德国坦克有多少？ 招行鸡腿有多大？
一年一度的双十一盛宴又来了。我在之前的11.11时，曾经讲过价格歧视——为什么优惠活动设计的和奥数题一般复杂。
没有看过的小伙伴可以点击下方图片查看▽
今年的双十一，又出现了“尾款”模式，首先付20元，双十一当天再付尾款。如果违约不买，那这20元就没有了，实际上类似于商品期权。花样真是越来越多了。
在众多优惠中，有一个比较简单的活动：招商银行信用卡加鸡腿。用户需要绑定招商银行信用卡，在10月20日到11月30日这段时间，无论是用微信、支付宝还是银行卡直接付款，也无论是网购还是出行用餐，单笔满18元就能抽红包加鸡腿，最多可以抽100次，超级大奖有11111元。
有小朋友想问：超级大奖他不敢指望，小钱他又看不上，正常情况下最多能从活动中获得多大的鸡腿，有没有办法估计呢？
为了做个测试，我也参加了这个活动，这两天抽了几次鸡腿，运气还不错，分别抽到了0.8元，1元和2元，我们能够通过这三次抽出的鸡腿大小来估计鸡腿的最大值吗？在数学上，就是根据样本最大值，来估计总体最大值，这是一个非常经典的问题。今天我们就来讨论一下。虽然这个问题的推导有一些复杂，但是结果却非常简单。学会了这个方法，你会感受到数学的巨大威力。
这种方法的第一次应用是在第二次世界大战中，盟军用于估计德国的坦克数量，所以也叫做：德国坦克问题。
德国坦克
在第二次世界大战中，盟军需要知道德国每个月能够生产多少量坦克，他们有两种方法：
第一是依靠情报部门，安插间谍混入德国的兵工厂或者作战指挥机构，调查坦克的数量。第二是根据缴获或者摧毁的坦克编号来估计坦克的数量。缴获和摧毁的坦克，变速箱、底盘、车轮都有编号，而且这些编号被认为是连续的。而且，每次作战俘获或者摧毁的坦克是随机的。数学家们就根据获得的坦克编号，通过一种非常神奇的方式，估计坦克的总数量。
结果呢，两个渠道获得的估计相差很大。情报部门通过情报估计，德国在1940年6月到1942年9月之间，每个月大约能生产1400辆坦克。可是数学家们计算出来的数字大约是每个月246辆。
数据来源：wiki百科
战后根据解密的德国数据，每个月生产了245辆，与数学家们估计的非常接近。有时候，通过数学进行估算，比出色的间谍更厉害。
攻占柏林
数学家们是怎么做到的呢？为了了解这个过程，我们需要一点数学基础，那就是我们中学学习过的组合数。
如果有n个不同的物体，从中选出m个物体来，有多少种方法呢？这就称为组合数，写作
例如从4个人ABCD中选2个人，可以是AB、AC、AD、BC、BD、CD共6种，写作
组合数可以从杨辉三角上直接看出，第n+1行第m+1个数字，就是
在继续研究之前，我们还需要复习一下组合数的几个性质。
1.
说明：从n个人中选0个人只有一种方法：全不选；从n个人中选n个人，也只有一种方法：全选。
2.
说明：从n个人中选出m个人，就是余下n-m个人，所以选出m个人和选出n-m个人的方法数是相同的。
3.
说明:这个公式解释起来比较复杂，我们可以代入验证一下，你会发现它是正确的。
4.
说明：通过公式（3）可以证明公式（4）
5.
说明：这个公式看似复杂，理解起来并不难。比如一个班级有n个人，选出m个人参加歌咏比赛，方法数有
现在，我们要通过以上的性质来做一个题了，这个题是许多年前的高考题，我讲数学的时候还曾经讲过，
化简：
思考1秒钟…
思考2秒钟…
思考3秒钟…
……
解：
怎么样？和你想的一样吗？
现在我们可以继续思考：如何从我们俘获的德军坦克编号，估计出总体坦克的最大编号。比如，盟军俘获了k辆坦克，其中最大编号是m，如何估计坦克总数量N？这需要我们做出几点假设：
1. 德国的坦克编号是连续的，并且从1到N；
2. 每个坦克的编号是唯一的；
3. 盟军俘获的坦克是随机；
4. 同一辆坦克最多只会被俘获一次。
如果用专业术语，这叫做用不放回抽样来估计离散型均匀分布最大值问题。我们需要将这个问题倒过来：如果已经知道了总坦克数量N，缴获k辆坦克，缴获的最大编号最有可能是多少？
1. 坦克共有N辆，从中随机俘获k辆 ，方法数是
2. 如果被俘获的坦克最大编号是M，则其余的k-1辆坦克的编号都小于M，这样的方法数是
3. 用二者作比，就可以得到俘获坦克中最大编号是M的概率
4. 被俘虏的k辆坦克的最大编号M的可能取值是k，k+1，k+2，…，N，每一种取值都对应了刚才所说的概率，如果用每一个编号乘以相应概率，再把它们求和，就能得到最大编号M的数学期望
利用公式（4）可以变形
把它们展开：
根据公式（5）可以化简：
最后用公式（3）得到结果：
最大编号M的数学期望，就是最大编号的平均值。
5. 现在我们俘获的坦克的最大编号是m，我们认为它最有可能等于M的数学期望。
于是就能够计算出全体最大编号的可能值：
我们利用这个公式就能估计坦克最大编号了，这是一种最有可能的情况，例如：
俘获了1辆坦克，编号是50，那么m=50，k=1，根据估计最大编号99；
俘获了2辆坦克，编号50，23，那么m=50，k=2，估计最大编号74；
……
生活中许多问题都类似于德国坦克问题，比如一个班级里学生的学号，书籍的页码等等。如果我们在班级随便找几个学生让他们说出自己的学号，或者找到了一本书种掉落的几页纸，都可以通过上面的公式来估计这个班级的总人数或者这本书的总页数。
说回到招商银行信用卡加鸡腿问题：通过抽样，我们可以得到几个鸡腿样本，再通过样本估计鸡腿最大值的大小。不过，我们首先必须做出假设：招商银行信用卡每次给出的鸡腿都是从奖池里随机抽取的，而且每一种金额的鸡腿出现的概率相等，这样才能使用德国坦克问题的公式。
比如：第一次参加鸡腿活动，刷了18元，获得了一个0.8元的鸡腿。样本最大值m=80分，样本个数k=1，于是估计鸡腿最大值：
当我刷了第二个18元，又获得了一个1元的鸡腿，那么样本最大值为m=100分，次数k=2，于是估计鸡腿最大值：
继续刷第三个18元，又获得了一个2元的鸡腿，此时最大值为m=200分，次数k=3，于是估计鸡腿最大值：
随着我们样本越来越多，就能越来越准确的估计出鸡腿最大值的大小了。
刚才我们的计算是基于鸡腿大小是从0分到N分的一个均匀分布的模型上，实际上，招行信用卡加鸡腿的活动最小鸡腿是0.16元，最大鸡腿是11111元，没有人知道招行信用卡具体是使用了什么样的模型给大家分配红包的，所以我们的计算更多的是一种数学游戏，不一定满足实际情况。不过梦想还是要有的，万一实现了呢？
根据调查公司的数据，2019年居民生活月生活开销4800多元中，有61%都是第三方支付比如微信和支付宝，还有23%是银行卡和信用卡支付。现金支付只有14%。
根据工信部的数据，2019年中国移动支付用户大约10亿，每年利用第三方移动支付总金额大约200万亿元，交易总笔数1.22万亿。移动支付越来越深入的走入了我们的生活。
绑定招商银行信用卡，无论是用微信支付宝还是网银支付，无论是吃饭出行还是购物，笔笔都有返现。对于土豪，可以把每天大笔的消费拆开成小笔，就能多得几个鸡腿。对于普通人，午餐费用不到18元的，不妨在这个月对自己好一些，劳累了一年了，在这个月每餐给自己加两个荷包蛋，再加一个鸡腿，犒劳一下自己，凑够18元一笔，也许这个鸡腿就可以被免单呢。
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