关于圆锥曲线中点弦问题的一些探讨

一、问题的提出

在学习圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）时，有学生提出：圆锥曲线的中点弦问题，求出直线方程后，是否要检验？

我偶尔听到一个数学老师不加思索地对学生回答说：“对于双曲线需要检验，对于圆和椭圆则无需检验。”

情况果真如此吗？

先看下面的一些例子。

以上求圆锥曲线的中点弦所在的直线方程的方法，称为“点差法”，一般数学老师上课时都会跟学生讲的。

【说明】模仿例1的解法得本题（1）的答案为直线AB：32x+25y-178=0.
（2）的答案为直线AB：8x+5y-40=0.

试问：以上的方法对吗？

其实，（1）是对的。（2）是错的。

问题就出在：第（1）图中，点M在椭圆内。第（2）图中，点M在椭圆外，所以，（2）中的直线AB是不存在的！

由此可见，弦中点问题，是需要检验的！否则，就可能发生错误！

二、圆锥曲线中的中点弦问题

其实，已经有同学注意到了：双曲线与抛物线中存在完全类似的问题。

现在，我们给出一般的圆锥曲线的中点弦问题。

如果直线MN的斜率不存在，那是非常容易的情形，此处不必再作分析了（读者可以自己考虑一下）。

以上的圆锥曲线，可以是圆、椭圆、双曲线和抛物线。

特殊情形：

1. 当曲线C为椭圆时，本定理就是上面的例1.
   

2. 当曲线C为双曲线时，结论为：

3.当曲线C为抛物线时，结论为：

三、两个双曲线的实例

四、关于圆锥曲线中点弦存在性问题的检验问题

由上面的例2与例5知：关于圆锥曲线中点弦问题，如果我们不检验，那么就有可能发生错误。那么，怎样来检验呢？

1.判别式法肯定是其中的一种好方法，两方程联立即可用。

2.利用文【1】中的结论也是一种好办法。

（注：文【1】快速判断直线与圆锥曲线位置关系的公式法）

3.直观图判断方法：

（1）对于圆和椭圆，只要中点P在其内部，即满足：

则此时圆或椭圆的中点弦MN存在；否则，不存在。（如下图所示）

（2）对于双曲线，只要中点P在下图中的阴影部分(图5与图6均不包含边界)，即满足：

（3）对于抛物线，只要中点P在下图中的阴影部分——此时称点P在抛物线的内部(图7，不包含抛物线的边界)，即满足：

则抛物线的中点弦MN存在；否则，不存在。

【声明】本文为公众号《许兴华数学》原创作品，如需转载，请在文章后面留言给编者开白名单授权！近来，编者发现某些公众号利用《许兴华数学》的原创文章进行重新洗稿整理，而完全去掉本公众号的水印又不注明文章来源，就当作自己的原创文章发表。如果再次发现这种情况，编者将追查其版权责任！

【读者必看】为防止喜欢《许兴华数学》的朋友失联，敬请长按二维码识别关注备用公众号《许兴华文摘》：

【几点说明】公众号《许兴华数学》诚邀全国各地中小学数学教师、教研员和数学爱好者热情投稿！来稿时请注意以下五点：（1）来稿请注明真实姓名、工作单位、联系方式（无具体工作单位和真实姓名的投稿，一般都不会采用）。

（2）来稿一般要求同时用word文档和PDF格式的电子稿件（防止不同版本的Word打开时出现乱码）。另外，也接受少数著名教师的手写稿（手写稿必须清晰可读）。

（3）每篇文章请认真审查复核，防止错误发生，来稿文责自负。如有抄袭，则有可能被举报并受到有关著作版权部门的追责。
（4）投稿邮箱：[e-mail]；或投稿到QQ邮箱: [e-mail].

（5）本公众号对优秀作者和名师一般会附上“作者简介”，以让广大读者更好地了解作者的研究成果和方向，以便进一步学习作者的相关数学思想或解题方法。

【推荐阅读】