罗杰·彭罗斯（Roger Penrose） 图源维基百科
导 读
2020年的诺贝尔物理学奖授予黑洞的理论和观测研究。为什么彭罗斯 “很数学” 的工作能获得诺奖？本文对时空弯曲、视界、奇点这些抽象概念抽丝剥茧，帮助我们理解黑洞。
撰文 | 施 郁（复旦大学物理学系教授）
责编 | 王一苇
2020年的诺贝尔物理学奖授予黑洞的理论和观测研究，其中一半授予罗杰·彭罗斯（Roger Penrose），奖励他 “发现黑洞的形成是广义相对论的普遍预言”（for the discovery that black hole formation is a robust prediction of the general theory of relativity），另一半授予莱因哈德·根策尔（Reinhard Genzel） 和安德莉亚·季姿（Andrea Ghez），奖励他们 “发现银河系中心的超大质量致密物质” （for the discovery of a supermassive compact object at the centre of our galaxy）[1]。诺贝尔奖颁奖理由的用词是很严谨、有考量的。关于彭罗斯工作的 “robust”，以及关于根策尔和季姿发现的 “超大质量致密物质”（而不是直接说 “超大质量黑洞”）都是微妙用词。本文对彭罗斯部分的科学和历史作了详细分析和深度解读，并尝试讲解彭罗斯的研究中时空弯曲、视界、奇点等名词的科学含义。根策尔和季姿的部分将另文分析。 Robust的含义
彭罗斯获奖理由中的 “robust”，已经出现若干不同翻译。在日常生活中，robust的本意是强壮、坚强、结实等等。如果这些词用在这里，不大符合中文习惯。Robust在这里的意思是对细节不敏感，结论在很多情况下成立。这个词经常用于描写某个机制或者某个理论，中文中没有完全同义的词，有人直接音译成 “鲁棒”。诺奖委员会将 “robust” 用在这里，是为了强调彭罗斯首次发现，黑洞在广义相对论中的出现不需要苛刻、理想化、不现实的条件，而是很普遍。这凸显了彭罗斯工作的重要性。因此我将robust翻译成了 “普遍”。从暗星到黑洞
正如获奖理由所说，黑洞是广义相对论的预言，而不是牛顿万有引力定律的预言。但是诺奖官方资料也提到了暗星这一“早期历史”，显示了科学的传统和连续性。暗星是18世纪末，英国天文学家兼神父米歇尔（John Michell）和法国大科学家拉普拉斯根据牛顿力学独立提出的。暗星与黑洞这两个概念有联系又不同。所以我们先对暗星做一个通俗易懂的解释。发射火箭时，火箭必须要加速到超过逃逸速度，才能挣脱地球引力。我们现在设想，在很多不同的星球上发射同样火箭。显然，星球的质量越大，或者半径越小，火箭所受的引力就越大，为了挣脱星球的引力，所要达到的逃逸速度也就越大。如果在某个星球上，逃逸速度大到超过光速，那么光就不能逃逸出这个星球。因此这个星球上的任何光亮都不能在星外被探测到，这个星球就成为暗星。18世纪还不知道，其实所有物体的运动速度都不可能超过光速，所以我们今天还可以加一句，暗星上任何物质都不能逃逸出去。黑洞也不能发出光或者其他物质。它的一个特征叫做事件视界，简称视界。任何物体（即使是光）如果落到视界之内，就再也不能出去。黑洞的质量越大，或者半径越小，视界就越大。与暗星类似，天体如果小于自己的视界，就成为黑洞，不能被外界探测到。而且，不转动的黑洞的视界半径正好与暗星的半径一样。但是黑洞并不是暗星，其表现出的行为就不一样。如果假设黑洞视界内有光（或者其他物体），它根本就离不开视界。这与暗星概念不同。在暗星上，光（或者其他物体）先离开表面，速度逐步减少，再下落回来。而且黑洞视界还有其他奇怪的性质。比如，物体进入视界，是正常通过，但是在远方观测者看来，是无限逼近视界，活动越来越慢，直到接收不到信号，时间停止。因此科幻电影上，有人在黑洞附近度过几分钟，飞船上的人已经度过了多年。这是时空（时间-空间）弯曲的后果。 当然，在形成暗星的条件下，广义相对论要取代牛顿力学，所以事实上应该形成黑洞，而不是暗星。时空与世界线
时空这个概念源于狭义相对论。1905年，爱因斯坦在光速不变的前提下提出狭义相对论。德国数学家闵可夫斯基注意到，这使得时间成为3个空间坐标外的第4个坐标，时间和空间构成一个数学上的四维整体，叫做时空。之所以说是整体，是因为光速不变导致这个四维坐标系可以随意旋转和移动，而不改变物理规律。也就是说，一个参照系（即坐标系）的时间坐标与另一个参照系的时间坐标和空间坐标都有关系。在我们的日常经验中，因为没有光速不变这个假设，不同参照系的时间一样。这就是为什么很多人难以理解相对论。在四维时空坐标系中，粒子（有质量无体积的理想粒子）的运动表现为一条线，叫做世界线。定量上，我们将时间乘以光速c作为第四维。没有引力时，光沿直线传播，走过的距离等于所花的时间乘以光速，因此光的世界线是与时间轴呈45度的直线。从某个时空点出发，光的各种传播方向对应的世界线构成一个锥面，叫光锥面。匀速运动或静止的粒子的世界线也是一条直线（牛顿第一定律），位于光锥之内（因为速度不能超过光速），也就是处于光的世界线和时间轴之间。为了便于想象，可以将空间简化为二维。但是对于三维空间，这些说法也是成立的，只是光锥面成了三维。 三维空间中点到点之间称为空间间隔，而四维空间里类似的概念叫做时空间隔（spacetime interval）。从几何学的角度来说，没有引力时，四维时空是平直的。时空间隔的平方定义为光速平方乘以时间间隔平方减去（而不是加上）空间间隔平方。只有这样定义，时空间隔的平方才不依赖于坐标系。比如对于光来说，走过的距离等于光速乘以时间，所以光速平方乘以时间的平方减去距离的平方等于0，时空间隔总是0。在相对匀速运动的不同坐标系中，光速都一样，导致任何时空间隔的平方不依赖于四维坐标系的选择，也就是说，在四维坐标系的旋转和移动下保持不变。如果选择运动物体本身作为坐标系，因为它自己的空间坐标保持不变，所以时空间隔也就是它的固有时间间隔。 为了理解上面的文字，看一下诺奖官方材料中的一个图。 上面的左图和右图等下文再解释，现在先看最下面的图，这是一个光锥，时间轴向上，从过去（PAST）指向未来（FUTURE）,而且其实是光速乘以时间。中间的黑点代表现在（PRESENT），虚线包围的圆锥体代表过去，也就是质点或光能够到达现在的所有可能的过去时空，实线包围的黄色圆锥体代表从现在出发，未来所有可能到达的时空。任何世界线都是从过去经过现在，到达未来，而不能到光锥之外。有质量的粒子的世界线必须是在光锥之内。光或者其他没有质量的粒子的世界线必须是沿着光锥面的直线。 广义相对论与时空弯曲
1907年，爱因斯坦意识到，自由下落的人感受不到重力（也就是地球的引力）。这个想法帮助他将相对论推广到广义相对论，成为引力理论。 分析一下自由下落的人的世界线，可以推理出，引力等效于时空弯曲。 下落者身体不同部位与地心的连线方向不一样，因此所受引力的方向和大小是不一样的。而且在自由下落的过程中，身体各处所受引力不断变化。这导致自由下落者身上，每一点的世界线是弯曲的，而且从时间坐标相同、空间坐标相邻的两点出发，两条世界线渐行渐远。这就好比，在一个球面上，蚂蚁沿着 “尽量直” 的路线爬行，而我们可以看到它是沿着一条大圆爬行。而且如果两个蚂蚁原本相邻，近乎同一方向爬行，起先渐行渐远，方向也不再平行。这反映了球面的弯曲。 所以引力等效于时空弯曲。广义相对论中，爱因斯坦方程给出了弯曲程度与物质的定量关系， 正如美国物理学家惠勒（John Wheeler）所说：“物质告诉时空如何弯曲，弯曲的时空告诉物质如何运动”。黑洞是时空弯曲的极致
1915年11月，爱因斯坦发表广义相对论。不到一个月，就收到原波茨坦天文台台长施瓦西寄来的两篇论文，一是关于一个质点的各向同性引力场，一是有质量的完美球体产生的引力场。它们是爱因斯坦方程的最早的严格解。爱因斯坦很高兴，分两次在科学院宣读了施瓦西的这两篇文章。当时施瓦西正在一战前线担任炮兵中尉，1916年5月，施瓦西因天孢疮去世，时年42岁。施瓦西给出了有质量球体外面的时空间隔平方（当然，考虑极小的间隔，就好比对于变速运动，要定义瞬时速度，这是微积分的思想）：左边代表时空间隔的平方，右边是用光速平方乘以时间间隔平方和空间间隔平方表达出来，不再是简单的二者之差。这里对于空间部分，用了球坐标，有径向坐标r, 和两个垂直于径向的角度坐标。最后一项可以不看，它是垂直于径向的空间间隔平方，保持与平直空间情况一样，因为球对称使得引力是沿着径向。第二项是径向间隔的平方dr2，现在它除以一个函数。
光速平方乘以时间间隔平方是c2dt2，现在它乘以这个函数。 这个时空间隔描写了时空弯曲和黑洞。当径向坐标等于施瓦西半径2GM/c2（两倍的质量M乘以万有引力常数G，再除以光速的平方c），这个函数等于零。从这一点可以推论出，施瓦西半径就是视界，具有前面提到的视界性质。
而在球体中心，r=0, 这个函数成为负无穷，从而密度和时空弯曲程度无穷大，因此中心是一个奇点。视界和奇点是黑洞的关键性质。 现在我们解释一下上面的诺奖资料图的左图，代表一个物体沿着黑洞的径向落入视界之内。奇妙的是，视界之内的空间（SPACE）的径向类似于视界外的时间（TIME），所以图上在这里标了TIME，而在视界外的径向标记SPACE。诺奖文件没有解释为什么。这是因为，径向间隔平方所除以的函数在视界之外（r大于2GM/c2）是正的（大于0），而在视界之内（r小于2GM/c2）是负的（小于0）。因此，视界之外每点，时空间隔平方包含：光速平方乘以时间间隔平方减去径向空间间隔平方（各自乘以或除以一个正数）。而在视界之内每点，时空间隔平方包含：径向空间间隔平方减去光速平方乘以时间间隔平方（各自乘以或除以一个正数）。这就使得进入视界之后，径向空间与时间的角色发生了互换。在视界之外，世界线只能走向未来，而在视界之内，世界线只能走向径向坐标的零点。 因此进入视界的物质很快会到达奇点，变成奇点质量的一部分。奇点集中了黑洞的质量。1921年，曾经担任过法国总理的 Paul Painlevé 和瑞典视光学专家、诺贝尔生理学获医学奖得主 Allvar Gullstrand 分别得到爱因斯坦方程的新解，由此认为广义相对论不完备。爱因斯坦的犹太人同胞、德国外交部长 Harry Kessler 曾经为 Painlevé 带信给爱因斯坦，但是爱因斯坦觉得他的研究结果不重要 [2]。Gullstrand 长期是诺贝尔物理学奖委员会委员，反对爱因斯坦获奖。1921年，他是爱因斯坦作为诺奖候选人的主要评审人，认为狭义相对论的效应在误差范围内，而广义相对论预言的水星近日点进动是否与测量一致还是未知。结果1921年没有颁奖。但是次年，提名爱因斯坦的人数空前，诺奖委员会在成员、瑞典物理学家 Carl Oseen 评审的基础上，向瑞典科学院建议，以光电效应的解释为理由授予爱因斯坦1921年诺奖。瑞典科学院通过 [3]。1933年，比利时主教、宇宙学家 George Lemaître 指出，Painlevé和 Gullstrand 选择了与施瓦西不同的坐标系。奇点真的存在吗
随着量子力学和核物理的发展，人们将这些知识用于恒星演化。恒星能源来自原子核反应。燃料耗尽后，在自身引力的作用下，发生塌缩。1931年，钱德拉塞卡指出，如果恒星原来的质量小于某个极限（后来称作钱德拉塞卡极限，大概1.4倍太阳质量），会形成白矮星，因为大量电子因为服从量子力学的泡利不相容原理，产生所谓简并压强，抵抗引力。钱德拉塞卡考虑了狭义相对论。如果恒星原来的质量超过钱德拉塞卡极限，电子简并压强就不能抵抗引力，处于核心的白矮星塌缩，外部下落的物质导致超新星爆发，可以形成中子星，由中子的简并压强抵抗引力。1939年，奥本海默（后来成为原子弹之父）和他的学生将施瓦西的广义相对论工作用到中子星，指出如果恒星质量足够大，就会形成黑洞，具有视界和奇点。他先是和弗尔科夫（George Volkoff）提出，如果中子星质量超过某个极限（现在叫做托尔曼-奥本海默-弗尔科夫极限，大概2倍太阳质量），不能稳定存在，而是会继续塌缩下去。接着，他又和施耐徳（George Snyder）发现，当质量足够大时，恒星能塌缩到视界之内，形成奇点。这给出了黑洞形成的一个机制。 但是和施瓦西类似，他们也假设了完美的球面对称，因此受到包括爱因斯坦在内的科学家的普遍怀疑。1963年，苏联的栗夫席兹（Evgeny Lifshitz）和卡拉尼科夫（Isaak Khalatnikov）提出，奥本海默和施耐德的结果不适用于现实的物理情形，在现实中，奇点不会出现。惠勒则猜测，也许因为量子效应，也许因为塌缩物质转化为引力波，奇点可以避免。 类星体
这时天文学取得一个重大发现，就是类星体。50年代，通过发出的无线电波，射电望远镜发现了一种看起来像恒星的天体，后来发现这类天体也发出蓝光波段的可见光。1963年，在 Hazard，Mackey 和Schimmins 的射电定位基础上，荷兰天文学家史密特（Maarten Schmidt）用可见光将射电源3C273确定在银河系之外。这说明发光光度非常强。后来确认，那里有小而强的能源。1964年，美籍华人天体物理学家丘宏义将这些天体命名为类星体。人们认识到，类星体处于遥远星系的中心，这些活动星系核（AGN）通常产生1039瓦特的能量，甚至可以高达1041瓦特。英国天体物理学家霍伊尔（Fred Hoyle）和美国天体物理学家富勒（William Fowler）认为类星体是几百万太阳质量的大质量恒星，但是人们很快认识到这样的恒星非常不稳定、短寿命，因此不能解释类星体。
类星体的发现还没有获得诺贝尔奖。史密特今年91岁，还有机会。 1963年，理论上也有一个进展。克尔（Roy Kerr）提出转动的黑洞，后来称作克尔黑洞。前面我们介绍的黑洞是施瓦西当初讨论的黑洞，是不转动的，叫做施瓦西黑洞，它的视界等于施瓦西半径。克尔黑洞的视界半径与转动快慢有关，略小于施瓦西半径。因此取决于转动快慢、与太阳同质量的天体，视界半径是1.5到3公里。而与地球同质量的天体，视界半径只有4.5到9毫米。彭罗斯证明奇点定理
史密特对类星体的发现促使惠勒怀疑类星体是黑洞。因此他重新考虑引力塌缩，并与彭罗斯讨论。彭罗斯是数学家出身，但是从大学时代，就醉心于研究引力和宇宙。1963年，彭罗斯用共形变换，在世界线上，将空间或时间的无穷远变换到有限的图之内。这就是所谓的 “彭罗斯图”。施瓦西提出在广义相对论下，有质量的球体能够导致黑洞，奥本海默及其学生证明大质量恒星塌缩能导致黑洞，克尔又提出旋转黑洞。但是这些结果都依赖严格的柱或球面对称（spherical symmetry）假设，只能说明在这些特殊情况下，广义相对论在理论上允许黑洞存在。但是，现实中的情形是复杂多样的，往往没有柱或球面对称，因此并不清楚在现实宇宙，黑洞究竟能不能形成。1964年，彭罗斯在广义相对论框架中证明，在很宽泛的条件下（主要条件是要求塌缩物质的能量是非负的），黑洞确实能够形成，包围一个奇点。这叫奇点定理。 彭罗斯在他的证明中，没有用球面对称假设。他的关键概念是所谓 “囚禁面”。这是空间中的闭合面（比如球面就是一个特殊的闭合面）。在球面对称下，任何球面，如果半径小于施瓦西半径，它就是一个囚禁面。正如上面我们已经解释过的，物质进入这种球面后，必然终结于奇点。在彭罗斯的拓扑学证明中，囚禁面不需要具有球面对称。确实，我们知道，物体在形状连续变化之下，不改变拓扑性质，比如圆形和三角形在拓扑学下是等价的，足球和橄榄球，面包圈和茶杯也分别是拓扑等价的，但是足球和面包圈拓扑不等价。 彭罗斯利用拓扑学证明了，一旦囚禁面出现，物质就向奇点塌缩，奇点和视界不可避免。而且囚禁面的出现很普遍，包括有转动的情况，对条件不敏感，在微扰下也不会消失。因此诺奖颁奖词用了robust这个词来强调彭罗斯工作的意义。 现在我们回到诺奖资料中的这个图，可以懂得剩下的部分了。 右图是时空图，时间轴向上，与之垂直的面代表空间（简化为2维）。它描写了黑洞的形成和物体落入黑洞的过程。下方的桔红色代表塌缩的星体。在每个时刻，也就是每个垂直于时间轴的截面，星体表示成一个圆面（这里将3维空间画成2维）。随着时间的推移，也就是向上，星体越来越小，穿过囚禁面（未画），最后塌缩到奇点。形成奇点后，就保持为奇点，这就是图上的蓝色竖直线。红色代表视界。对于每个时刻，视界画成垂直于时间轴的圆。不同时刻的视界连起来，就是桶状。图中显示的是包含时间轴的纵剖面，所以看到左右两条红线。随着到达奇点的物质越来越多，视界也从零开始越来越大，最后稳定下来，保持不变。所以显示的红线离蓝线越来远，最后平行于蓝线。视界内，光锥的未来（黄色）指向奇点，说明进入黑洞就会被吸到奇点。与左图对应，物质进入视界的过程表示成右边的箭头，也注明了视界外的空间坐标变成视界内的时间坐标，终结于奇点。 左边的眼睛代表黑洞外的观察者。进入观察者眼睛的是光，它的世界线沿着每个时刻的光锥。这些光都是来自黑洞视界之外。下面那束光来自进入视界之前的星体。上面那束光来自很靠近视界的地方，但是依然是视界之外。因此黑洞和奇点几乎是广义相对论下的必然，意味着在复杂的现实中，足够大质量的引力塌缩必然导致黑洞。彭罗斯的论文1965年发表。这个工作被当作爱因斯坦之后广义相对论最重要的工作，带来相关的天体物理研究的新时代。彭罗斯也因此获得今年诺贝尔物理学奖的一半。 就在1965年，在伦敦的一次国际会议上，卡拉尼科夫介绍了他和栗夫席兹关于奇点不存在的证明，Charles Misner当场用彭罗斯的工作加以反驳。经过几年的消化，越来越多的专家相信彭罗斯是正确的。1969年，索恩（Kip Thone）访问苏联时，栗夫席兹托他将一篇认错的文章带到美国（避免因为苏联当局对投稿国外的论文的审核而耽误），在《物理评论快报》发表 [4]。黑洞理论的部分后续
人们常将美国物理学家惠勒作为 “黑洞（black hole）” 命名者，但这个名词的发明者并不是他。1960年，美国物理学家狄克（Robert Dicke）首先将小于视界半径的时空区域叫做黑洞。1967 年，惠勒在一次演讲中，接受一位学生的建议，也采纳了这个名词。今天，黑洞已成为科普文化中的常客，是人们很熟悉但也感到很神秘的天体。黑洞是宇宙中最黑的区域，因为任何物质，包括光，都不可能从中逃逸出来。1969年，彭罗斯提出，可以提取黑洞转动能。转动黑洞的视界之外，有个能层（ergosphere），在这之内观察者要被带动一起转动。彭罗斯假想有个投射物被扔进能层，一半进入视界，一半逃离黑洞。他证明了逃离的那部分的能量比原先增加，说明从黑洞提取了能量。这叫彭罗斯过程。 这似乎与任何物质不能逃离黑洞（从而黑洞不能减小）相矛盾。这个佯谬的解决在于正确定义黑洞的大小。1972年，霍金提出，黑洞的面积不能减小。施瓦西黑洞的面积正比于质量平方，因为视界即施瓦西半径，正比于质量。因此施瓦西黑洞的质量（即能量）不能减小。但是，转动的克尔黑洞的情况比较复杂，面积与质量和角动量都有关，在一定范围内，即使质量下降，面积还可以增大，与彭罗斯过程相容。在奇点，广义相对论失效。但是广义相对论是个经典理论，不是终极真理。普遍相信，当考虑量子力学时，奇点可能会被消除，理论工作者正在用各种量子引力理论（与量子理论结合的引力理论）进行尝试。但是还不清楚哪种量子引力理论将来是成功的理论。 1972年，惠勒的学生贝肯斯坦（Jacob Bekenstein）猜测，黑洞的面积代表熵，因为孤立系统的熵总是不减的。1974年，霍金将量子力学用于黑洞，发现黑洞有温度，可以发出辐射（后来被称做霍金辐射），肯定了贝肯斯坦的猜测。 虽然霍金辐射太弱，目前不能被探测，但是这个工作是走向量子引力的一个里程碑 [5]。 1977年，在彭罗斯过程的基础上，Roger Blandford 和 Roman Znajek 提出更现实的模型，描述如何从黑洞转动获取能量。有磁场时，这些过程沿着能层，转动黑洞成为一个巨大的发电机。这在很多黑洞及其喷流中扮演重要角色。 为什么偏偏是彭罗斯
罗杰·彭罗斯的母亲Margaret Leathes（著名生理学家John Beresford Leathes之女）是医生，父亲莱昂内尔·彭罗斯（Lionel Penrose）是遗传学家和精神病学家，得过拉斯克奖。受艾舍尔（M.C.Escher）艺术作品启发，罗杰和他父亲一起发明了彭罗斯三角、彭罗斯阶梯等整体上不可能的图形，反过来又启发了艾舍尔。 彭罗斯三角 图源：维基
彭罗斯阶梯 图源：维基
当他们的大儿子奥利佛（Oliver）学物理，小儿子约翰逊（Jonathon）沉迷国际象棋时（后来得过10次全国冠军，但也成为心理学讲师），他们寄希望于罗杰能够从事医学或生物学（他们的愿望最终在女儿Shirley身上得以完成）。所以罗杰要去伦敦大学学院学数学时，遭到父亲反对，说数学职业只适用于做不了其他事情的人。父亲请这所大学的数学家安排了一个包含12道难题的测试，这位数学家以为罗杰可能做得出一两道。结果罗杰在几小时内做出所有题目，父亲妥协了 [5]。 起初彭罗斯只是对纯数学感兴趣。1952年，他大学四年级，霍伊尔在收音机里的科普报告激发了他很大兴趣。霍伊尔宣传的是稳恒态宇宙学。彭罗斯对其中一个细节问题感到迷惑。后来他去剑桥见他哥哥时，遇到与哥哥同办公室的西阿玛（Dennis Sciama）。西阿玛惊异地发现，彭罗斯高超地运用时空图证明了霍伊尔有错。从此，西阿玛经常与彭罗斯进行深入讨论，进一步激发了他对于物理的热情。60年代，西阿玛以他与彭罗斯的交流方式，指导了一批优秀的学生，包括霍金，George Ellis, Martin Rees等等 [5]。 奥利佛·彭罗斯成为著名的统计物理学家。他和昂萨格合作，给出玻色-爱因斯坦凝聚的准确含义，后来杨振宁将之称为非对角长程序，并推广到费米子，统一描述超导和超流。笔者曾经在一次会议上，看到有演讲者提到彭罗斯时，在场的奥利佛·彭罗斯站起来声明，那不是他，而是他弟弟。 罗杰·彭罗斯后来去剑桥读纯数学的博士，主要研究代数几何，导师是John A. Todd。但是对物理的兴趣驱动着他。证明奇点定理时，他在伦敦大学伯贝克学院（Birkbeck College, University Of London）任教。他多次回忆过当时的奇妙过程。诺奖宣布后，他接受诺奖基金会电话采访时，又讲述了这个故事。 当时，关于奇点能否在恒星塌缩的各种现实情况下产生，他已经思考了很多，就像找到了拼图游戏中所需的各个部分。然后，1964年深秋的一个下午，彭罗斯和一位朋友步行到办公室。这在穿过一条小岔道时，他和朋友停止交谈，过了路后又继续。正是在穿过小路时，在他的潜意识中，证明奇点定理所需要的各个部分拼在了一起。下午朋友离开后，彭罗斯总觉得有种欢快的感觉。在回忆了一天的经历，排除其他种种可能之后，终于想起来穿过小路时的想法。在后面的几周内，他仔细推敲，多方审视，完成论文发表于《物理评论通讯》。 彭罗斯之所以成功，是因为他作为数学家，拥有在这个领域中，其他人都没有的 “独门绝技” ——拓扑学。当时物理学家的数学训练中还没有拓扑学。时空弯曲是几何问题，时空的终止却是一个拓扑问题。而具体的技术是彭罗斯之前在研究稳恒态宇宙学时发展的，当时没有用上，因为稳恒态宇宙学与广义相对论不相容。从彭罗斯的开创性理论工作开始，彭罗斯、霍金以及其他物理学家将拓扑与几何结合起来用到引力理论。这就是所谓的整体方法。这是一场革命 [5]。 小 结
彭罗斯用拓扑方法证明了奇点定理，表明黑洞在致密区域很容易产生，这是广义相对论的普遍、对条件不敏感的后果。但是广义相对论与黑洞的具体观测结果的比较还有待深入。 在彭罗斯证明奇点定理之前，几乎所有广义相对论方面的工作都是解爱因斯坦方程，而且往往假设某种对称性。彭罗斯开创了整体方法。与彭罗斯的理论突破几乎同时，1964年至1965年，人们认识到，类星体的能量可能来自超大质量黑洞吸积周围的物质而发出的电磁波。这方面的研究导致了本次诺奖的另一半，将在后续文章中介绍。