王芝平：参数范围迷人眼，充分必要常相宜

参数范围迷人眼,充分必要常相宜

北京宏志中学  王芝平

 函数导数及其应用是高中数学的重要内容，是学习高等数学的重要基础知识．它覆盖面广、综合性强，极易与其它知识建立联系，通过相互渗透和交融形成新颖靓丽、解法灵活的试题，从而有效全面地考查考生的数学核心素养．

单调性是函数性质研究中的重点问题，也是近几年全国高考中的热点题型之一．当含有参数的不等式恒成立时，求其参数的取值范围是一类较为复杂的数学综合问题．一个基本的想法就是将其上升为含有参数的函数问题，借助函数的导数研究该函数的单调性，在此基础上通过确定函数极(最)值点予以解决．在这个过程中若能恰当、灵活地运用充分条件与必要条件的逻辑关系将会使问题的解决有效简化．

例1．(2010高考年国标卷理科第21题)设函数f(x)=e^x–1–x–ax²．

(Ⅰ)若a=0，求f(x)的单调区间；

       (Ⅱ)若当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．

这是试卷中必作题目的最后一题，由文献[1]知，该题难度为0.317，属于较难的试题．

利用导数方法研究函数的单调性是学习导数这部分内容的基本要求．数学课标教材涉及到了与函数相关的不等式的证明问题，如人教A版选修2-2第32页B组第一题：利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图像直观验证：

(1)sinx<x，x∈(0，π)；

(2) x–x²>0，x∈(0，1)；

(3)e^x≥1+x(x≠0)；

(4)lnx<x<e^x，x>0．

这些问题的解决一般需要通过变形转化为研究函数的最值来处理．

例1可以认为是上述第(3)小题的变式拓展，表现在对函数表达式的设计上，其中第(Ⅰ)问既考查考生对函数单调性与导数关系的理解，又为问题(Ⅱ)的解决做了铺垫；另一方面在运算过程中，考查考生对基本初等函数的导数公式、导数运算法则的掌握和运算求解能力以及推理论证能力．

对于第(II)问，上述方法灵活利用第(Ⅰ)问中的结论和不等式的不同方向的放缩，不仅利用e^x≥1+x，还要利用换元法巧妙地转化出e^–x≥1–x．这既要学习新知识，又要灵活应用新知识，对考生能力要求较高．那么能否有简单、自然、水到渠成的解题途径呢？

“鸳鸯绣出凭君看，愿把金针度与人”，下面介绍我们解决这类问题的一些基本想法，请读者体会并积累其中蕴含的数学思维活动经验．

1．谋定思路有方向

第(II)问的条件是“x≥ 0时，f(x)≥0”．这是真的吗？(敢于质疑一个结论是优秀数学思维品质的表现)我们不妨利用特殊值试一试．从简单情形开始，无疑x=0是值得试一试的特殊值：f(0)=0．这个结果对我们有什么启发吗？显然，如果能证明当x≥ 0时，f(x)是单调增函数，那么f(0)=0是f(x)的最小值，那么此时a的取值范围A₀应该是答案A的子集．也就是说，我们找到了使“x≥ 0时，f(x)≥0”成立的一个充分条件．接下来应该再对a∈∁_RA₀时进行讨论，即便是无功而返，从“功利性”(高考)的角度讲，也会得到本题的绝大部分分数．若能继续证明此时f(x)≥0不恒成立，那么就间接得到使f(x)≥0成立的必要条件是a∈A₀．进而知a的取值范围是集合A₀．

讨论f(x)的单调性，实际上是考察函数f(x)的导数f′(x)= e^x–1–2ax的值是正还是负？这是容易想到的、也是能做到的．

让我们重新表述下一阶段的目标：

若当x≥ 0时，f′(x)= e^x–1–2ax≥0，求a的取值范围．

这几乎就是原始问题的“再生版”，但是由于在什么情况(a的取值范围)下f′(x)≥0也不易发现，注意到f′(0)=0，所以我们希望g(x)=f′(x)是增函数(这与前面的想法如出一辙！)．又g′(x)=e^x–2a，因为当x≥ 0时，e^x≥1．所以，若a≤0.5，则g′(x)=e^x–2a≥0，所以g(x)在区间[0，+∞)上是增函数，从而g(x)≥g(0)=0，即f′(0)≥0，所以f(x)在区间[0，+∞)上是增函数，从而f(x)≥f(0)=0．

下面，我们将这些想法整理成一个符合逻辑的有序解题过程：

2．规范解答不失分

(II)方法2——先找充分条件，再证明这个条件也是必要条件．

注意到f(0)=0，考察f(x)在区间[0，+∞)上的单调性．

因为f′(x)=e^x–1–2ax，所以f′(0)=0．

令g(x)=f′(x)(x≥0)，则g′(x)=e^x–2a．

当x≥0时，e^x≥1，所以若a≤0.5，则g′(x) ≥0．所以g(x)在区间[0，+∞)上是递增函数，从而g(x)≥g(0)=0，即f′(x)≥0(x≥0)．所以f(x)在区间[0，+∞)上是递增函数，从而当x≥0时，f(x)≥f(0)=0．即“a≤0.5”是“f(x)≥0 (x≥0)”的充分条件．

反之，若a>0.5，令g′(x)=e^x–2a=0，得x=ln2a>0，所以g(x)在区间[0，ln2a]上是递减函数，所以当0<x<ln2a时，g(x)<g(0)=0，即f′(x)<0，所以f(x)在区间[0，ln2a]上是递减函数．所以当0<x<ln2a时，f(x)<f(0)=0．也就是说，当a>0.5时，f(x)≥0 (x≥0)不恒成立，换句话是说，要想让“f(x)≥0 (x≥0)”恒成立，参数a不能大于0.5，即“a≤0.5”是“f(x)≥0 (x≥0)”的必要条件．

综上得a的取值范围为(–∞，0.5]．

3．解后反思收获大

上述想法降低了技巧性，增强了通用性，符合学生的认知规律．其本质是就是非常朴素的想法：由于f(0)=0，为了寻求f(x)≥0 (x≥0)时a的取值范围，可先寻找f(x)≥0 (x≥0)成立的一个充分条件，如f(x)在区间[0，+∞)上是增函数，这个条件足以保证结论成立．然后再讨论，当这个条件不存在时结论是否成立．而f(x)在区间[0，+∞)上是增函数的一个充分条件是f′(x)≥0 (x≥0)，又注意到f´(0)=0，为此又可重复上述想法(你是否感觉到这与算法的循环结构有某些相似之处？)．所以引入新的函数g(x)= f′(x)就是顺其自然的想法了．因为g′(x)=e^x–2a，又e^x≥1在x≥0时恒成立，所以很容易想到以a=0.5为分类讨论的标准，接下来的一切都非常顺利了．这里虽然两次求导，但不同于高等数学里的“高阶导数”，它也是一个基本想法的两次使用而已，这个基本的想法就是：如果想知道一个函数的单调情况，那么就看看它的导函数是正是负吧，即“函数单调不单调，导数正负破玄妙”．

另外方法2避开了第(Ⅰ)问获得的结论，更没有不等式的两次不同方向的放缩，几乎没有什么灵活的技巧，是值得大家品味的．

解题的价值不仅在于答案本身，而在于弄清楚解题思路是怎样想到的？优化解题过程也并不依赖于神秘的技巧．但需要指出的是，要让学生养成用数学基本概念分析问题、解决问题的习惯，要有优化解题途径的求简意识．

例2．(2017年高考全国Ⅱ卷文科第21题)设函数f(x)=(1–x²)e^x．

(Ⅰ)略；

(Ⅱ)当x≥0时，f(x)≤ax+1，求a的取值范围．

解析：当x≥0时，f(x)≤ax+1等价于g(x)=ax+1–f(x)≥0恒成立．

注意到g(0)=0，则结论成立的一个充分条件是g(x)为增函数，这只需要g(x)的导数非负即可．

令g′(x)=a–f′(x)=a+(x²+2x–1)e^x≥0，

得a≥f′(x)=(1–x²–2x)e^x．

下面求h(x)的最大值．

令h(x)=(1–x²–2x)e^x(x≥0)，

则h′(x)=–(x²+4x+1)e^x=–[(x+2)²–3]e^x<0，

所以h(x)是减函数，所以h(x)的最大值为h(0)=1．

所以，当a≥1时，g′(x)≥0，所以g(x)是区间[0，+∞)上的增函数，所以当x≥0时，g(x)≥g(0)=0，即x≥0时，f(x)≤ax+1恒成立．

所以a≥1是f(x)≤ax+1(x≥0) 恒成立的一个充分条件．

下面再证明a<1不合题意．注意到g(0)=0，这只需证明g(x)在(0，δ)( δ>0)上是减函数，也就是证明g′(x)在(0，δ)上是非正即可．

因为g′(x)=a–f′(x)=a+(x²+2x–1)e^x，所以当a<1时，g′(0)=a–1<0．

由于函数g′(x)的图像是“连续不断的”，所以可以猜测到在0的“附近”g′(x)<0，但这是需要证明的，这里要用到函数零点存在性定理．

当x≥1时，g′(x)=a+(x²+2x–1)e^x>a+2x，取t=max{1,–0.5a }，则g′(t)>a+2t≥0，所以存在x₀∈(0，t)，使得g′(x₀)=0，

又因为[g′(x)]′=(x²+4x+1)e^x≥0，所以g′(x)是[0，+∞)上的增函数．所以g′(x)<0⇔0<x<x₀，所以g(x)在(0，x₀)是减函数，所以当x∈(0，x₀)时，g(x)<g(0)=0，即f(x)≤ax+1不成立．所以若x≥0时，f(x)≤ax+1成立的必要条件是a≥1．

综上，a的取值范围为[1，+∞)．

例3．(2013年高考辽宁数学试卷理科第21题)

至此，我们得到了f(x)≥g(x)恒成立的一个充分条件：a≤–3．

如果我们再能证明a>–3不合题意，那么就得到了原不等式成立的必要条件：a≤–3．从而原不等式成立时，实数a的取值范围为(–∞，–3]．

所谓a>–3不合题意，就是此时f(x)≥g(x)不恒成立，即f(x)<g(x)能成立，也就是该不等式在区间[0，1]上的解集不空．

所以a>–3时，f(x)≥g(x)不恒成立，

即a>–3不合题意，这说明原不等式成立的必要条件是a≤–3．

综上，实数a的取值范围为(–∞,–3]．

“没有最好，只有更好！”一个问题可以有不止一种解法，而且也不存在一种解法是绝对最好的．我们曾经在文[5]中针对近几年的若干高考函数导数问题的解法指出，“它们还有更自然、更简单的解法”．事实上，2010年高考课标卷文科第21题、2015年高考北京卷理科第18题、2016年高考全国Ⅱ卷文科第20题与Ⅲ卷文科第21题、2017年高考全国三套试卷的理科第21题等都可以借助充分条件与必要条件的逻辑关系得到简单、自然的解法．真可谓：充分与必要解题总需要!

题目千千万，解法万万千；年年都考试，今年似不同．在解貌似陌生的高考“新题”时，要相信一个基本的道理：很多同类试题只是对以前的问题稍加“变式”，以一个崭新的面目出现在我们面前，如果能揭开题目的“面纱”就可看穿题目的“真面目”，使问题获得解决．

回顾上述问题的解决，我们深刻地感受到：“数学推理表其外，理性思维蕴其中”，只有充分暴露解题思维过程的教学，才有可能使学生的数学核心素养真正落地生根，只有多想，方能少算．

“大道至简”，数学的目的之一在于揭示被千变万化的表象所掩饰的本质，还数学以本源．

参考文献

1．教育部考试中心．高考理科试题分析(课程标准试验2011年版)[M]．北京:高等教育出版社，2011(1):69-70

2．王芝平，王坤．数学解题勿忘自然、简单的原则[J]．数学通报，2014，53(1):59-60

3．王芝平．让解题思路来的更自然一些[J]．数学通报，2013，52(2):43-46

4．王芝平，王坤．决胜高考数学压轴题(理科)[M] ．合肥：中国科学技术大学出版社，2016(12): 281，254

5．叶琪飞．回归概念是良策，洛氏法则为哪般[J]．数学通报，2017，56(10)：46-48

6．章建跃．章建跃数学教育随想录[M]．杭州：浙江教育出版社，2017(6)

作者近期文章：

公众号“平说数学”创建于2019年9月1日.

本号宗旨：

为热爱数学和研究数学的广大师生搭建一个学习、交流的平台.

我们将与关心、支持本号的朋友共同努力，争取做到：

以平实近人的思维探寻解题思路；

以规范简练的语言表述解题过程；

以精简实用的反思感悟数学思想；

以渐变求善的变式巩固思维经验；

以自然而然的过程提升数学素养；

以引人入胜的故事传播数学文化.

真诚地欢迎全国各地的数学教师和数学爱好者拨冗赐稿!

来稿请注明您真实姓名、工作单位和联系方式.

特别欢迎短小的原创文章，本号原则上只接受word版文档格式的电子稿件.文责自负.

投稿邮箱：[e-mail]

请点击上方蓝色字：“平说数学”，订阅本微信公众号，您会及时收到最新内容；

请点击右上角的：“…”，发送给您的朋友们并分享到您的朋友圈.

谢谢！

请长按或扫描二维码，关注：平说数学.

欢迎转载本号所有文章，请注明转自：“平说数学”.