小学奥数学习的六重境界
开篇引语
学习之务不在知其然,而在知其所以然;
不在知其所以然,而在知何由以知其所以然.
-------数学教育家傅种孙
小学奥数不是数学奥林匹克(数学竞赛) ，
而是数学游戏、趣味数学、难度较大数学问题研究的总称；
小学奥数是课内知识的应用、拓宽与延伸。学习的重点是思想方法和思考过程,
提高学生思维水平，让学习能力和知识结构不同的学生能有不一样的收获。
课堂教育的主要特征是普及性的基础教育，小学奥数教育则是解决学生个体智力开发问题的课外活动。
社会上一直流传的只有5%的孩子合适学奥数，其实说的是只有5%的孩子可以走数学竞赛路线。
小学奥数和体育类似，体育促进体质发展，奥数促进大脑发展。只有很小部分学生适合当运动员，但没当运动员规划的学生，也要坚持课外锻炼身体。同样没准备走奥数竞赛路线的学生，也可以按需学习奥数。
对于大多数孩子来说，不是学还是不学的问题，而是学多学少深学浅学的问题；
对于大多数孩子来说，不是学还是不学的问题，而是学什么怎么学的问题；
小奥就像味精，适量添之，可让菜肴味道鲜美，但用量用法不对，会把菜肴败坏。
有人经过一个建筑工地，问那里的石匠们在干什么？
三个石匠有三个不同的回答。
第一个石匠回答：“我在做养家糊口的事，混口饭吃。”
第二个石匠回答：“我在做最棒的石匠工作。”
第三个石匠回答：“我正在盖一座教堂。”
在学习小奥上，也存在类似的现象，
很多人只看到了“小奥学习冰山”那浮出水面，占比只有10%的部分，即培训班课本学习和类似高思导引题库的题目练习上，对小奥学习真正精华的90%，或者认为没有，或者无意愿，或者无能力去开发，真有点买椟还珠的遗憾；
人生总是,先相信,后看见,然后才拥有！
取乎其上,得乎其中；取乎其中,得乎其下；
取乎其下,则无所得矣。
视界决定境界，目标影响收获。
第一重 学题型套路
学题型套路就是直接背诵和应用对应章节的公式，口诀或几何模型结论。
知其然不知其所以然；
比如背诵7，11，13整除特征的判定方法：从右到左，三位一段，奇数段减偶数段；
比如背诵因式分解的“N”法，转辗相除（减）法；因数个数公式；
比如背诵最值问题的”和同差小积大“、“u"法，
比如背诵奇数阶幻方的罗伯法口诀；
比如背诵牛吃草的解题公式；
这个层次的学习，孩子课堂上基本以背诵题型和对应解题程序为主，手段是记忆每个题型的公式和口诀，配套课后大量刷题，多轮刷题。
这种学习停留在“解题术”的层面，含义程序具体，易于简单复制，但功能性弱如，迁移性差，应用面窄；
本质是记忆型学习，用题海战术做加法，效率低，并且可能会产生副作用；
这个层次是学习小奥的起点，同时也是60%左右孩子小奥学习的终点。
就算停留在这个学习层次的孩子，到了初中也会有相当一部分能取得学习优势，这种优势建立的本质原因是知识点的提前覆盖。
比如小奥计算模块的巧算技巧能覆盖完初中计算需要的技巧；
比如小奥应用题模块能把初中应用题全覆盖，浓度十字法也能对化学有帮助；
比如行程问题能轻松解决初中动点，物理声学运动题型所需知识；
比如几何模块学到的比例和面积法，初步建立的几何模型和做辅助线意识也能对初中平面几何起到很好的铺垫作用。
但仅停留在这个层面，一直依赖记忆题型，识别模型，匹配模型的学习模式到了高中，孩子的理科学习会面临不小的挑战。
第二重 学原理思路
学原理思路就是要清楚明白理解，每一个公式、每一个方法、每一个口诀、每一个模型的推导过程和背后原理，清楚每个题型的表面特征，同时也能把握每个题型的深层结构，知其然也知其所以然。
比如勾股定理的多种证法，一半模型、风筝模型、蝴蝶模型、燕尾模型的推导，
比如整除特征的判断方法用位值原理进位制进行推导；
比如平方求和公式的踢三角证明过程；立方求和公式的多种证明方法；
比如质数合数判定的”N"法原理；中国剩余定理的同余原理；
比如三阶幻方填法的论证过程；解方程步骤背后的同解原理；
比如计数模块的传球表格法是如何从树形图演变简化而来。
思路跟套路的本质区别就是：思路是理解了套路背后的原理和推理过程；
小奥学习的过程中，注重思路原理的学习，事事问“为什么”，就能形成追根溯源挖掘本质原理的意识，也是为初高中学习建立代数和几何公理化体系的进行铺垫和孕伏。
这种层次的学习可以称之为“解题方法”的学习，与第一重“解题术”相比而言，程序性弱，但功能性强，程序不十分具体,不易简单复制，但应用面宽，具有一定的迁移性，可以产生乘法效应。
真掌握了各个知识点的底层原理，就不会被下面这些披着物理化学皮的假老虎给吓到了。
鸳鸯绣出从教看,更把金针度与人!
第三重 学数学思维
学数学思维主要是指：会观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括；
会用归纳、演绎和类比进行推理；会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点；
知其所以然，还知何由以知其所以然。
通过完整科学合理的小奥学习，可以系统密集和有一定强度的刻意训练，
从而提升两种思维及两者配合使用的高效模式：
收敛思维（逻辑思维、求同思维）
发散思维（直观思维、求异思维）
收敛思维
收敛思维又称集中思维、聚合思维、辐合思维，是个体利用已有知识经验或传统方法来分析给定信息，并从中获得一个最佳答案的思维形式。
收敛思维有同一性、连续性和比较性三个特点：
同一性是指收敛思维把发散思维的结果聚合起来，找到一个解决问题的办法或结论；
连续性是指在解决问题的过程中，有固定的步骤，先做什么，后做什么，都是丝丝入扣，使问题的解决有据可依；
比较性是根据目标要求，通过整理比较，筛选答案和方案，找出符合要求的途径、方案、设想或措施。
发散思维
发散思维，又叫扩散思维、求异思维、或辐射思维，是在解决问题和创造思考中，从已知的知识、信息出发，不受已知的、现存的思维方式方法、规则的约束，最大限度向各个方向扩展，并且从这种扩散和求异式的大脑风暴中，找到多种不同的解决方法，产生各种不同的结果。
发散思维是创新思维的核心，在创新活动在有着十分主要的作用，但同时发散思维也是我们平时重视程度和训练量很不够的一种思维。
发散思维具有流畅性、变通性、独特性三个特点。
流畅性追求的是思维方案的数量和产生的速度；
变通性要求的是从一个思路跳到另一个思路，不仅数量多，而且思维方向变化大，类别跨度也大；
独特性不但有前两种特点，还要求与众不同、超乎想象的效果。
流畅性、变通性、独特性这三个特点分别对应着发散思维的速度、灵活性及本质。
进行发散思维时，大脑呈现的思维模式是一种辐射状态的，多角度、多层次，体现活跃的思维。
在小奥学习中主要表现为逆向思维 、横向思维 、和多向思维三种形式。
收敛思维与发散思维的关系
收敛思维与发散思维各有所长，互相依存，相辅相成，是解决问题过程中一个高度的统一体。
收敛思维主要锻炼逻辑链条长度，培养思维的严谨性，深刻性和批判性；
发散思维主要培养培养思维的广阔性，灵活性和敏捷性。
两种思维既有区别，又有联系。发散思维为聚合思维准备条件，收敛思维为发散思维把关，发散思维以收敛思维为出发点和归宿，收敛思维以发散思维为前提条件。
发散思维是如果是“从一到多”的话，收敛思维就是“从多到一”。发散思维和收敛思维二者缺一不可。通过发散思维搜索信息、收集资料，形成设想、方案，再通过收敛思维比较、筛选这些设想和方案，最后找出一个相对最佳的方案，从而形成从发散--收敛再从收敛--发散反复循环的过程。
因此，要培养孩子的创新思维、创造能力，就既要注重培养学生的发散思维，又要注重培养收敛思维，二者同样重要。
小奥与发散-收敛思维
小学奥数题有难度较大、涉及面广、解法灵活等特点，具有一定新颖性、独特性和创造性。
大多数奥数题按常规方法比较麻烦，不能解答时,就要求打破常规思维，将思维方式转换一下；
进入瓶颈时，就需要另辟捷径；当一种方法行不通时，就要改变思维方向，正向思维不行，就用逆向思维。
这些要求和过程充分体现发散思维的变通性和灵活性。
当没有解题方向时，发挥发散思维的作用，尽可能的罗列出所有符合要求的设想，向“纵、横、深、广”拓展，然后通过收敛思维的抽象、概括、比较、归纳等方式，向“活、少、精”探索。
这样,学会一例,就可以解决一类,既能提高运算速度,又能有目的地把各类知识串联起来,达到温故而知新的目的。
在这个思考和解决问题的过程中，既有发散思维的多元、自由、求异，又有聚合思维分析、比较、归纳、综合。
因为没有现成的公式、套路，学生不能简单的计算，机械的重复，只能尽可能的搜索脑海中的知识与技能，以及知识与技能之间的联系，尝试解答。
思维向各个方向发散，不受已知的、现存的知识技能、方式方法的约束，最终从这种发散和求异式的大脑风暴中，求得不同的解决方法。再通过收敛思维的归纳总结，得到某类题型的解题模式。
在这个解题过程中，发散-收敛思维反复的循环，有助于学生创造性思维的形成和发展。
小奥侧重锻炼收敛思维的模块：
计算模块，应用题模块，数论模块；
小奥侧重锻炼发散思维的模块：
几何模块，组合模块；
小奥同时锻炼两种思维的模块：
行程模块，计数模块；
通过小学奥数对应板块的针对学习，有意识地去磨练孩子发散-收敛思维有机配合使用模式，可以有效提升孩子思维的深刻性、灵活性、独创性、批判性和敏捷性。
第四重 学数学思想
数学思想是数学学习和研究中解决问题的根本想法，是沟通基础知识、技能转化为能力的桥梁，是数学结构中强有力的支柱，是培养学生数学头脑的精髓所在。
收敛思维练深度，发散思维练广度，数学思想树高度。
小学奥数的学习可以很好的启蒙培育三种数学思想：
数形结合思想、划归转化思想和分类讨论思想，而这三种数学思想在初高中数学学习中也是非常重要、相当有用的。
数形结合思想
数形结合思想是充分利用“形”把一定的数量关系形象地表示出来。
即通过作一些如数轴、线段图、树形图、面积图、表格或集合图来帮助学生正确理解数量关系,使问题简明直观。
华罗庚曾说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微”。
数与形是很直观、见细微的两大柱石，
一方面它是图形性质通过数量计算准确地表示出来，此为以数助形；
另一方面可使抽象的数量关系，通过图形直观的表现出来，此为以形助数，从而达到化难为易，化抽象为直观的目的。
比如小奥中很多专题都会用上数形结合：和差倍的线段图，平均数的面积法，行程问题的ST图等。
比如初高中数学的：解方程若能利用绝对值的几何意义，则可快捷求出解来；
又如：已知方程有四个实根，求某个字母的取值范围。若能利用在同一直角坐标系中函数的图象有四个交点，则很快得出；
再如：x、y在约束条件下，求目标函数的最值问题，若能分别利用其几何意义转化为求截距、斜率、距离的最值问题，则很容易得出所要求的结果，等等。
化归转化思想
化归转化思想是最普遍使用的一种思想方法 ,其基本思想是 :把甲问题的求解,化归为乙问题的求解,然后通过乙问题的解反向去获得甲问题的解。
它蕴含着极其丰富的内容，如新旧知识间的转化，互逆运算间的转化，未知向已知的转化，特殊与一般的转化，静动之间的转化等等。
数学解题过程实际上是一系列转化的过程，为了探求问题的解决途径，往往要改变问题的形式，从而揭示出未知与已知的内在联系，使问题易于解决。
掌握转化思想，有助于新知识的领会和掌握，有助于提高解题能力，有助于培养和发展思维能力。
在解决数学解题中，运用转化思想可以化繁为简，把握解题的关键，突破解题的难点，探明解题的方法，从而提高解决问题的能力。
比如小奥中的扶梯问题可以转化为流水行船问题也可以转化为牛吃草问题，牛吃草问题又可以转化为行程中的相遇和追及问题；
比如初高中数学中的：高次方程（不等式）通过降次转化为低次方程（不等式）；分式方程（不等式）转化为整式方程（不等式）；多元方程组通过消元转化为一元方程；虚数问题转化为实数问题来解决；解题过程中由条件向结论转化或由结论向条件转化等等。
分类讨论（枚举）思想
分类讨论（枚举）思想是根据本质属性的相同点和不同点，把问题按一定标准不重复、不遗漏地区分为不同种类，然后分类行研究，使问题在各种不同情况下分别得到各种方法。
分类是以比较为基础，它能揭示数学对象之间的规律，是分析问题和解决问题的一种重要的思想方法。
分类讨论是数学能力培养的一个重要部分，培养周密的思维品质和综合分析能力，可培养考查学生思维的条理性、慎密性、灵活性。
比如小奥中数字谜确定大致范围后依次分类枚举，计数板块中首位或末位为0和不为0的分类讨论，不定方程的取值枚举；
比如初高中数学中：绝对值、方程及根的定义，函数定义以及点（坐标不确定）所在象限；解决分段函数有关问题；求含参不等式解集问题以及含字母系数的方程、函数问题。
再拿最高端的数学问题来说，证明世纪难题庞加莱猜想、比尔·瑟斯顿的几何化猜想，也是把三维的拓扑空间分成八大类进行分类讨论逐个击破而得证。
PS: 刘德华分类讨论思想掌握的就非常好，
且看他如何面对小S的犀利提问：
你觉得林志玲比较漂亮还是我?
小奥培养数形结合思想的模块：
计算模块，应用题模块，行程模块，计数模块；组合模块；几何模块；
小奥培养化归转化思想的模块：
计算模块，应用题模块，行程模块，几何模块，组合模块；计数模块，数论模块；
小奥培养分类讨论思想的模块：
计数模块，组合模块；计算模块；行程问题；数论模块；
第五重 学自主学习
自主学习是指孩子能独自从多角度进行分析，自行评价、反省自己的行为，为自己的行为负责；
能制定学习目标、明确学习内容和材料、选择学习方法和技巧，调控学习进程、评估学习成效。
自主学习包含三个有机联系的维度：情意自主性、认知自主性、行为自主性。
小学奥数的学习可以作为自学能力培养平台的一个很好的选择，非常符合自主学习三个维度的培养方向，主要是因为小学奥数以下特征决定的：
学习内容的广阔度；
学习内容的挑战度；
学习安排的自由度：
学习手段的多样性；
学习模式的成熟度；
学习资源的丰富度；
学习资源的趣味度；
学习评价的精细度；
学习成就的激励度；
如何用小奥培养孩子自主学习能力，可以参考《从小学开始，给孩子打造“数学自学能力”绝技》；
小奥培养自主学习最好的材料组合，前面《小学数学自学“开袋即食”锦囊》文章里已经推荐高家军三件套：天天练预习视频，高思竞赛课本，高思导引题集。
用小奥做磨刀石，给孩子打造自学能力这把学习利器后，孩子就会找到自主学习的乐趣，拥有面对难题毫不退缩的勇气，享受破题后内在丰盈的成就感，
那时你会发觉孩子的学习是轻舟已过万重山，一览众山小，学啥那都不是个事！
第六重 学数学哲学
我们知道，客观世界是充满矛盾的，没有矛盾就没有世界.而数学问题乃是客观世界数量关系与空间形式的反映。
因此数学问题也就必然充满了矛盾，矛盾性就是数学问题的根本属性.这种矛盾性通常表现为条件与条件、条件与结论之间的各种差异。
如:“已知”与“未知”的差异、“一般”与“特殊”的差异、“整体”与“局部”的差异、“数”与“形”的差异、“动”与“静”的差异、“曲”与“直”的差异、“高”与“低”的差 异、“多”与“少”的差异等。
另一方面，矛盾着的双方既对立又统一。
因此，“数学问题”中除了差异之外还有差异间的联系，“数学问题”就是差异与联系的统一体。
矛盾转化
对立统一法则告诉我们，事物发展过程中的矛盾双方：
一方面以其对立面作为自己存在的前提，双方共处于一个统一体之中;
另一方面，依据一定的条件，又各自向其对立面转化直到与对立面完全同一，这就是矛盾转化的规律。
而由数学解题可知，解题的过程就是消除条件与条件、条件与结论之间的各种差异，直至将条件转化为结论的过程。
这个过程与矛盾转化的过程是完全一致的，所以数学解题的过程就是矛盾转化的过程，从而矛盾转化的规律也就是数学解题的规律。
由于解题的过程又是数学思维的过程，所以，矛盾转化的规律也就是数学思维的规律，数学思维的本质属性就是矛盾转化。
不仅如此，由于数学方法是在解决矛盾的过程中产生的，因此数学思想数学方法的本质属性也就是矛盾转化。