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柳暗花明又一村——读《素数之恋》有感

数学文化征文 好玩的数学 2022-07-17

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柳暗花明又一村

——读《素数之恋》有感

作者:王进

作品编号:016

投稿时间:2019.7.12



对自然数的研究可能诞生于文明开始之时,之后,人们学会了分类,把除0,1外的自然数按因数的多少分为了素数和合数,于是,很多数学家便踏上了一个艰苦而美妙的漫长旅程,即对素数分布之谜的探索。


从古希腊先哲欧几里得对素数无穷多绝妙的反证法,到20世纪70年代比利时数学家德利涅证明了代数上的韦伊猜想,再到同时期蒙哥马利-奥德利兹克定理,《素数之恋》讲诉了素数的前世今生。本书的作者是美国数学科普作家约翰·德比希尔(John Derbyshire),他以丰富的学识和严谨的态度写出了这部科普书籍,全书几乎不涉及到高等数学和复变函数,并不时出现幽默的话语,极大的改善了本书的可读性和扩充了它的阅读对象。


小学我们就接触到了素数,很多人也听到过一个在中国很知名有关于素数的猜想——哥德巴赫猜想,但是在数学家眼中,关于素数更重要的问题是黎曼猜想,而这个问题,也是《素数之恋》从始至终贯穿的主题。在古希腊爱琴海灿烂的阳光下,数学家们便对素数有了不少认识,欧几里得利用所有素数连乘再加一,巧妙的反证了素数个数必为无穷,简洁漂亮令人赞叹。全书第一章始于一个有趣的“纸牌游戏”,两张纸牌叠在一起,上面一张纸牌最多可以推多远而不掉下来,答案显而易见是1/2个纸牌宽度,如果是三张叠在一起,最上面那张纸牌显然最多可以推1/2+1/4个宽度,如果是有n张呢,那可以推1/2+1/4+1/6+···+1/2(n-1)个宽度,这个距离是无穷大吗?显然,提出公因子1/2,学过一点微积分的人都知道这是非常特殊也很重要的一个级数,称之为调和级数。调和级数是不收敛的,也就是当n趋于无穷大时,这个式子的值也趋于无穷大,但是,虽然它的值是发散的,但增加的非常之慢,100张纸牌的总伸出量约2.58869个纸牌宽度,而10000亿张纸牌也仅仅只能伸出约14张纸牌的宽度。读到这里,包括我在内的很多读者或许都会有这样一个疑问,调和级数会和素数有啥关系?而他们的联系,正是暗合了我的标题,柳暗花明又一村,表面上似乎没什么联系的东西有时候也会蕴含有巨大的能量。


黎曼


任何牵涉到素数的问题一不下心都会变得巨难无比,可能是因为对素数的很多性质人们还不太清楚,在漫长的数学历史中,第一次对素数的认识取得很大突破的是素数定理(PNT)的发现,而素数定理也是本书前半部分花了很大篇幅讲述的,直接发现素数的分布规律似乎很难,那能不能发现其他不那么精确的统计规律呢?有下面一张表:


从上面的这张表能发现什么呢?可能我们一般人看到都会一头雾水,但是高斯、勒让德等人就从中发现了天机。那就是小于N的素数个数是服从规律的,如下表所示:


此时已经很明朗了,lnN与N/π(N)的大小很接近,写作lnN ~ N/π(N),改写一下,就是素数定理:

素数定理另一个更重要误差更少的表达:

素数定理当时被高斯、勒让德发现时,还是猜想,之后正是在黎曼猜想的启发下证明了素数定理,由此可见黎曼猜想的威力。


现在回过头看前面提到的调和级数,此时开始由此级数引出的一些东西开始展露出巨大的力量。调和级数确实不收敛,但他收敛的如此之慢,事实上,他和lnx的大小差不多,将调和级数稍作扩展,有这样一类在国内工科高数课本上称之为p级数的重要级数,

现在我们知道p≤1(等于1时是调和级数)时级数发散,p>1时级数收敛。1735年,年轻的欧拉做出了他生涯第一个大的成果,解出了著名的巴塞尔问题(即p=2时)的准确值,结果竟然是惊人的。稍微扯远一点,笔者第一次在高中竞赛书上看到这个结果时,感到十分的惊奇,和圆根本无关的问题居然会出现π,之后知道泰勒级数后,才明白得出这个结果需要涉及到三角函数,于是,π的出现也不算惊奇了。看,又是两个表面上无关的东西产生了很深的联系。巴塞尔问题打开了通往黎曼ζ函数的大门,而黎曼ζ函数就是黎曼猜想的关注对象。下面就是黎曼ζ函数:

当然,此时这种表达式s的定义域并不是所有的复数甚至不是所有的实数,例如,当s为负数时,就不能简单的由上式计算,不过可以看到,在某个定义域上(复平面实部>1的区域),黎曼ζ函数就是这么简单,有时候,可能最简单就是最复杂。


欧拉


那么,黎曼ζ函数和素数有什么关系呢,作者德比希尔循循善诱,花费了几乎大半部分书的内容来仔细说明了它,通过“金钥匙”(欧拉乘积公式),黎曼ζ函数与素数产生了联系,如下就是这个金钥匙:

上式中,p是指素数,这个式子是通过巧妙的埃拉托色尼筛法得出的。


在金钥匙中,黎曼ζ函数与素数建立了关系,但是之后如何使用呢,欧拉的工作就到此为止了,作为复分析的创始人之一,黎曼以其惊人的才华将黎曼ζ函数的定义域扩展到了整个复数,然后提出了著名的黎曼猜想。


黎 曼 猜 想

ζ函数的所有非平凡零点的实部都是1/2


在此我不将黎曼ζ函数在整个复数域上的式子写出来,事实上全书也没有给出那个表达式,那个式子有点吓人,已经超过了大多数人的理解范围。每一个负偶数,如-2,-4,-6,-8等都是它的零点,这不是黎曼猜想需要考虑的,按专业术语,这些是平凡零点。除去这些实数的零点,其他复数形式的零点正是黎曼考虑的,黎曼猜想正是说明了所有那些非平凡零点都在复平面实部为1/2的那条直线上,都有形如1/2+a*i的形式,事实上,前三个非平凡零点是1/2+14.134725i,1/2+21.022040i,1/2+25.010856i,确实都是这种形式。下图显示了在临界线(实部为1/2的那条线)从a=0向上时,黎曼ζ函数的函数值,从ζ(1/2)即最左边的约-1.46035处开始出发,开始连续不断画出类似圆的曲线不断穿过零点的样子。


图1  临界线上的那些点的函数值


临界线上是不是包含有所有的非平凡零点呢(即黎曼猜想)?我们不得而知,不过在1914年,哈代(就是赏识了传奇数学家拉马努金的那位)证明了ζ函数确实有无穷多个零点在临界线上。我们知道了“金钥匙”,知道了黎曼ζ函数,进一步知道了黎曼猜想,可是我们还是不知道黎曼猜想和素数的分布有什么关系,在1901年,就是证明PNT后的五年,瑞典数学家冯·科赫(Helge von Koch)证明出了一个结果,如果黎曼假设成立,那么有:

上式中,O是确定函数界限的一种方式,由此可以看出,黎曼猜想对素数定理的余项给出了一个很精确的估计,素数定理只是黎曼猜想一个弱的推论。


作为一篇读书感言,本应该更通俗简略的讲述一下文章内容就可以了,不过本书作为一篇极优秀的科普类文章,如果不把里面的精华拿出来说一下那太可惜了,没办法,必须涉及到一些微积分知识,接下来,让我们拧动金钥匙,走进1859年黎曼论文的核心。


π(x)是素数计数函数,上文的一张表中已经给出了他的部分值,如何联系ζ函数和π(x),这乍一看并没有任何关系的两个函数,在欧拉金钥匙的联系下,紧紧纠缠在了一起。


图2  素数计数函数


π(x)是一个阶梯函数,在每个跳跃点(即素数)取一半的值,然后引入了另一个阶梯函数——J函数,下面是J函数的定义,

看,这里的每一项的系数也是不是像调和级数,J函数会在每一个素数,素数的平方,素数的立方......上跳跃。利用默比乌斯反演,我们得到了用J(x)表达的π(x)。

注意有些项已经没有了,并且正负号也不同,参见默比乌斯函数。然后说了很久的金钥匙终于拧动了,对金钥匙两边取对数并用级数展开,得到了一个无穷和的无穷和,对其中每一项都可以用一个积分式来表示,并不复杂。然后对J(x)进行积分,显然,这个积分趋于无穷大,于是用x-s-1乘以J(x),并依次选取无穷多个素数分成无穷多个条带进行积分,然后和金钥匙展开后的类比,得到了微积分形式的金钥匙,如下所示:

上面的式子将黎曼ζ函数和J(x)联系了起来,而π(x)又可以由J(x)表示出来,显然,黎曼ζ函数和素数分布联系了起来,下面我直接给出结论:

就是这个看着很丑陋吓人的式子,是1859年黎曼论文的主要结果,你可能会想ζ函数去哪了?其实他隐藏在第二项中了,ρ就是ζ函数的非平凡零点。于是,现在我们计算π(x)可以不用一个一个找出素数累加,又多了一种方法,直接用上面的几个式子算出来。


到此,全书的精彩论文接近结束,在其中也穿插了代数学和物理学上的进展,黎曼猜想甚至与量子力学也联系了起来,又是“柳暗花明又一村”的篇章,虽然这些路径并没有彻底解决这个猜想,但同样释放出巨大的能量远超黎曼那个时代了。


《素数之恋》成书于2002年,距离现在已经过去了17年,黎曼猜想也有了不少新进展,不时听说有人宣称证明了它,但克雷数学研究所的100万奖金还没发出去也就说明还没有取得一致公认的证明。去年9月,知名数学家阿蒂亚爵士宣称自己证明了黎曼猜想,引起了轩然大波,正是在那股科普热潮下,我买下了这本黎曼猜想的经典科普读物仔细品读了一番。笔者是工科研究生,读起来相对轻松,除了极少部分的微积分外,高中生慢慢品读也不会有压力,读完此书,除了感慨这些天才的杰出创造力外,也对平时的科研生活有些许帮助,有时候,往往看上去毫无联系的的东西也会有巨大的威力,要有充分的想象力和勇气去接触看着可能没什么联系的问题。学习时,需要多接触其他知识和想法,一条路走不通不代表这个课题有问题,可以试试其他路径,如把结构自振反应引入到地震工程中就产生了最重要的反应谱理论。善于联系,从多角度思考问题,跳出条条框框,有时候也不能太囿于感觉,直觉不一定正确,不能乍一看没什么关系,就不去接触也不去思考了。


人们开始有素数这个概念很早很早,经历了几千年的发展,对素数的认识已大大加深,它最简单又最困难,无规律而又有规律,它有着众多表述简单的命题吸引了很多人,也因这些看似简单实则巨难的问题让众多数学家耗尽心血。如梦亦如幻,如露亦如电,素数还有着众多的秘密隐藏在极深的未知处,需要一代又一代数学家拂开杨柳枝,踏过荆棘花,找到理想的桃花源。


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