夏志宏：趣味数学——分数加法 | “点滴”专栏

点  滴

一直想记下多年来身边发生的一些小事，

以此回忆故事中的朋友和过去的岁月。

撰文 | 夏志宏

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上小学时很不喜欢做分数加减法，先得通分，再加减分子，一不小心就会出错。下面是常见的错误：

或者，

两道题犯了同样的错误：分子加分子，分母加分母。可能你不知道，上面两道题有时是对的，主要看你用在哪里。在概率论里，加法通常就是这么做的。请看下面的例子。

两个口袋里装着围棋，假定第一个口袋里有5个黑子，6个白子，取黑子的概率是5/11；第二个口袋里有6个黑子，3个白子，取黑子的概率是6/9。把两个口袋放在一起，取黑子的概率就是11/20。也就是说，5/11的概率加上6/9的概率是11/20。

同样，第二道题在概率论里也是对的。

因为概率加减法完全不符合分数加减法的基本法则，其结论也就可能违背常识，令人惊叹。

我们还是用上面的数字。如图，两张桌子上各放两口袋，

桌子甲： 口袋A，5黑子+6白子；口袋B，3黑子+4白子；

桌子乙： 口袋A，6黑子+3白子；口袋B，9黑子+5白子。

我们的游戏是取到黑子中奖。

对于桌子甲的中奖概率，

所以口袋A中奖概率大。

对于桌子乙，

所以还是口袋A中奖概率大。

现在是见证数学魔术时刻。两张桌子都是口袋A好，如果把两张桌子A和A放在一起，得奖概率是

如果把B和B放在一起，得奖概率是

结论：选择B更好，得奖概率更大！是不是有点不可思议？

你可能觉得这只是一个数学游戏，事实上这种现象在日常生活中时有发生。

两种新药A、B分别在上海和北京测试，效果都是A比B好。但测试数据放在一起时，却发现是B比A好。

美国加州大学伯克利分校有个课题组，曾研究女生在研究生录取时是否受到歧视，其文章在《科学》（Science）[1]发表。课题组在两组独立数据下的结论都是女生受到歧视，但数据放在一起后发现，女生并没有受到歧视。

在概率论里，上述现象叫辛普森悖论（Simpson’s Paradox），其基本原因就是概率加减法和我们平常加减法不同，由此衍生了很多有趣的数学问题（是的，可以写好几个博士论文）。看似高深的数学有时其实很简单。

——2018.5. 深圳

加州大学伯克利分校的研究：

P. J. Bickel, E. A. Hammel, J. W. O'Connell. Sex Bias in Graduate Admissions: Data from Berkeley, Science  07 Feb 1975: Vol. 187, Issue 4175, pp. 398-404

DOI: 10.1126/science.187.4175.398

夏志宏

南方科技大学数学系主任、讲座教授，致诚书院院长。

制版编辑：黄玉莹 |

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