宋波：借助坐标伸缩变换解决椭圆的七大问题------“巧妙”中带着一丝“妖娆”！

【来源】数学三剑客（ID：Math-119）。

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在高中数学新课标选修 4-4 中，介绍了平面直角坐标系中的坐标伸缩变换。在坐标伸缩变换下，椭圆就可以变为圆，二者有很多相似的性质，从而可将椭圆的有些问题用圆的知识来处理，比如研究直线和椭圆、椭圆和椭圆的位置关系、与椭圆有关的问题时，用坐标伸缩变换转化为相应的直线和圆、圆和圆的位置关系、与圆有关的问题来处理。这样做不仅可以方便理解，还可以避免较为繁琐的计算过程。如下分别介绍七种载体所对应题型的常见处理方法。

1

线和椭圆的位置关系

2

椭圆与椭圆的位置关系

3

椭圆中点弦的直线方程

4

椭圆上动点到定点或定直线最值问题

5

求解椭圆方程

6

动点轨迹方程问题

7

有关证明问题

结束语：

用坐标伸缩变换使得椭圆问题化作圆处理，运用好圆的性质，不仅解决了常规方法下运算量大、较难处理的椭圆问题，还能充分地感受到平面几何的魅力。当然，椭圆问题的圆化处理还有其它很多方面的应用，大家如有兴趣，可作进一步探讨，相信会有更多收获。

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