举例说明西方“格子乘法”就是中国的“铺地锦”写算法

青華道人 2021-12-17 

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蜀锦，《释名》云：

锦，金也，作之用功重，其价如金，故其制字从帛与金。

元朝人费著撰《蜀锦谱》，研究两宋丝绸生产，是研究古代蜀锦的专书。一卷。全文约900字，记述了成都锦院的设置、规模、分工、产量、产品用途，管理方法、建置沿革和所产八答晕锦、盘球锦、簇四金雕锦等120个名种，以及茶马司锦院所产的20余个品种。“铺地锦”就是蜀锦的一个品种。在锦面上满市纤巧秀丽的锦纹，叫“满花锦”，若再缀以大朵的装饰花纹，叫做“铺地锦”或“锦上添花锦”。“铺地锦”的特点是在缎纹组织上用几何纹样或细小的花纹铺满地子，再在规则的地纹上嵌织五彩斑斓的大朵花卉（有的加嵌金线），如宝相花，地纹衬托主花显得更加色彩丰富、层次分明，格外富丽堂皇和光彩照人。“铺地锦”中的“地”指的就是花纹图案或文字的衬托面，即底子。南朝梁·刘勰《文心雕龙·定势》：

譬五色之锦，各以本采为地矣。

中国古代有一种乘法速算法，这种算法以实横列，以法直写，法实犹织之有经纬，得经纬相错乃成地，法实相乘的结果犹如地纹上镶嵌的花卉，所以古人生动形象的把它叫做“铺地锦”。

1439年夏源泽撰写的《指明算法》中就已经记载了已经非常成熟的“铺地锦”写算法。该书中记载的“铺地锦”算法歌诀、例题、解答以及算法详细，具有典型的中国古代算书特征。我们完全有理由相信“铺地锦写算法”早在此书成书之前几年，十几年，上百年乃至上千年就已经在中国存在，并且在人们实际生活活动中得以实践应用。这个结论不仅完全符合事物发展的逻辑，也完全符合中国古代数学思维的特征，即通过改进算具，简化计算步骤，让计算变得更加简单便捷，这就是梅文鼎所说的“立成”，无论是算表，还是铺地锦写算，还是后期改进的筹算，珠算，都是遵循了这一伟大的数学思想。

《指明算法》中的铺地锦歌：

写算铺地锦为奇，不用算盘数可知。法实相呼小九数，格行写数莫差池。记零十进于前位，逐位数数亦如之。照式画图代乘法，厘毫丝忽不须疑。

其中一道题如下：

题：“今有米二十四石，每石该银六钱五分四厘，问该银若干？”

答：“答曰：该银一十五两六钱九分六厘。”

法：“法曰：先画格眼图，置米二十四石，填于图上横写为实。再将价六钱五分四厘填于图右外直写为法。法实相呼，填写格内。先从末行起依次相乘至实首位止，得数从右边下角数起，照斜格计数，就书于图下，挨次向前合问。”

显而易见，铺地锦这种运算方法就是专门为现实生活中的劳动实践交易买卖设计的一个便捷的计算法门，尤其适合多单位十进制乘法计算，比如本题中的粮食的重量单位“石”和货币单位“两”、“钱”、“分”和“厘”。所以说，“此法算粮最捷。

“铺地锦”写算法通过乘法分配率可以把复杂的多位值的乘法计算简化为个位数乘法和简单的加法计算，而九九表的普及使得个位数乘法对中国人来说尤其容易，这种写算法的思路和中唐以来不断改革筹算，简化数字计算，寻找和使用巧算的思路是一脉相承的，也是完全一致的。

众所周知，九九口诀、九归歌诀、归除歌诀、撞归歌诀、上退法歌诀等珠算歌诀，这些都是几千年来，我国古代劳动人民的创造，在程大位之前的算书，如居延汉简·唐《立成算经》，杨辉《乘除通变本末》（1274年），丁巨《算法》（1355年），朱世杰《算学启蒙》（1299年），贾亨《算法全能集》，安止斋、何平子《详明算法》（1373年），吴敬《九章详注比类算法大全》（1450年），徐心鲁订正《盘珠算法》（1573年），柯尚迁（1500—1582）《数学通轨》（1578年），余楷《一鸿算法》（1584年）等书中，都有明确记载。

夏源泽的《指明算法》在明末清初有各种“校正”本在社会上流传，这是清郑元美校《新镌校正指明算法》两卷。

《盘珠算法》中的“铺地锦”，《盘珠算法》又名《新刊订正家传秘诀盘珠算士民利用》，是明代数学家徐心鲁在万历元年（1573年）刊行于福建的珠算普及著作。《盘珠算法》二卷，附有有大量插图，图中所示的明式算盘是上一珠，下五珠，可见“日式算盘”在明朝万历初年已经在福建流行了。

明万历三十五年（1607年）刊印的民间日用百科全书《鼎锓崇文阁汇纂士民捷用分类学府全编》简称《学府全编》卷14 《算法门·算法便览》中对“铺地锦”写算也有详细介绍，现引录全文及图式如下：

“铺地锦”歌曰（可能有个别错别字，因为刻本字迹漫漶不清，比较难以辨认）：

数代因乘法更奇，铺地锦名捷径篇。置实先当横上位，但为法者右旁添。纵横格定仍斜界，九九相因上下牵。遇十须施斜格上，逢单即抽下层宣。数未单子作成数，有十还当趱积攒向前。算者从斯能触数，厘毫丝忽不差焉。

下面一段是对算法的描述：

此法算粮最捷，法置粮数从左到右列于图上【为实】，以每石征银则列于右下【为法】，与粮数相乎因之，因之毕，从右下角数起，遇零数即书于图下；若有十数或二十、三十、四十即赶向前斜格上每一格都用斜线分成上下两格，若下格为n位，那上格就是n+1位。作零散算粮之法，莫善于此。其余交军需物价求数，官民田地山塘求米麦，分物还原，算量田地，但是因乘者，俱仿于此（只要是两数相乘，皆可用此法。）

书中例题如下：

题：“假如有民米四十六石七斗九升三合六勺，每石征银五钱六分三厘四毫六丝我们常说，“丝毫不差”，即来自于此。问共银若干？” （请注意中国牛X的度量衡，正因为系统的完备精确的度量衡的存在才能进行精确的计算，才能润滑社会各行各业，才能使社会劳动实践得以顺利进行！）

答曰：共该银二十六两三钱六分六厘三毫二丝一忽八微五纤六尘。（此即：0.56346两/石×46.7936石=26.366321856两）。

明万历二十一年葵巳年（1593年，有说1592年）刻印的程大位编集的《新编直指算法统宗》卷十二（文盛堂藏板《重订算法统宗大全》）有杂法二十六种，“铺地锦”写算法就是其中的一种。《算法统宗》中的铺地锦歌和1439 年夏源泽撰写的《指明算法》中的铺地锦歌完全一样。歌诀中的“实”和“法”在这里被称为被乘数和乘数，而在除法中相应的就是被除数和除数。

《说文解字》：

实（實） ，富也。从宀（mián）从貫。貫，貨貝也。

《說文解字注》：

富也。貫爲貨物。以貨物充於屋下是爲實。

所以“实”指的是财货统称，泛指一切事物总量。比如，今有米30石（dàn）。至于“法”，则为标准和规范，有度量单位之意，比如米每石值钱6钱5分。“法”就像一把尺子，用这把尺子可以度量布匹的长短。中国古代算学中常有“实如法而一“，即是”以法量实“，”实“中有一个等于“法”的量，所得即是一，“实“中有几个法，所得即是几。有意思的是，这个“实”，是货物总量的时候，就用乘法，是被乘数；而题中给定钱财总量的时候，就用除法，是被除数。而“法”始终不变，即是单位尺度，衡量财货的标准。这个“法实”实际上要比现在的乘数被乘数除数被除数好理解多了！

例题一如下：

题：“今有布二十三疋pǐ 同“匹”，每疋价银五钱六分五厘。问该银若干？”

答：“答曰：一十二两九钱九分五厘。”

术：“法曰：先画格眼图，置布二十三疋，填于图上横写为实。再将五钱六分五厘为法于图右外直写。法实相呼，填写格内。先从末行起依次相乘逆上至实首止，得数从下右边小数起，亦是逆升同前，自下而上合问。”

由明代吴敬撰写的算书《九章详注比类算法大全》成书于1450年，其中编录了3道“写算”即“铺地锦”乘法题例题。

查1978年科学出版社出版的李约瑟《中国科技史》第三卷有了这样一段话：“起源于印度或阿拉伯的格子乘法（Gelosia），在《算法统宗》（1593年，按当为1592年）以前，从未在中国的著作中出现过，它在《算法统宗》中被称为‘因乘图’或‘铺地锦’”。

这段话有两个问题：

一、李约瑟说“铺地锦”即所谓的格子乘法这种写算法起源于印度或者阿拉伯，有确实的证据吗？实际上，所谓的“格子乘法”即“铺地锦”在国外经常被称作 “Chinese grid method ”，或者 “The chinese method of multiplication ”。如果不是洋和尚在明末清初剽窃至欧洲的，我想不出什么原因会让西方民间用“The chinese method of multiplication”来命名这个乘法方式。

二、李约瑟说“铺地锦”在1592年刊印的《算法统宗》以前从未出现过，那1450年成书的《九章详注比类算法大全》算什么？1450年晚于1592年？所以李约瑟的这段话是错误的。很好奇想问一句，在第二点中李的断言已经是错误的，他忽视了（或许不知道）比《算法统宗》还要早142年的《九章详注比类算法大全》，更别提他不知道还有比之还要早153年的夏源泽于1439 年撰写的《指明算法》了。那李上述的第一点真实性能有多少？靠谱吗？

1993年7月，李培业教授在《数学史研究》第四集发表《程大位〈算法统宗〉中的笔算》一文，认为“‘铺地锦’绝非译名。是我国自创，不是从国外传入的。”——深以为然。

《九章详注比类算法大全》中“铺地锦”写算法例题见下图：

按照西方今天伪造历史的手段，我也满可以说，1300多年前的唐代武周时期，“铺地锦”就已经被我们的老百姓在日常生活劳作中运用到炉火纯青的地步了！不相信？你看，清代李汝珍原著小说《镜花缘》第79回里，就有一段使用“铺地锦”算法求圆桌周长的故事，不是理论，是应用题哦！什么？清代的，而且是小说，不能算证据？至少我们有文字，有实际应用案例，比你李约瑟无凭无据，张口就来的要靠谱吧！

青钿道：「昨日那里知道却埋没这一位名公，真是瞎闹！」因指面前圆桌道：「请教姊姊：这桌周围几尺？」兰芬同宝云要了一管尺，将对过一量，三尺二寸。取笔画了一个「铺地锦」。画毕道：「此桌周围一丈零零四分八。」春辉看了道：「闻得古法径一周三，是么？」兰芬道：「古法不准，今定径一周三一四一五九二六五甚精，只用三一四，三个大数算的。」春辉道：「若将此桌改做方桌，可得多长、多宽？」兰芬道：「此用圆内容方算，每边二尺二寸六分。」

有人不服，非要说“铺地锦” 是从国外传入中国的，有说印度，有说阿拉伯，又有说欧洲，各种说法，反正就是不是中国的。不得不说这些“中国人”真的非常慷慨，非常大方，非常无私，令人敬佩！不是吗？自己老祖宗的东西非得死皮赖脸的送给子虚乌有的外国人，还一个劲拼命往外推，谁不要就跟谁急！

比如百度百科说：

格子乘法是15世纪中叶，意大利数学家帕乔利在《算术、几何及比例性质摘要》一书中介绍的一种两个数的相乘的计算方法。格子算法介于画线和算式之间。这种方法传入中国之后，在明朝数学家程大位的《算法统宗》一书中被称为‘铺地锦’ 。

这种说法的时间点，明显是以李约瑟《中国科技史》中的论调为依据的。完全不可信。

又说：

相传，这种方法是最早记载在1150年印度数学家婆什迦罗的《丽罗娃提》一书中，12世纪以后广泛流传于阿拉伯地区，后来通过阿拉伯人传人欧洲，并很快在欧洲流行。

此书用什么材料写的？写在什么上？用了什么语言写的？原本呢？

认为“铺地锦”来自印度的，可以看看维基百科：

印度数学史家Datta和Singh认为不能确定格子乘法起源于印度或是舶来品；格子乘法最早见于印度一部1545年的数学著作。

先不论印度数学著作的真假，起码中国早在1439年夏源泽撰写的《指明算法》中就有非常成熟完备的“铺地锦”写算法了。而另一位印度数学史专家Kaye这样说到：

印度与中国的数学有很多平行之处, 而印度是欠了中国的债 (参阅例如Cajori, [6], 页97与84, 又如Scott [9]).

可恶的是仅仅用了一个表达未经证实的“相传”就轻而易举的抹杀了“铺地锦”的真实来源!

又有人说，

十三世纪初由意大利数学家斐波那契将它与阿拉伯数字一起传入欧洲但未得到普及，直到十七世纪才被爱丁堡数学家纳皮尔以Napier grid发表并在西方被普遍接受。这个方法如今还是英国和苏格兰学校的标准方法。（所谓的纳皮尔算筹就是中国算筹 ）

让我们先假装忘记斐波那契的《计算之书》是后世伪造的，是欧洲人伪托斐波那契的名义抄袭中国古代算经这个事实。（如果真有斐波那契此人的话）我再提出一个疑问，既然这个 “格子乘法” 这么好用，那为什么在斐波那契传入欧洲之后却没有得到普及？按理说，这种能够帮助解决欧洲人头疼烦恼的乘法运算的方法应该很受欢迎才是啊？然而这个方法却受到冷落，一直要等到 400 年后 1617 年“纳皮尔筹算” 出现，才使得这个方法受到了空前的好评与传播。——唯一符合逻辑的可能是：《计算之书》是西方17甚至18世纪的伪作，1617年之前西方根本就不知道什么“格子乘法”，直到1617年左右西方才知道“铺地锦”，才经过学习中国算书之后掌握或者部分掌握了筹算九数一筹的那种筹算，即被抢注为“纳皮尔筹算”的中国算筹！这正好是第一批洋和尚到达中国之后的20年左右，时间上完全吻合！那么“铺地锦”算法以及筹算正是洋和尚寄回（搬运回）欧洲的资料中的一小部分，这种推理也完全合理！可是百度百科中却说：

……后来通过阿拉伯人传人欧洲，并很快在欧洲流行。

一会说没有得到普及，一会又说很快流行，是不是精神分裂？到底是流行还是不流行？给个准话。

《计算之书》中的所谓的“格子乘法”。

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《蜀锦谱》（元）费著 撰

蜀以锦擅名天下，故城名以锦官，江名以濯锦。而《蜀都赋》云：贝锦斐成，濯色江波。《游蜀记》云：成都有九璧村，出美锦。岁充贡，宋朝岁输上供等锦帛，转运司给其费而府掌其事。元丰六年，吕汲公大防始建锦院于府治之东，募军匠五百人织造，置官以莅之，创楼于前，以为积藏待发之所，榜曰锦官。公又为之记，其略云：设机百五十四，日用挽综之工百六十四，用杼之工五十四，练染之工十一，纺绎之工百一十，而后足役。岁费丝，权以两者一十二万五千。红蓝紫茢之类，以斤者二十一万一千，而后足用。织室、吏舍、出纳之府，为屋百一十七间，而后足居。自今考之，当时所织之锦，其别有四。曰上贡锦，曰官告锦，曰臣僚袄子锦，曰广西锦，总为六百九十疋而已。渡江以后，外攘之务，十倍承平。建炎三年，都大茶马司始织造锦绫被褥，折支黎州等处马价，自是私贩之禁兴。又以应天北禅鹿苑寺三处，置场织造。其锦自真红被褥而下，凡十馀品。于是中国织纹之工，转而衣衫椎髻鴂舌之人矣。乾道四年，又以三场散漫，遂即旧廉访司洁已堂创锦院，悉聚机户其中。犹恐私贩不能尽禁也，则倚宣抚之力建请于朝，并府治锦院为一。俾所隶工匠，各以色额织造。盖马政既重，则织造益多，费用益夥，提防益密，其势然也。今取承平时锦院与今茶马司锦院所织锦名色著于篇，俾来者各以时考之。

谱中又记录各色锦，如下：

转运司锦院织锦名色（即成都府锦院）

上贡锦三疋花样：八答晕锦。

官告锦四百疋花样：盘球锦，簇四金雕锦，葵花锦，八答晕锦，六答晕锦，翠池狮子锦，天下乐锦，云雁锦，臣僚袄子锦。

八十七疋花样：簇四金雕锦，八答晕锦，天下乐锦。

广西锦二百疋花样：

真红锦一百疋：大窠狮子锦，大窠马大球锦，双窠云雁锦，宜男百花锦。

青绿锦一百疋：宜男百花锦，青绿云雁锦

茶马司锦院织锦名色（茶马司须知云：逐年随蕃蛮中到马数多寡以用，折传别无一定之数。）

黎州：皂大被，绯大被，皂中被，绯中被，四色中被，七八行锦，玛瑙锦。

叙州：真红大被褥，真红双连椅背，真红单椅背。

南平军：真红大被褥，真红双窠锦，皂大被褥，青大被褥。

文州：犒设红锦

细色锦名色：青绿瑞草云鹤锦，青绿如意牡丹锦，真红宜男百花锦，真红穿花凤锦，真红雪花球露锦，真红樱桃锦，真红水林檎锦，秦州细法真红锦，鹅黄水林檎锦，秦州中法真红锦，紫皂段子，秦州粗法真红锦，真红天马锦，真红湖州大百花孔雀锦，真红飞鱼锦，四色湖州百花孔雀锦，真红聚八仙锦，二色湖州大百花孔雀锦，真红六金鱼锦。”

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