将这种速度与时间的关系绘制成一张图表。

现在，假设我们想知道这辆车在这10秒内究竟行驶了多远。

似乎只有速度和时间两个变量可用，但这足以解答我们的问题。速度是以每小时行驶的英里数来衡量，而时间则以小时为单位。

如果我们将速度和时间相乘，就能得到所行驶的距离，S=vt。

如图，我们中学所学的求面积就是行车🚗的距离

这个过程类似上图，计算一个长方形和梯形的面积之和。

但这里有个难题：我们的图表并不是一个简单的长方形，它更像是一个不规则的形状。我们可以试着用一个直角三角形来近似这个面积，但这样会漏掉很大一部分区域。

一个更好的方法是将这个不规则形状下方的面积分割成数个矩形，就像图中的灰色矩形那样，然后将这些矩形的面积累加起来。

但要达到精确的结果，我们需要划分出无数个极其狭窄的矩形——这就是“无穷多”的概念，“无穷小”则指每个矩形的微小宽度。

通过这种方法，我们可以精确地计算出汽车在这段时间内行驶的距离，从而揭示积分在现实生活中的强大应用。

我们接下来看看具体积分该怎么求，这里先谈一种！

如上图所示，我们红色曲线的函数f(x)来代表速度，那么它和横轴之间的面积S就是距离L，此时，我么将曲线无限分为很多段，每一段用一个长方形的面积来近似。那么所有长方形面积的和就是积分。

假如，我们要计算红色曲线 f(x) 与x轴之间a到b的面积，那么我们将a到b分为n份，每一份的坐标就是（x_0,x_1),(x_1,x_2),(x2,x_3)...(x_n-1,x_n)。

它们的长度都是Δx，即：

那么第i个长方形的近似为f(x_i)，这个长方形的面积就是

如果将长方形的面积都加起来，总面积就是：

可能你也会觉得这样算可能有误差，毕竟很多都是近似的长方形，一定有没填满的地方。

没关系，无穷小上场！

我们直接把Δx变为dx，每一个f(x_i)的变化就是连续变化的了。为了表明积分是从a一直累加到b，我们最终会写成这个公式：

也就是说，一个函数f(x)和x轴之间，可以从a到b的面积其实就是a到b的积分。

总结：这样看来，其实微积分，也没有想象中的那么难，无非就是你能用一种动态的思维去理解世界！

而真正难的可能就是里面复杂的计算了，当然这是另外一个话题，数学的计算其实很多都靠技巧，当然，最重要的还是基础。

好，今天就先这样啦～

科学羊🐏  2024/01/31

祝幸福~

参考文献：

[1].《吴军*数学通识》

[2]. 图片为个人设计

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