数学分析:级数敛散性的判断及证明专题

一、数项级数收敛性证明方法目录

1、直接验证部分和存在极限

2、Abel变换验证部分和存在极限

3、比较判别法判断级数的敛散性

4、d'Alembert判别法判断级数的敛散性

5、等价无穷小判断级数的敛散性

6、Cauchy收敛准则判断级数的敛散性

二、数项级数收敛性证明方法及例题分析

1、 直接验证部分和存在极限

级数  的部分和  级数收敛的充分必要条件是  收敛.

若  则称上述级数为正项级数, 此时部分和单调递增. 从而正项级数收敛的另一个充分必要条件是  有上界.

例1、 判断级数  的敛散性.

解: 注意到则原级数收敛.

例2、设  是正项级数, 满足:  关于n有界;  单调下降趋于0. 证明级数  收敛.

证明：任取  满足  则  则  有界, 记为  由  的单调性可知，当  时  则再由  的任意性可知, 固定  让   则  又由  的任意性可知, 级数  收敛. 

例3、若 且  发散, 证明  收敛.

证明: 由于  是单调递增趋于无穷的, 则  且故  收敛. 

2 、Abel求和验证部分和存在极限

例4 、设数列  收敛, 且级数  收敛, 证明级数  也收敛.

证明: 设  则

由于  收敛, 则  也收敛, 从而  收敛. 

定理1 （Dirichlet判别法）：设数列  单调趋于0, 级数  的部分和有界, 则级数  收敛.

证明：设  并不妨设  单调递减趋于0, 则  且  由于

当  时, 上式趋于0. 根据Cauchy收敛准则，原级数收敛.

定理2 （Abel判别法）：设数列  单调有界, 级数  收敛, 则级数  收敛.

证明：设  则  单调趋于0. 由Dirichlet判别法可知,  收敛, 则级数收敛. 

例5 、证明级数  是收敛的.

证明：利用三角函数积化和差公式, 即 可得

根据Dirichlet判别法可知, 原级数收敛.

3、 比较判别法判断级数的敛散性

定理3（比较判别法）：若存在  使得  (对充分大的  成立即可), 且  收敛, 则  收敛.

例6、 判断级数  的敛散性.

提示: 当  时, 

例7、 判断级数  的敛散性.

提示: 根据

例8、 若级数  收敛, 则  收敛.

提示:  

例9、证明级数  收敛.

提示: 充分大时, 

例10、 设  收敛, 证明级数  也收敛.

证明： 由Cauchy-Schwarz不等式, 即故有 因此

再由  收敛可知,  收敛. 

4、 d'Alembert判别法判断级数的敛散性

设  是正项数列. 在比较判别法中, 需要找  的上界. 如果数列  是单调递减的, 那么上界当然会存在且上界为  , 而数列  是单调递减的当且仅当 

下面取 且  则有d'Alembert判别法.

（i）若对充分大的恒有  时, 级数  收敛.

（ii）若对充分大的恒有  则级数  发散. 

例11、 设  判断级数  的敛散性.

解: 由于则当  时级数收敛; 当  时级数发散. 当  时,级数也发散. 

5 、等价无穷小判断级数的敛散性

设  是正项数列, 如果  则

（i）当  时,  与  同敛散：

（ii）当  时,  收敛可推出  收敛.

（iii）当  时,  发散可推出  发散.

例12 、若正项级数  收敛, 且  证明  收敛.

证明：正项级数  收敛, 则   故  收敛. 

例13、 判断  的敛散性.

解：由Taylor展开可得, 则

 故原级数收敛. 

例14 、设  判断  的敛散性.

解: 由于  则级数  的敛散性与级数  的敛散性相同. 当  时原级数收敛, 当  时原级数发散. 

例15 、设  计算 

提示: 先求  的极限.

例16、 计算 

提示: 

6、 利用Cauchy收敛准则判断级数的敛散性

定理4 （Cauchy收敛准则）： 收敛的充分必要条件是

 当  时, 

例17、 判断调和级数  的敛散性.

解：  时, 有

由Cauchy收敛准则可知, 原级数发散. 

例18 、若  为发散级数, 则  也发散.

证明：若  有无穷项不小于1, 则  发散; 若  只有有限项不小于1, 则存在  当  时  从而此时有  由Cauchy收敛准则可知,  也发散.

例19 、 设  且级数  证明级数  发散.

证明：  单调上升, 则

由于  则任意的正整数  当 p 充分大时, 有 从而  则  发散. 

三、总结

在各大高校数学分析考研中，涉及级数每年基本都会有一道计算题或证明题，只需要掌握一些基本的证明方法和计算方法，就能应付考研中的级数这个考点.  本文所选的例题难度不大，各位读者可以作为课后练习，建议做的时候先不看答案，花时间思考一下，定能有所收获。

下面小编给出一个练习题（先思考，实在做不出来再看答案）：

解答如下：

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