不谈公式，6位数学家在一起聊什么？ | 求是西湖论坛
►左起：许晨阳、彭实戈、田刚、张益唐、朱歆文、刘若川
编者按：
10月15日，2016年度求是西湖论坛——“数学与数学人”主题圆桌会在北京大学燕京学堂报告厅落下帷幕。
此次论坛邀请到包括2016年度“求是杰出科学家”得主彭实戈、张益唐，北京大学教授、中科院院士田刚等资深数学家和几位活跃在数学研究前沿的青年数学家一起，围绕“如何理解数学家这个职业”“如何评价数学在今天的意义”以及“如何追寻人类心智的荣耀”等议题展开畅所欲言，展现“数学与数学人”的风貌。
受邀与会的《知识分子》整理了数学家们的讨论内容，以飨读者。
整理 | 吕浩然、程莉
责编 | 李晓明
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►许晨阳：我想问的第一个问题是在座各位数学家在人生什么阶段选择走上数学的道路的。
张益唐：我好像没有专门一个阶段去选择做什么。我小时候很喜欢数学，但由于当时的历史条件等因素，并没有机会读书。恢复高考以后，因为我一直喜欢数学，我自然就选择报考了数学系。后来一直这么做下去了，所以对我来说没有什么特别的选择过程。
田刚：我母亲是学数学的，我在中学的时候自己看一些数学的东西。在我的家庭条件下看书也比较容易一点。那个时候觉得自己数学比较好，也还比较感兴趣、得心应手，当然题目也很简单。高考的时候，因为我的数学比物理考得好，所以来了数学系。随后一步步走过来，到了大学快毕业的时候，觉得确实应该去做数学研究，而且也比较坚定地要做基础数学。
彭实戈：我是学物理出身。本科期间，我大部分时间是在图书馆，并没有到物理系，我现在还记得图书馆可以跳窗户进去。起初也没有说一定要学数学，但是那个时候一定要从高等数学开始。我记得很清楚，有一次我在图书馆看热力学，忽然之间想起一个数学问题，我就写了一篇关于数学的文章。我觉得这个经历同我后来的研究有很大关系，后来自己想问题、找问题，对数学非常感兴趣，也非常自由，研究数学我觉得是非常自由的事情，可以自己决定想什么、怎么想，什么时候出来结果，都是很自由的，这也是我非常喜欢数学的一个原因。
朱歆文：我是小时候对数学比较感兴趣，高中参加数学竞赛，大学也进入到了北大数学系。那个时候并不清楚将来的方向，刚进大学的时候其实根本搞不清楚现代数学是什么，那时候的理解和现在完全不一样。大学期间，刘若川这些学长们经常在茶余饭后谈论数学的事情，田刚老师也总开一些论坛，我都有参与，也自然而然的走上了这条道路。
我直到研究生阶段才真正开始做研究，这和本科又完全不一样：本科主要是学习知识，而研究生则是找题目。刚开始导师会给一些题目，但更多的题目则需要自己找，如果做不出来可能就要走上其他的道路，这都是有可能的。最后自己找了一些题目，导师给的题目做了一些，也找到了一份不错的工作，慢慢就开始了。
刘若川：我的经历和许晨阳、朱歆文比较类似。中学的时候参加一些竞赛，我对数学感兴趣。在大学的时候觉得喜欢一件事情就去做了，又得到了正面反馈，这会加强你做这件事情的动力，一步一步的继续做下去了。后来读研究生的时候，可能会觉得找题目、做研究有些困难，偶尔也想过是不是去华尔街，偶尔脑子里也闪念过，但却没有真正考虑过这些问题。
许晨阳：我也是中学参加数学竞赛，通过数学竞赛进入了北大。进入大学以后，当时同刘若川很熟，他的一句话给我很深的印象，他说：“数学不抛弃我，我一定不抛弃数学”。那个时候就感觉这句话很有意思，而且慢慢上大学开始觉得这与中学时代学习的数学是完全不一样的概念，就一直做了下去。最后找的工作也还比较惊喜，就走上了这条道路，主要还是数学没有放弃我。
►提问：你怎么知道数学没有放弃你？
许晨阳：我讲一个具体例子，我在美国做博士后的时候曾考虑如果我做得不顺就再做一个博士后，如果两个博士后都找不到教职我就放弃数学，结果做到第一个博士后我就找到了工作，所以我觉得数学没有放弃我，能够给我工作，做自己喜欢做的事情，我觉得它没有放弃我。
►提问：我想请教张益唐教授，你是不是就算“数学放弃我，我也不放弃数学”？
张益唐：我没有想过这一句话，但的确有过这样一个经历，我突然感觉数学并没有放弃我，为什么呢？我那时候一直找不到工作，突然在英特尔工作的我北大80级同学来找我，说网路设计上有一个问题解决不了，问我能不能帮他解决。那个问题实际上是离散数学的问题，我花了一个星期帮他做出来了。
也是为这个事情我感觉有点自信心了，看来数学真没有放弃我，我仍然记得那位同学电话里跟我说了这么一句话：“你的内功还都留着呢，等着你去华山论剑呢”。所以在我的生涯中遇到这样一件事情，就觉得数学没有放弃我，当然如果你自己能坚持的话，我觉得数学不会放弃你。
田刚：刘若川讲的“数学不放弃你”跟你的心态有关系，数学肯定不会放弃你，刘若川开始的时候也不像想象中的那么顺利，但是他还是能够坚持做，而且现在也做得非常好。这是一个心态，数学不会放弃你。
►加州大学圣塔芭芭拉分校数学系教授张益唐
►提问：我的很多同事和家长都在纠结一个问题，我们的孩子到底要不要学奥数。有的家长坚决反对学奥数，有的则坚决支持，所以想请台上的六位数学大师给我们解读一下。
刘若川：这个问题好像是问“是不是每个人都该练习跑百米”，体育运动大家都应该做一做，但是不是每个人都有必要练习百米冲刺？纯粹地说，答案是否定的。尤其是奥数，它只适合很少一部分学生，适合那些对它感兴趣、有能力的学生，对于大部分学生来说，如果你强迫他做一件事情，可能会带来反面的、心理上的影响。但可能现在的社会环境不允许你这样做，这就是我们的教育问题，教育本来要让人快乐地成长，但是现实环境做不到，因为你有竞争，所以这就是个人选择的问题。如果不学奥数对于升学没有造成影响，且心理上也没有影响，兴趣也不在奥数上，你就可以不学，如果孩子喜欢，他/她就一定会去做这个事情。
许晨阳：我个人觉得奥数有一点比较好：如果你真的对数学或者对类似的东西有兴趣，它可以让你跟同样有兴趣的人碰在一块。我高中的时候认识了朱歆文，参加奥数的时候认识了刘若川，与跟你有类似思考方式的人在一起，甚至形成了一种良性竞争，这对你个人的成长帮助是很大的。就像刘若川说的，你得适合这个事情。
刘若川：基本数学和基本文化素质大家都要去学习、提高，但奥数还有选拔的意义，为了升学等等。就像钢琴十级一样，很多人也不喜欢，就是为了升学，这要看你的选择。
►山东大学数学学院教授、中科院院士彭实戈
►许晨阳：除了数学，各位嘉宾还有什么爱好，在研究不顺的时候又有哪些爱好？
张益唐：我觉得在主攻一样东西时候，同时也可以关注另外几样东西，这项做得不顺，至少短期内，你可以把注意力放在其他方面。我开始并没有主攻素数问题，但这几年来我一直在关注，别的东西做不下去，做做这个，我觉得可能更顺当一点，这样你就可以进行自我调整。
彭实戈：我很同意张益唐教授的观点。做数学，首先要感兴趣，一般来说我会给自己提很多问题，有的问题是找人去聊聊。
刚才晨阳说问题，有一些志同道合的人进行探讨是很重要的。不仅如此，最重要的是有一个好老师能够吸引一批好学生，这批好学生在一起能够进行讨论，我自己觉得这是非常重要的。
田刚：刚才两位讲得很好，我就补充一些。第一，对于其它爱好的问题，我平时喜欢爬山。很多时候，尤其你爬山爬多了以后就会产生一个感觉：过了一个山头还有一个山头，而且是一步步走过来的，这会锻炼你做研究的耐心，是有好处的。而且到达山顶时那“一览众山小”的感觉，至少是非常好的。就像彭老师说的，得到一个好的结果会有喜悦感，这个很重要。
做数学或其它任何研究，我相信很多时候会遇到挫折，尤其你想一个比较大的问题，很多时候是没有进展的，都会有挫折感。这个时候就需要你有耐心，
在座的大部分年轻人，刚开始一有挫折就比较容易受影响，这时候需要把东西放一放。我自己的感觉，关键还是不能放弃，并不是要你每天每时每刻都在思考这个问题，可能一时想不出来就放松一下，做一些别的事，但这并不是说要放弃。
朱歆文：跟普通人一样，数学家的兴趣爱好也很多，尤其是爬山。做数学有一个好处就是你不需要什么实验设备，爬山的时候，几个人边走边聊，自然而然就爬到了山顶。有的时候这种沟通还是能产生新的想法，跟平时自己在屋子里拿着纸和笔思考是不一样的。
刘若川：刚才彭老师提到与别人聊聊天，我觉得这个其实挺重要的。平时我一直在我的课上说：中国学生学习一般都爱读书，“用眼睛学习”特别厉害，但是“用嘴学习”的能力却很差，“用嘴学习”就是发问、课下跟别人聊，不要怕你问的问题愚蠢，问题越愚蠢，从回答中得到的信息量越大。但从目前来看，我感觉情况的改观不是很大，希望以后北大的同学在课上还是多问问题。课下改善了很多，学生经常问我很愚蠢的问题，我非常欣赏这一点。
彭实戈：我非常同意若川说的，问问题不要怕这个问题问得傻。其实真正好的问题和傻问题离得不是太远。数学问题有时候是你想的是这个，但答案却是另外一个，这是非常有意思的事情。
田刚：我记得90年代初德国有一个著名的会议中心叫黑森尼，每个周三下午都去走路，下午一点出发，走两个半小时到那儿，喝一杯咖啡，吃完晚饭后再走回来。一路上大家聊天，聊数学或者聊很多其他的事。几十个数学家走在一起是个很好的交流机会，这个形式很好。你不要放弃你自己感兴趣的问题，跟同行们多聊天、交流，还是能产生很多新的想法，对自己的研究有很大触动。
►北京大学国际数学研究中心主任、中科院院士田刚
►朱邦芬：物理系学生到高年级可以跟着老师做研究，但是数学系却很反对，物理很多是通过做研究达到几个目的，一个目的是知道科学研究是怎么回事；第二，做研究的时候很多东西逼着你自己要去学习，看文献、提问题、与人讨论，这种学习过程是很重要的；第三，通过研究你可以找到自己感兴趣的领域，我们是出于这三个出发点来鼓励物理系高年级的学生做一点研究。但是数学系很反对，您几位怎么看？
田刚：我们北大数学学院还是鼓励学生在高年级的时候进行一些研究的，所以这不是共性的。朱歆文二年级就参加了讨论班，我们也鼓励归国的青年教师带一些研究生、本科生去做一些研究，但我们也希望他们进修一些基本课程。
刘若川：我非常赞成朱院士，数学也做类似的事情，北大现在也有本科生科研制度。因为数学方向比较庞杂，不同方向期望值不一样，我的方向基础研究比较多，不指望我们的本科生科研能做出多么严肃的结果来，但是也希望他有一个模模糊糊、似懂非懂的学习过程，通过聊天和发散式的方式学习，这是很重要的体验，以后到了研究生院学习过程会反过来。数学家虽然讲究逻辑，但是到了研究型数学间，学术是反过来的，先学结论再学逻辑。研究生院先用这个技巧，不要执著于这个东西怎么证明，而是先理解它。
当然这一点并不绝对，有的人也严格按照逻辑方式进行。我想强调的是我们也非常重视朱院士说的学习方式，也有这种传统在。
张益唐：我赞成本科生在高年级开始就做研究，也不是指望你马上就能做出什么好的结果，但是最起码有一样：如果通过这个过程你能发现以前学的东西哪些还没学好，也是一个收获。不要说本科生，以我自己来说，我也不觉得我自己有多高明，我做数论，很多东西我也不知道证明是怎么来的，但是我知道这个结果，而且知道怎么把这个结果用起来，之后再回过头来看。传统上我们强调基础，基础不扎实确实不行，可是仅仅强调基础就够了吗？我们要与时俱进，比如我们要用到很多代数几何，把某个定理从叙述到证明完全学下来才允许去用它，这并不必要，至少我不是走这条路的。
朱歆文：高年级科研是比较好的一个模式，加州理工还鼓励这个，每年有一些奖学金，大概八周六千美金，二年级、三年级的学生去自己跟教授联系，如果他愿意就可以带你。每年都会有那么一些本科生的结果还是非常好的，可能比很多研究生的博士论文都还好。但是对大部分人来说，至少了解了一下科研其实和书本上学的确实完全不一样，思维方式都完全不一样。而且学东西和你真正做东西时的理解是完全不一样的，有时候你觉得自己上课都学懂了，考试一百分，其实不是真的学懂了，差很远。我最近和刘若川教授有一些合作，和我以前做的东西一点关系都没有，先知道了一些结果，跟他讨论，然后就学，慢慢才知道一些具体细节，这就是一个反过来的过程。我们现在做研究也都是这样的。
彭实戈：刚才几位教授说得都非常有道理，这是一个本事，你拿到结果，还没有知道怎么证明，就知道怎么去用，这本身是一种本事。我们中国的学生很少有这种本事，很多问题我一看这个结果就知道这个结果特别好，我们很多同学一看见首先就想怎么证明，而不是想这个结果这么漂亮，我什么地方可以用到。我觉得这个更重要，比得到证明更重要。当然了，你开始的时候要有这个训练。
►北京大学国际数学研究中心教授许晨阳
►许晨阳： 我们现在刚刚开始处于带学生的阶段，我想请几位老师谈一下你们带学生时候的想法。一般指导学生有两种，一种是很快地将学生引到您的研究方向，手把手给他一些问题，给他一些指点，让他快速成为这个方面的专家。还有一个办法是让他自己去找，消耗的时间可能更长，往往他博士读了三四年都还没有找到合适的研究方向。您是怎么处理这种情况的？
田刚：在北大，我作为院长，也希望老师多带学生，能够培养新一代的年轻数学家。可能跟我的老师、老师的老师的传承有关系，一般来说我同一个时间段的学生比较多，所以我跟学生说，第一先打一定的基础，有几本基础的书还是要读的，这几本书介于研究和平常上课之间。然后开始读一些文章，获取更多的研究经验。当然有的学生更早就开始读文章了。
总体来说，我培养学生首先要培养他的独立性，根据他的兴趣和能力，很大程度上也根据我自己的兴趣，给他一个方向或者一个题目。这个题目比较泛，不是具体要做出来的具体问题，可能是几个中间的某一块问题，让他去看这方面的文章，自己去摸索问题，让学生独立自己找问题。问题要做出来需要学生自己努力和一定的运气。也有一个可能性，这个专题里的问题都很难，但学生五年六年就要毕业，最迟六年，太晚了也不行，所以到一定时候，我会给学生非常具体的问题。
这样的方式我自我感觉还是比较成功的，确实培养了一批学生。为什么这样有好处呢？因为学生不管到什么程度，即使毕业，老师不可能整天在边上教你做这个那个，肯定有独立的时候，有的人早有的人迟一点，至少我是希望越早越好。我跟学生说如果你发现什么东西做不动了，先想两个星期再来找我，我不是给你解答问题的。
彭实戈：我觉得对老师和同学来说，两边都有很大的不确定性。我们最好让学生自己讨论，不要你提出所有问题，然后他去解决。你要看学生自己是不是能够自己提出问题，自己发现问题。有时候你碰到一个学生，你要给他一个估计，如果这个学生可以，你就给他一个题目。有的学生有这个能力，你给他一个题目，他很快就能给你回答，甚至还做出其他东西来，这种学生我就推向国外。过一阵碰到我推荐的教授，他说：“你给我推荐的学生太厉害了，我没法对付，我星期五给他题目，过了一个星期，他打出40页文章。”但是他说这种学生也有问题，他觉得自己什么都行，很容易骄傲，一点打击会消沉很长时间。
还有一些事真是碰巧，比如有一个问题很好，他去做这个问题很快就出了文章，而且文章一下就出名了。但其实他并没有受到太多锻炼，只是一篇文章，内功还没练出来就已经出名了。到现在我也没有找出一个统一的办法来带学生，因为每一个学生都不同。
田刚：有的学生特别好，最好的状态是你根本不用找他，他自己都可以做，一个好的学生甚至还可以对老师有反馈。
第二，一个年轻人要成长有两个步骤，选题的时候不知道这个题目做出来有多大意义，这是一个很困惑的地方。作为老师，我可以让学生做某个专题在某个方面找到一个问题，跟他们交谈，告诉他这个问题最后做出来一定有意义，他不用担心。还没有到最后他能够独立研究的时候，但是学生毕业以前完成最好，毕业以后完成也很好。总之第一步他能独立地找问题，不用担心这个专题有多大、是否有意义，我鼓励我的学生至少能做到这一步。
►加州理工学院数学系教授朱歆文
►许晨阳：做数学一般可以分成两种，一种是建立理论的，一种是解决问题的。一般来说这两者也不是绝对可分的，解决一个大问题的时候往往也发展了理论；发展理论时，来辨别你发展的理论是不是有价值的时候往往要看它能不能解决问题。这两者是相互关联的，我想请台上各位老师谈一谈自己对这个问题的看法。您觉得你是解决问题为主还是发展理论？
刘若川：目前我关注比较具体的问题，主要的办法还是在理论框架下做一些新的技术解决问题。
朱歆文：差不多吧，应该还是以解决问题为主。发展理论要有好的动机，有了好的问题指导你往前的话，自然而然会发展一套理论，但一般而言背后还是有一套具体的问题。如果纯粹发展一大套理论的话，稍微有点危险。中国数学家少一点，国外很多数学家发展了很多理论但是都被淘汰了，因为为形式的推广而推广，意义不大。
张益唐：数论里没有解决的、有挑战性的问题太多了，我也是解决问题。另外发展理论确实有一个问题，如果一个问题太流于形式，没有实质性内容，换一个说法就能解决吗？在能接触的专业里，我对形式化的发展理论持怀疑态度，别的地方我不敢乱说。
田刚：这个问题不大好回答，很多数学家尤其中国数学家还是以先解决问题为主。我觉得不光要解决问题，还要看清楚问题后面的本质，从更高一个层次去理解这个问题。因为从历史上来看的话，很多问题刚开始解决的时候很费劲，证明也很长，但是后来随着我们对整个数学、对整个问题和背景更深层次了解，以及工具发展、理论大大进步以后，我们发现原来解决的问题是很自然的。
我刚开始也非常倾向于解决问题，我还是对解决问题有一点内功的人。但是我也觉得，这么长时间以来，仅仅解决问题是不够的，尤其中国的数学家和学生，还要想后面更深层的原因、更高境界的理解，可以说这是追求理论。如果真正发展一个非常有用的理论，需要很长时间，也需要时间考验，我们应该朝着这个方向努力。
彭实戈：我们做的问题是概率论方面的问题，我觉得首先如果你没有解决问题的能力，发展一个理论也是不行的，所以开始的时候要培养解决问题的能力。比如在金融领域有非常多不确定现象，都可以用数学模型如倒向随机微分方程来分析、解决。倒向随机微分方程这个理论还是我们发明的，现在很多地方都用，而且很多人都问我们当时是怎么想到的。所以我觉得不要给自己设限只解决问题，不去发展理论。有时候你碰到的一些问题有可能因为工具不够而解决不了，就必须发展出一个新的理论来。
►北京大学国际数学研究中心教授刘若川
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