【高考数学】循循善诱｜今天以后，笑看“二面角”
The following article is from 素人素言 Author 彭西东
其实，高考对立体几何的考查，除了一些零散的知识点之外，主要也就集中在几个知识点。
客观题热门考点：
①几何体表面积与体积✓
②三视图✓
③几何体截面✓
④空间轨迹✓
⑤多面体与球✓
⑥图形翻折
主观题热门考点：
①位置关系证明：平行✓，垂直
②空间角的计算：
异面直线角✓、线面角、二面角
③空间距离✓
今天的推文，主要以“2019年全国Ⅰ卷”立几解答题为媒介，一次性总结下二面角计算的相关方法。
相信，今天以后，二面角不再是问题。
2019全国Ⅰ卷
以下只证明第二问
二面角的计算，首选当然是定义法了。
所以，我们首先要在轴线上找到一个合适的点，能够在两个半平面内分别做出轴线的垂线。
这种思路，对于图形中位置关系的观察可是要很仔细的，而且，几何功底也要扎实些。否则，那个点也未必就一定好找。
如果轴线上的那个点真的不好确定，我们也可以折中一下，利用向量可以平移的特点，在轴线上找两个点，并在两个半平面内分别做轴线的垂线，得到两个向量，这两向量的夹角也可以表示二面角的平面角。
当然，作为操作者，就一定要很好地理解这种关系了。
如果确实想用几何法做平面角，又实在没办法时，怎么办呢？
这时就该“三垂线定理”大显身手了。
三垂线定理简述：
用三垂线定理作平面角，前提是一定要找到点面垂线的垂足O。但实际情况是，很多时候我们都是难已找到这个垂足的。
怎么办？
我们再折中一下，如果能求出点P到面的距离PO，用下面的方式，也是是可以求出二面角的。
只是求出来的，应该是二面角的正弦值了。
所以，如果以后题中是要求二面角正弦值的，我们是不是可以大胆猜测，就是在提醒你要用距离求二面角了呢？
当然，至于距离怎么求，也是个问题。
一般来说，点到面的距离，确实可以用上面的体积法。
但体积法的前提，是一定要首先求出三棱锥的体积的。
因此，这里本身就包含了一个点到面的距离的问题。
那交换顶点和底面后，如果不能求出一个距离呢？
这时就要研究向量与距离的关系了。
所以，就想到了“投影”。
其实，用距离求二面角的正弦值，我一直认为是一种比较好的方法。
只是，好像现在很多的孩子，都是喜欢用法向量求二面角更多一点。
当然，求出来的应该就是余弦值了。
法向量与二面角关系
✔二面角是钝角或锐角，
一般需要根据图形进行判断。
其实，求二面角还有一种重要的方法——面积法。
应该说，它也是求二面角的一种常用方法。
尤其是图中二面角的轴线未反映出来时，用面积法会比较方便。
【来源】素人素言。
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【高考百日冲刺系列19】专题五第二关+以数列与不等式相结合的综合问题为解答题
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