宇宙可以用方程描述吗？| 宇宙学漫谈

Original 蒙克来科学大院 2020-08-20

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宇宙学漫谈

自文明诞生以来，人类便对宇宙充满好奇。在诞生科学方法和科学理论之前，各民族的祖先用深邃的哲思和瑰伟的想象力编织出一个个关于宇宙的神话。17世纪的伽利略率先开启了实证科学的时代，接下来牛顿（Isaac Newton）写下了运动学三定律和万有引力定律，使物理学第一个成为有精确定量理论的现代科学。

从此，对于宇宙的探索进入了一个新的时代。

牛顿说：宇宙就像

一个永恒不变的精密钟表

中世纪欧洲，人们对彗星缺乏科学了解，以为彗星是灾难和痛苦的预兆。1682年，一颗彗星掠过英国上空，在全国引起了恐慌。一个叫哈雷的天文学家对这颗彗星十分着迷，他就去拜访那个时代最大的大牛，正好他也姓牛，牛顿（Isaac Newton ，1643年-1727年）。牛顿告诉他：“这颗彗星沿椭圆轨道运动，控制它的力来自太阳，力的大小和太阳彗星距离的平方成反比。”哈雷非常震惊：“你是怎么知道的？”牛顿回答：“我计算出来的。”牛顿用自己制作的反射望远镜跟踪这颗彗星，它的轨道完全遵循他在20年前建立的万有引力定律。哈雷意识到牛顿研究非凡的意义，1687年，在哈雷的资助下，牛顿出版了巨著《自然哲学的数学原理》[1]。

牛顿在书中给出了牛顿三定律和第一个引力理论——万有引力定律，描述了任何有质量的粒子间相互吸引的作用，两个质量m₁、m₂距离r的粒子受到引力F为：

式中G是万有引力常数。这个公式今天所有的中学生都耳熟能详，它囊括了哥白尼、开普勒和伽利略一直试图解释的有关太阳系的一切。同时牛顿为了解引力方程，发现17世纪的数学不够用，于是顺便发明了数学的新分支——微积分。牛顿发现苹果、月亮、行星全都遵循这个引力规律,在他眼中，宇宙就像一个永恒不变的精密钟表，当钟表师傅给它上好发条以后，它就会自己永远不停地运行，一切可以通过计算来确定。牛顿推出万有引力定律以后，科学家们认为引力问题已经得到解决，运用牛顿的公式可以解释一切，从机械设计到桥梁制造，人们在牛顿开创的道路上开启工业革命建立现代文明。牛顿引力理论统治了他之后的几个世纪。

图1 牛顿在引力理论、光学、数学上获得了巨大的成就（图片来源：搜狐网）

不过，牛顿的宇宙模型很快遭到了质疑。

1692年，一个叫本特利的牧师写信给牛顿，他说：“因为引力总是吸引，那所有星星将会最终聚集在一起。如果宇宙是有限的，那夜晚的天空不会是永恒和静态的，星星会彼此相撞汇聚成一个超级星球。如果宇宙无限，那么作用在物体上的向左和向右的力也是无限的，星星将被撕成碎片。”[1]

牛顿被问住了，才创立的理论你不能热乎两天再来提问啊？他仔细思考以后给本特利回信，他认为宇宙是无限而且均匀的，一颗星星被无限的星星拉向左，就会被另一边无限的星星再拉向右，不同方向的力都是平衡的，从而产生一个静态宇宙。但是牛顿承认，均匀、无限的宇宙是不稳定的，稍有风吹草动就会坍塌。他说，需要有一个持续不断的奇迹来制止星星们在引力作用下聚集在一起。牛顿的钟表宇宙本来只要拧上发条就可以自己走，不需要师傅的干预，但现在他需要师傅时不时拧一下发条，以防止崩溃。

牛顿的静态、无限、均匀的宇宙带来了更深层次的问题，19世纪的奥尔勃斯提出了一个问题：“为什么夜晚的天空是黑的？”如果宇宙是均匀无限的，那不管往哪看，都会看到无数个星星发出来的光，夜晚的天空应该是一片火海。但事实上夜晚的天空却是黑的[2]。

起初人们认为光线被尘云吸收了，但尘云不能解释奥尔勃斯佯谬，尘云经过无限长时间吸收无数星球的光线，最终将会和恒星一样发光。奥尔勃斯佯谬的真正解答，要在现代宇宙学建立之后。

爱因斯坦说：有了相对论，

才有了现代宇宙学

到了19世纪末20世纪初，物理学有两大支柱，一个是牛顿力学及其万有引力定律，另一个是麦克斯韦关于电磁波的理论，他证明了光是由彼此不断改变振动的电场和磁场组成。但爱因斯坦震惊地发现，这两个理论竟然是互相矛盾的。矛盾的核心在于“伽利略相对性原理”[3-6]。

回忆一下我们小学常常见到的习题：“小张在地面上，小李在一辆火车上，火车相对地面做速度为v的匀速直线运动。小李在火车上扔出一个球，他看到球的速度是u，那么小张看到球速度是多少？”上过小学的同学马上就能回答：小张看到小李扔出的球速度为 u+v，是两个速度的叠加。这种不同惯性系之间的转换关系，就叫做“伽利略变换”（如图2上）。牛顿认为，地面上的小张做实验得到的力学定律，和火车上小李做实验得到的力学定律没啥不同，他们俩无法区分自己是在地面还是火车上，这就叫“伽利略相对性原理”[3-6]。

图2 （上）伽利略变换下，不同惯性系力学定律无法区分；（下）电磁定律在伽利略变换下不适用（图片来源：作者绘制）

但是麦克斯韦鼓捣出麦氏方程组以后，大家都愣住了——通过伽利略变换，小张和小李得到的电磁定律竟然不一样。老司机小李开着车从小张面前经过，车上载着电子。地面上的小张看到，根据库仑定律，电子会产生电场。随着车开过，电场还在不断变化，根据麦克斯韦方程，电流加上变化电场会产生磁场。所以小张既感受到电场又感受到磁场。而车里的小李却说：“没有啊，根据库仑定律，我只看到电场。”这下全乱套了，同一个物理现象，在不同的惯性参考系中，变成了不同的物理定律。不遵守相对性原理的结果就是小张在地面上用一套公式，小李在火车上得用另外一套，“定理”就不再是定理了。然后大家下车后一对，结果的解释还不一样。小李郁闷了，不是吧我只是坐了个火车而已。

这时大家不得不面临两个选择：（1）麦氏方程组错了；（2）相对性原理只适用于力学，不适用于电磁学，可能有个绝对参考系以太，麦氏方程对这个参考系适用[5]。因为麦氏方程当时非常成功，于是大家一窝蜂地开始寻找以太参考系。在所有寻找以太的努力都失败以后，爱因斯坦出场了。

图3 不同惯性系测到的真空光速都是c，在小张看来，是小李运动着的火车沿运动方向缩短了（图片来源：作者绘制）

爱因斯坦拍着胸脯说，伽利略不敢保证我来做保证，无论力学还是电磁学，所有的物理定律在惯性系都一样，无法区分，而真空光速在所有惯性参考系都是c。小张小李，你们不准再用伽利略变化，要用洛伦兹变换。这就是1905年狭义相对论的两个假设——狭义相对性原理和光速不变原理[5]。也就是说，小李在匀速直线运动的火车上用手电筒射出一束光，他看到光速为c。而地面上的小张看到这束光的速度也是c，而不是c+v。要满足上面两个假设，不同惯性系之间的变换关系应该是洛伦兹变换，而非伽利略变换。在洛伦兹变换中，时间和空间统一了起来，用一个四维矢量（t,x,y,z）来描述。空间变了时间也跟着变，小张在地上看到小李电筒光速也是c，是因为他看到小李的火车沿着运动方向缩短了。而图2下边的图中，小张和小李看到的是同一个物理量——电磁张量，电场和磁场其实是这个统一的物理量在不同惯性系中的不同表现形式[3,4]。

爱因斯坦指出我们熟悉的时间观念是错误的，在牛顿的钟表宇宙中，每个人的时间都是一样的，无论是在北京还是纽约，地球还是太阳上，所有人都按照同一个宇宙时钟生活。爱因斯坦说：“不，时间是变化的、因人而异的。”爱因斯坦时空中每个人都佩戴自己的手表，显示的时间不尽相同。当你坐在高铁上从我身边飞驰而过时，会看到我的手表走得比你的手表快。当一对双胞胎兄弟中的哥哥坐着宇宙飞船遨游太空归来，会发现弟弟已经衰老不堪。

图4 双生子佯谬（图片来源：搜狐网）

和牛顿一样，爱因斯坦的相对论又一次让人们对世界的看法产生了深刻的变革。相对论统一了时间和空间，并发现为了满足时空的统一，电场和磁场、物质和能量也是统一的，且可以相互转换，转换关系遵循 E=mc²。因为要乘以光速的平方，一丁点的质量可以爆发出巨大的能量，这揭示了恒星的能量来源。

图5 恒星内部的核聚变反应，遵循相对论的质能方程[7]

爱因斯坦在彻底颠覆人们的时空观念后，并不满足，因为他的狭义相对论中还有惯性系，而这个世界上根本找不到真正的惯性系。地球自转有加速度，地球围绕太阳转、太阳围绕银河，银河围绕更大的系统转，只要有引力，世界上就没有真正的惯性系，所以狭义相对论还不能用来描绘有引力的宇宙。另外，根据牛顿引力理论，所有在引力场的物体都受到引力，引力大小为m_Gg，g是引力加速度，mG是“引力质量”，质点在引力场中的加速度为 a=(mG/m_I)g，其中mI是惯性质量。我们知道惯性质量衡量一个物体的运动状态有多难改变，而引力质量是引力的“荷”，决定物体在引力场中怎样受力。无数的、一个又一个的精确实验表明，mG=mI，这两个风马牛不相及的量为何严格相等？正是为了解决这些问题，爱因斯坦进一步在1915年推出了广义相对论。

爱因斯坦指出三维空间的引力，实质是四维时空的弯曲，时空弯曲情况，由物质分布决定[3,4]。爱因斯坦再一次拍着胸脯保证：这回就算有引力场也不怕啦，我保证你们的物理定律在任何参考系都一样都一样（爱因斯坦等效原理），但是你们得用我的数学描述，这样在坐标变换时才能保证数学形式不变（广义协变性原理）[3,4]。小张在“均匀引力场”中（不均匀引力场会有潮汐力，这点和加速度情况不同），小李在无引力场的加速为a的飞船中，他们做任何物理实验结果是一样的，只要不开窗，他们无法分辨自己是在地球上还是在飞船中。这就是“爱因斯坦等效原理”（Einstein Equivalence Principle，EEP）。原来的描述“引力质量=惯性质量，任何力学试验无法区分引力和加速产生的惯性力”，被称为“弱等效原理（Weak Equivalence Principle，WEP）”。另外还有一个“强等效原理（Strong Equivalence Principle，SEP）”，WEP和EEP不考虑系统中物体所激发的自引力场，而SEP对主动、被动引力都考虑[3,4]。

图6 爱因斯坦等效原理，任何物理实验无法区分均匀引力场的效果和加速度产生的惯性力效果（图片来源：作者绘制）

爱因斯坦用他的场方程来描述物质和时空几何的关系：

图7 爱因斯坦场方程

爱因斯坦场方程左边表示时空几何性质，合在一起称为爱因斯坦张量，用度规张量和曲率张量来描述。曲率张量描述时空曲率，度规张量类似于度量时间的钟和空间的尺子。方程右边部分表示物质分布情况。用著名物理学家惠勒的话来概括广义相对论就是：“物质告诉时空如何弯曲，时空告诉物质如何运动”。

广义相对论本质上是一个新的引力理论，牛顿引力理论描述静止源的引力场，而广义相对论描绘一般的、作任何运动的引力源产生的变化的引力场。它是有引力情况下对狭义相对论的推广，狭义相对论是无引力时广义相对论的特殊情况[6]。广义相对论中，我们看到地球绕太阳运动不是因为引力的的拉力，而是因为太阳使地球周围的空间弯曲，产生推力迫使地球运动。在牛顿的宇宙中，引力的传播是超距离的、瞬时的。如果太阳突然消失了，宇宙中每个星球上会一瞬间看到太阳消失，它的引力作用也一瞬间消失。但爱因斯坦认为引力就像一块布，如果有人在布上蹦来蹦去，布的抖动就会在表面形成有限速度传播的波。因为光速是宇宙之间信息传递的极限，太阳消失会产生球状引力波，以光速向外传播，而在引力波到达之前我们看到太阳还在发光。

图8 广义相对论中，引力来自物质分布引起的时空弯曲（图片来源：t.cj.sina.com.cn）

图9 引力波的动画模拟图

引入宇宙常数，宇宙还是静止不变的

最初场方程没有宇宙常数项。爱因斯坦鼓捣出他的场方程后终于满意了，于是开始坐下来喝喝茶解解场方程建立宇宙模型玩玩。结果一解立即发现非常糟心，他面临了几个世纪前牛顿和本利特遇到的同样的问题，宇宙变成动态的。因为广义相对论中时间和空间是紧密联系的四维时空，由它描述的宇宙大小不是恒定的，而是随着时间演变，要么越来越小（坍缩），要么越来越大（膨胀）。这个问题困扰了他将近一年的时间，爱因斯坦相信宇宙是静态的，1917年，他强行给场方程加上了一个“宇宙常数项”，这一项的效应产生负压强，也就是斥力，从而抵抗住引力而得到一个静态宇宙解。然后他向大家宣布了这个带宇宙常数的宇宙模型。

爱因斯坦的宇宙像一个有一定大小却没有边界的圆球，其半径由宇宙质量密度决定，是一个四维空间中的形状在人类所熟悉的三维空间的投射。如果往天空发射一道光，这束光在一万年后会从相反方向回到地球，就好像地球表面的人绕地球一圈以后回到原处一样。他把模型秀出来以后全地球都蒙圈了，没几个人明白，大家把这个宇宙模型称为“爱因斯坦模型”。下面我们会看到，实际上爱因斯坦宇宙只是弗里德曼解中k=1的一个特解，而且这个宇宙很不稳定，只要稍有扰动就会收缩崩塌或者无限膨胀。

后来到1929年，哈勃发现哈勃定律，证明宇宙在膨胀，“我们不需要用宇宙常数项来抵消引力”，爱因斯坦非常懊悔，认为自己错过了理论上发现宇宙膨胀的机会，引出宇宙常数项是“一生犯的最大错误”，并去掉了这个常数项。但是生活永远充满了戏剧，就好像电影中的情节一样，在20世纪末，人们通过对Ia型超新星的观测，发现宇宙在加速膨胀，宇宙常数项并不等于零，它和“暗能量”联系起来，宇宙间必然有一种“暗能量”存在。宇宙学常数存在感瞬间爆棚，又重新引起了无数人的关注。温伯格在他的《宇宙学》中说：“爱因斯坦的失误并不在于他引入了宇宙学常数，而在于他认为这是个失误。”[8]

从牛顿到爱因斯坦，人们对时空的理解发生了天翻地覆的变化，但是静态宇宙的观念实在是太深入人心，即便天才如爱因斯坦，虽然已经站在了动态宇宙发现的边缘，但也因囿于旧有思想，而与新发现失之交臂，最终也没能真正解答本特利的质疑和奥尔勃斯佯谬。宇宙膨胀的发现，将由那些勇于挑战权威的科学家们来完成。

参考文献:

[1]加来道雄，《平行宇宙》，重庆出版社，2008.

[2]向守平，冯珑珑，《宇宙大尺度结构的形成》，中国科学技术出版社，2010.

[3]梁灿彬，曹周键，《从零学相对论》，高等教育出版社，2013.

[4]梁灿彬，周彬，《微分几何入门与广义相对论上册》，科学出版社，2006.

[5]虞福春，郑春开，《电动力学》，北京大学出版社，1996.

[6]俞允强，《广义相对论引论》，北京大学出版社，2005.

[7] 向守平，《天体物理概论》，中国科学技术大学出版社，2008.

[8]Steven Weinberg, 《Cosmology》, Oxford University Press, 2008.

作者单位：中国科学院紫金山天文台

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