高中数学竞赛培优讲座： 递推思想方法及其应用策略03

文/曹程锦（许兴华数学/选编）

高中数学竞赛培优讲座(03)

递推思想方法及其应用策略（组合数学思维方法篇）

(陕西西北工业大学附中曹程锦)

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（续上期）

例7．设n为大于1的整数，平面上有2n个点，且任意三点不共线．将其中的n个点染为蓝色，其余n个点染为红色．若过一个红点和一个蓝点的直线满足在这条直线的每一侧蓝点的数目等于这一侧红点的数目，则称这条直线为平衡线．证明：至少存在两条平衡线．

分析 先证明这n个点的凸包上的每一个顶点均在一条平衡线上．

由于每个凸包的顶点均在一条平衡线上，所以，至少有两条不同的平衡线．

评注: 凸包是一种“边界极端”，从极端入手打开突破口是组合数学常用思想。

离散几何中多含有递推结构，递推法是离散数学的主流性方法，n=3时易知下列引理成立，故先特殊到一般地猜测如下引理成立，进而用数学归纳法证明它成立。

先证明一个引理。

三、与数学归纳法交融

数学归纳法的实质是递推关系的实际应用，与数学归纳法交融也是递推思想方法及其策略的具体应用之一.

四、求解存在性问题

存在性问题是数学竞赛中的热点问题，与组合代数有关的存在性问题需要灵活运用归纳、构造、论证等方法来解答问题。

（未完，待续）

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