《初等数学研究》读书心得

本文为“数学文化阅读心得征文比赛”参赛作品，未经授权不得转载，点击图片查看征文比赛通知。

《初等数学研究》读书心得

作者：施文坚

作品编号：019

投稿时间：2019.7.21

《初等数学研究》是高等师范院校数学教育专业的必修课程，也可以作为中小学数学教师的继续教育培训教材、各类数学教育工作者的参考书。全书共有十一章，包含数、整除与同余、解析式、初等函数、方程、不等式、数列、解析几何、求解与三角形有关的几何量、几何证明、几何作图等内容。这本书紧密结合现行中小学数学教学内容，对中小学数学中的基本概念、基本理论进行适当的阐述、加深与拓广，用较高的数学观点、思想与方法，对初等数学作比较深入的研究，语言通俗，论述严密，结合典型实例研究解题的思路与方法，具有较好的可读性和思考性。

第一章，数。论述了数的五次扩充，从正整数开始，分别引进了0、正分数、负数、无理数、虚数。数的理论扩充就是从理论上构造一个集合，即通过定义和等价类来建立新的数系，然后，指出新的数系的某一个子集与以前的数系是同构的。所谓同构就是集合A到B是一一对应关系，且 f（m+n)=f(m)+f(n)，f(mn)=f(m)f(n)。介绍了正整数的序数理论（皮亚诺公理）、正整数的基数理论。以及整数、有理数、实数、复数、多元数等相关的定义和性质。通过学习，对数有了更深的认识，特别地在对初一的正数和负数的教学中，明确了负数的引入，不仅只是为了表示具有相反意义的量，还有是为了解决在正整数集中，对任意的正整数a和b，方程b+x=a，不总是有解的问题，亦即减法不封闭，因此，产生了将正整数进行扩充的需要，从而引进了负数，这样，更加精确地帮助学生对负数的理解。

第二章，整除与同余。主要讨论整除与同余的有关问题，包括带余除法、整除、因数和素数的概念，算术的基本定理，中国剩余定理等。通过学习，了解了通过带余除法，用辗转相除法求两个或多个数的最大公约数的方法。如求（3961，952）；用中国剩余定理来解决“物不知数”的问题。如：孙子算经中第26题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？已知二次函数F(x)满足F(-10)=9，F(-6)=7，F(2)=-9，求F（100）。都可以作中国剩余定理来求解。

第三章，解析式（式）。是中学数学课程的重要内容之一，是在数的概念的基础上发展起来的，是数概念的进一步抽象与概括，是研究方程、函数的基础。本章除了学习式的相关概念，恒等式的性质外，介绍了齐次、对称、交代、轮换多项式的定义和性质；多项式的因式分解；分式基本概念和部分分式；根式的基本概念、复合二次根式、共轭因式等。开阔了视野，增长了知识。

第五章，方程。除了基本概念和整式方程的变换外，介绍了特殊整式方程的解法。如二项方程、三项方程、三次方程、四次方程、倒数方程的解法以及不定方程的解法。印象深刻的是三次方程的解法，任何一个三次项系为1的三次方程

令 ，代入通过化简，并让其不含二次项，即 。

将 代入上式得：

再令

就得到

的方程，即卡尔达诺型三次方程。这样，任何一个一元三次方程都可以化为卡尔达诺型三次方程。令 代入方程

得：

取  ，则

这样  是一元二次方程

的两个根。求得：

再开三次方得u,v，从而求出y 。

从解法中深深感受到换元的妙处。本章还介绍了三种方法来求不定方程的解。收获多多。

第六章，不等式。不等式是表示数量之间的大小不等关系的式子。不等式理论是数学基础理论的一部分。不等式在数学的各个分支、科学技术的各个部门以及在日常生活中都有广泛的应用。本章学习了平均不等式（算术平均数、几何平均数、调和平均数及之间的关系）、伯努利不等式、柯西不等式、琴生不等式、排序不等式以及不等式的证明。在不等式的问题中，经常会遇到一个结论对于某一个字母取值范围内所有值都成立的恒成立问题。不等式恒成立的问题常常以函数、方程、不等式和数列等知识为载体，渗透着换元、化归、分类讨论、数型结合、函数和方程等思想方法。通过学习有助于提升教师素养。

最后一章是几何作图。本章除了介绍尺规作图的相关知识外，更是跳出尺规作图的框框，介绍了通过非尺规作图解决了作图题中的三大问题。三等分任意角、立方倍积问题、化圆为方问题。还有其他不限工具作图，开阔了视野，增长了知识。

总之， 这本书内容丰富，并且叙述清楚、透彻，逻辑严谨，对于提高教师对初等数学的理解有一定的帮助。

请读者为作品019号打分

（打分结果将作为评奖的指标之一，也欢迎大家在留言区发表自己的看法）

我也想参赛↓↓↓

传播数学，普及大众

长按识别二维码关注我们

欢迎把我们推荐给你身边的朋友

▼

▼▼▼点击阅读原文发现更多好玩的数学。