e^iπ+1=0：史上最完美的数学公式

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e^iπ+1=0：史上最完美的数学公式

From 李卍量子学派 2019-04-07

e^iπ+1=0

原来上帝与我同在，

欧拉也与我同在。

——节选自《人类最美的54个公式》

在人类的学问里，最接近上帝的是数学。

数学追求最高的精确、最合理的逻辑。但更奇妙的是，这个宇宙竟都是经得起每一个极简公式的一再推敲考证。

不过，世界只有极少数人天生对数具有强有力的直觉与天赋，这种天赋拉着他们有如抛物线般地回归，不断试图偷取上帝的语言以帮助人类面对和解释宇宙里最基本的存在。

在这样一小撮天才之中，却只有犹如“上帝之子”的欧拉，将世上最基本的5个数学常数0，1，e，iπ简洁地联系起来，同时也将物理学中的圆周运动、简谐振动、机械波、电磁波、概率波等联系在一起……宇宙最简洁的缩影在数学与物理中从此有了最简易的表达。

欧拉的存在也成了科学界屹立不倒的神话。他不仅智慧超人，而且勤勉感人，甚至以德服人，为众高手所仰慕，是许多科学家穷极一生想要追赶的对象。

“一笔画”解决

哥尼斯堡七桥问题

18世纪东普鲁士首府——哥尼斯堡，是当时名噪一时的宝地，不仅专门诞生伟大人物，如哲学家康德，还有网红景点普雷格尔河坐镇。

这条河横贯其境，可把全城分为下图3-1所示的四个区域：岛区（A）、东区（B）、南区（C）和北区（D）。

图3-1

其间还有七座别致的桥，横跨普雷格尔河及其支流，将四个区域连接起来，引得游客络绎不绝。游玩者都喜欢做这样一个尝试：如何不重复地走遍七桥，最后回到出发点。

然而，几乎每个尝试哥尼斯堡七桥问题的人，最后都精疲力竭，垂头丧气，他们发现不管怎么绕都会重复。

本来独眼巨人欧拉刚右眼失明，内心十分苦闷，但看到周围的居民竟都为这个问题如此抓耳挠腮，觉得很有意思。因为就算不用脚走，照样子画一张地图，把全部可能路线都尝试一遍也能把人整得心力交瘁，毕竟各种可能线路加起来有种。

为解决这个问题，欧拉巧妙地把它化成了一个几何问题，将四个区域缩成4个点，以 ABCD 四个字母分别代替4个区域，然后桥化为边，得到了图3-2。

图3-2

再简化些，就变成图3-3。

图3-3

这样，难解的七桥问题瞬间摇身变为了孩子们最爱玩的一笔画问题，如果能在纸上一笔画完，又不重复的话，这个问题也就解决了。

整整一个下午，欧拉躲在屋子里闭门不出，桌上满是丢弃的纸团，复杂的线条像股杂绳。许久过后，沾满铅笔屑的手指终于离开了欧拉的脸颊，他迅速地再抽出一张白纸，写下：对于一个可以“一笔画”画出的图形，首先必须是连通的；其次，对于图形中的某个点，如果不是起笔点或停笔点，那么它若有一条弧线进笔，必有另一条弧线出笔，如图3-4所示。也就是说，交汇点的弧线必定成双成对，这样的点必定是偶点。

图3-4

而图形中的奇点（经过此点的线的条数为奇数的顶点），只能作为起笔点或落笔点，在此基础上，欧拉最终确立了著名的“一笔画原理”，即一个图形可以一笔画的充分必要条件是：

1. 所有点都连通

2. 奇点的个数为0或2

显然，从图3-3中，我们可以看到奇点的个数为4，不符合条件2。因而，多少年来，人们费尽心思试图寻找的经过七桥而不重复的路线，其实根本就不存在。

将七桥问题转化为一笔画问题，是一个把实际问题抽象成合适的“数学模型”的过程，这当中并不需要运用多么深奥的理论，但想到这一点，却是解决难题的关键。后来，我们将此种研究方法称为“数学模型方法”，而这也是欧拉作为18世纪最伟大的数学家，异于常人之处。

多面体欧拉公式

透视几何之美

1736年，《哥尼斯堡的七座桥》论文的发布，同时也开创了数学的一个新分支——图论与几何拓扑，而这时，欧拉年仅29岁。

当然，这对于13岁考入名校，15岁本科毕业，16岁硕士毕业，19岁博士毕业，24岁成为教授的欧拉来说，其实并不稀奇。即使年纪轻轻就被上帝夺走了有形之眼，但其始终保持着那双透视几何之美的无形之眼。

继解决七桥问题之后，作为拓扑学的奠基人，欧拉还提出了拓扑学中最著名的定理——多面体欧拉定理。即对于简单凸多面体来说，其顶点数V、棱数E及表面数F之间的关系符合欧拉公式：V-E+F=2。

举个例子：如图3-5所示，一个立方体有8个顶点，12条棱和6个表面，带入拓扑学里的欧拉公式中，显然8-12+6=2。

图3-5

其神奇地揭示了简单多面体顶点数、面数及棱数间的特有规律，并证实了一个有趣的事实：世上只存在五种正多面体。如图3-6，它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。

图3-6

后来，为了洞悉其他多面体的特有规律，如对于油炸圈饼状的多面体来说，V-E+F=0，并不等于2。现在数字V-E+F也被称为欧拉示性数：它是一个“拓扑不变量”，用以区分不同的二维表面。球状表面的欧拉示性数永远为2；油炸圈饼状表面的欧拉示性数永远为0；扭结饼干状表面的欧拉示性数永远为-4，如此，等等。

拉扯微积分长大成人

作为科学史上最多产的数学家，欧拉孜孜不倦共写下了886本书籍和论文，其中分析、代数、数论占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道学、航海学、建筑学等占3%。后来，彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了四十七年。

然观其一生，在欧拉的所有工作中，首屈一指的还得论对分析学的研究，其成功地拉着牛顿和莱布尼茨的孩子微积分长大成人，被誉为“分析的化身”。

比起牛顿和莱布尼茨为谁是微积分的亲生父母争得头破血流，欧拉这个养父显然敬业得多，一连出版《无穷分析引论》（1748），《微分学》（1755）和《积分学》（共三卷，1768-1770）三本书，堪称微积分发展史上里程碑式的著作，并且在长时间内，一直被作为分析课本的经典典范而普遍使用。

其中，《无穷分析引论》中给出了著名的极限（e=2.7182818……），而复变函数论里的欧拉公式e^iθ=cosθ+i sinθ更是在微积分教程占据了重要地位。这个公式能力超强地把微积分的三个最为重要的函数联系在了一起，而这些函数可是人们研究了千百年的课题！

指数函数exp(x)，可等价写为ex，这是微积分中唯一一个导数和积分都是它本身的函数。而三角函数中的余弦函数cos和正弦函数sin则是微积分中榜眼探花。阿尔福斯曾感慨：“纯粹从实数观点处理微积分的人，不指望指数函数和三角函数之间有任何关系。”欧拉却能独具慧眼地将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系。

更直观点理解，我们可以到复平面上看，θ代表平面的角，e^iθ看作通过单位圆的圆周运动来描述单位圆上的点，通过复平面的坐标来描述单位圆上的点，是同一个点不同的描述方式，所以有，如图3-7所示：

图3-7

后来，我们还会在各个领域看到这个公式带来的变体，比如在经济学中的演变：

专用来求解消费者的需求函数或生产者的生产函数，而这是整个微观经济学的基础。

遥想当年，牛顿、莱布尼茨创立微积分基础不稳，应用有限，主要还是从曲线对微积分进行研究，而欧拉却与一批数学家拓展了微积分及其应用，产生一系列新的分支，并把它们共同形成“分析”这样一个广大领域，同时明确指出，数学分析的中心应该是函数。

自此，18世纪的数学形成了代数、几何、分析三足鼎立的局面，而工业革命以蒸汽机、纺织机等机械为主体的运动与变化，也得到了最适合的数学工具进行精确计算。

上帝创造的公式

如果取一个特殊值，令θ=π，代入复变函数论里的欧拉公式e^iθ=cosθ+i sinθ中，可得：e^iπ=cosπ+i sinπ，即e^iπ=-1+0，简单变换后也就是我们最为熟知的“有史以来最优美的等式”：e^iπ+1=0，其极具号召力地将数学上最重要的5个常数0、1、π、e和i聚一堂，并以一种极其简单的方式将数学上不同的分支联系起来。

老祖宗0和1，是最简单的两个实数，是群、环、域的基本元素，更是构造代数的基础。任何数与“0”相加都等于它本身，任何数与“1”相乘也都等于它本身，有了0和1，就可以得到其他的数字。

小弟无理数π，引爆数字狂热的同时，隐藏着世界上最完美的平面对称图形——圆。其在欧氏几何学和广义相对论中无处不在，有了 π，就有了圆函数，也就是三角函数。

大哥无理数e，是自然对数的底，大到飞船的速度，小至蜗牛的螺线，四处可见其身。有了e，就有了微积分，也就有了和工业革命时期相适宜的数学。

甚至，连数学的隐士高手虚数单位i也在其中，其是-1的平方根，也是方程“x²+1=0”的解。有了i，就有了虚数，平面向量与其对应，也就有了哈密尔顿的四元数，接连着，在欧拉之后的未来，虚数还引发了电子学革命的量子力学的理论基础。

还有最重要的运算符号“+”和最重要的关系符号“=”含于其中。减法是加法的逆运算，乘法是累计的加法……有了加号，就可以引申出其余运算符号；而等号则在我们最初接触算术时，便教会了我们世上最重要的一种关系——平衡。

欧拉恒等式仿佛一行极为完美而简洁的诗，道尽了数学的美好，数学家们评价它为“上帝创造的公式，我们只能看它却不能完全理解它”。而在三角函数、傅立叶级数、泰勒级数、概率论、群论等领域，我们却能随处可见它的倩影，就连数学王子高斯也不得不承认：“欣赏不了它的人，一辈子都成不了一流的数学家。”

结语

致敬“所有人的老师”

晚年60岁时，欧拉不幸双目失明，但他依旧能运用强大的记忆力和心算能力，通过口述形式完成了400多篇论文，独自创立了刚体力学、分析力学等新学科。

法国大数学家拉普拉斯曾感慨：“欧拉是所有人的老师。”

而这不仅仅是因为几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字——初等几何的欧拉线、多面体的欧拉定理、立体解析几何的欧拉变换公式、数论的欧拉函数、变分法的欧拉方程、复变函数的欧拉公式……也不仅仅是因为他的全部创造在整个物理学和许多工程领域里都有着广泛的应用。

更是因为欧拉在为我们留下极其丰富的科学遗产时，还为我们照亮了为科学献身的精神。在极少天赋异禀的天才之中，我们很难再见到有一人像欧拉这般一生勤勉而顽强，为学术而失明，但却不曾因失明而停止前进的步伐，甚至保持充沛的精力到最后一刻。