函数型不等式压轴题的“套路化”的解法：为何你想不到那样的放缩？

文：吴统胜 李家昊

广东省佛山市第一中学

本文前天发布后发现有处错误，随后删除，今天纠正后发出，各位大咖切莫见怪。

在压轴题证明有一类不等式的证明让人伤透脑经，由于不等式里面大都含有e^x和lnx,常规求导求最值往往显得力不从心。处理该类问题有一个更加通用的方法，那就是将e^x和lnx毁尸灭迹放缩成简单的kx+m形式。但实际处理当中放缩具体值往往难以想到。

今天我们来探讨一下此类放缩问题的通法。

1.问题引出

【解后思考】

证法一用了隐零点整体代换的思想，该方法可以详见上一篇文章

证法二利用“公切线”法证明函数型不等式, 可以化曲为直, 方法相当精妙, 也可实现对不等式的精准放缩, 证明方向相当明确. 此方法适用于一凸、一凹函数类型, 若两函数同为凸函数或凹函数, 则该方法不可用, 但可对原不等式作适当变形, 转化为不等式两边分别为一凸、一凹函数类型, 再用“公切线”法证明, 但求公切线的过程计算稍显麻烦! 

证法三利用常见函数型不等式证明, 过程简单, 但放缩的“度”不好把握, 不一定恰好成功!

能不能找到更好、更简洁明了的方法, 可以快速直接地把e^x, lnx, xlnx 放缩为以下类型e^x ≥ kx + m, lnx ≤kx + m

2.方法的优化、拓展、一般化

3、优化解法的再应用

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