【数学惊雷】由方程 x^x^x^x^ ... = 4 引发的讨论 —— 无穷迭代幂次大探险

【编者按】这是知乎上非常火爆的一篇数学文章！大家看看？

由方程 x^x^x^x^ ... = 4 引发的讨论 —— 无穷迭代幂次大探险

    (作者Aries)

前言

几个月前，我第一次遇见了这个神奇的东西：

它有着奇妙的性质，让我学了好多知识……

从那时起，我就被它深深地吸引了，直到这篇让我掉了不少头发的文章的诞生……

一 、 「问题的出现：4=2  ? ? ?」

一切还要从方程 说起。

首先要注意，方程中 的运算顺序是从上到下的。 才是从下往上算的。

若无特殊说明，一律默认 表示 ，即它是一个极限。显然 。

我们在方程中添加一个括号：

它并没有改变运算顺序。而由原方程可知，括号内的式子也等于4，于是：

解得：

似乎没毛病。

下面我们不妨考虑另一个方程：

用同样的方法得到：

解得：

与原方程比较可得：

至此，数学大厦轰然倒塌。（手动滑稽

二 、 「真假不动点」

在上一部分，我们通过求解两个方程得到了：

显然它们不可能同时成立。在判断哪个式子正确之前，我们需要考察 是否收敛。

考虑构造一个数列，使它的极限表现为

不妨构造数列 ，它可以写成递推形式：

， ，其中

于是 ，所以我们只需判断数列极限 的敛散性。

将数列的迭代过程画在图像上^[1][2]：

直线 的作用是将每次的输出值（即函数值）转化为输入值。

可以看出它极限存在，且似乎收敛于2（兴奋！

但光看不行，我们还得给出证明：

不难证明 严格单调增加。
若当 为某个正整数时 成立，则有
当 时显然成立，由数学归纳法知 成立，即数列 单调增加。
若当 为某个正整数时 成立，则有
当 时显然成立，由数学归纳法知 成立，即数列 有界。
由极限存在准则之单调有界数列必有极限知，极限 存在。

现在可以计算极限的值了：

设 ，在递推式 两端取极限得：

这正是 与直线 的交点，即函数 的不动点！实际上，对于任意的 ，此结论都成立，即：

【若递推数列 极限存在，则它的极限是函数 的（一个）不动点】

观察迭代图像，可发现两个不动点分别是 和 ，又因为 ，由收敛数列的保号性知 ，所以 ，也就是：

这表明 是方程 的解，而不是方程 的解。

那么问题来了， 的解到底是啥？？

三 、 「 e 的现身」

答案是无解！

假设 有解，则有 ，但它不成立，所以无解。

这坨东西等于2时有解，等于4时无解，那当它等于2和4之间的数时，方程的解又是什么情况呢？有没有某个数是使它【有解】和【无解】的分界点呢？

我们需要一个引理：记极限 ，若 且 与 都收敛，则有 。证明如下：

记 ，则有
若当 为某个正整数时 成立，
则有
当 时显然成立，由数学归纳法知 成立
令 得：
而实际上，等号是取不到的，因为若 ，则有
及 ，于是 ，与假设矛盾。
所以

用反证法易证它的逆命题【若 且 与 都收敛，则有 】也成立。

由此我们可以得到结论：若方程 有解，则一定有

然后还是老办法，构造数列 ，其中 ，写成递推形式：

， ，其中 ，

于是 。上一部分中，我们看了 时的迭代表现。随着b取值的不同，数列的迭代表现也会不同。这是 时的迭代图像变化：

(点击链接看小视频）https://zhuanlan.zhihu.com/p/168578462

迭代（1）

很容易看出，当 与 有交点时，数列 收敛于离原点更近的那个交点：当 与 无交点时，数列 发散。而数列收敛与发散的界限，正是在【 与 相切】的时候，此时b的取值便是 收敛域的右端点。

为求出b，我们需要解此方程组：

也就是

下式除上式得 ，即 ，代回上式得 ，于是 ，所以方程组的解为：

即当 时， 与 的切点坐标为 。

我们也就得到了极限 收敛域的右端点是 ，此时 。结合前面的引理可知，当 时， ，即

这也就回答了这一部分最初提出的问题：

对于 ，方程 当 时有解，当 时无解，使方程【有解】和【无解】的分界点便是神奇的

以上仅为不严格的推导，稍后便给出严格证明。

四 、 「奇葩的迭代」

上一部分，我们求出了极限 收敛域的右端点是 ，何不尝试求一下它的左端点呢？先来看看 时的迭代变化：

(点击链接看小视频）https://zhuanlan.zhihu.com/p/168578462

迭代（2）

可以发现当 时的迭代表现是一类的。当 时显然收敛。我们下面主要关注当 时的迭代，显然它的迭代表现是完全不一样的。不知道大家看了有什么想法，，反正我联想到了这个：

我们知道，只有当黑线趋近于唯一一点时，此数列才有极限。观察当 时的迭代，会发现似乎b在某个范围内时迭代趋于中心一点，此时极限存在；b在另一范围内却不趋于唯一一点，而是“趋于”两点——内部“正方形孔”的右上角和左下角，此时极限不存在。当然，以上所述的“点”均为不动点。仔细观察后，我们可以大胆猜测：数列收敛与发散的界限，是在【 是 的法线】的时候，此时b的取值便是 收敛域的左端点。

为求出b，我们需要解此方程组：

也就是

解为 （具体过程就留给大家了～）

所以极限   收敛域的左端点是 。至此，我们也就得出了它的收敛域为 。如果想有对称的感觉，可以写成

自然常数 竟然能以这种形式出现在这里，不得不让人感叹数学的奇妙！

五 、 「严格的证明（1）—— 阶梯状迭代」

以上的推导并不严格，下面将给出严格证明。

我们的目标是证明当且仅当 时，极限 存在，其中

以下过程中的引理就不作证明了，有兴趣的读者可以自行证明。

由于迭代表现的不同，我们需考虑分类讨论：

Case 1 ：

显然此时 ，所以极限存在且

Case 2 ：

仿照第二部分的当 时的证明即可。

引理 1 ：
当 时， 与 有两个交点，且它们各自分别在 和 内。
引理 2 ：
与 相切于 ，且

若当 为某个正整数时 成立，则有

当 时显然成立，由数学归纳法知 成立，即数列 单调增加。

由引理 1 及引理 2 ，设 与 离原点较近的那个交点（或切点）坐标为

若当 为某个非负整数时 成立，则有

由引理 1 知当 时成立，由数学归纳法知 成立，即数列 有界。

所以 极限存在，且

此处利用了我们在第二部分中得到的结论：
若递推数列 极限存在，则它的极限是函数 的（一个）不动点。

Case 3 ：

考虑反证法，假设极限存在： ，则

而另一方面，由引理 2 知 成立，故 ，矛盾。

因此 极限不存在。易证此时数列 单调增加，所以

以上 Case 2 与 Case 3 的迭代表现都是阶梯状的。

六 、 「严格的证明（2）—— 螺旋方形状迭代」

在继续进行证明之前，我们要做点工作，因为 时，迭代的表现很魔幻。从迭代图像就可以看出，此时的 不是单调的！因此刚刚的那些证明方法在这里就失效了。不过，虽然数列本身不单调，但可以看出它的两个子列是单调的，如图：

它的偶子列 和奇子列 分别是单调的，这就给我们提供了一个新的思路：只需分别考察偶子列与奇子列的收敛情况，仅当它们极限都存在且相等时， 极限存在。下面是我们要做的准备工作：

考虑 的两个子列： （偶子列）， （奇子列），他们的递推形式为：

其中

现在可以继续证明了。

Case 4 ：

引理 3 ：
当 时， 严格单调增加。
引理 4 ：
当 时， 与 只有一个交点，它在 内。
引理 5 ：
数列有极限 的充要条件是它的偶子列与奇子列有相同极限 。

若当 为某个正整数时 成立，则由引理 3 有

当 时显然成立，由数学归纳法知 成立，即数列 单调减少。

由引理 4 ，设 与 的交点坐标为 ，

若当 为某个非负整数时 成立，则有 ，

由引理 4 知当 时成立，由数学归纳法知 成立，即数列 有界。

所以 存在，且

若当 为某个正整数时 成立，则有

当 时显然成立，由数学归纳法知 成立，即数列 单调增加。

若当 为某个非负整数时 成立，则有

当 时成立，因为 ，由数学归纳法知 成立，即数列 有界。

所以 存在，且

由引理 5 知， 存在，且

Case 5 ：

引理 6 ：当 时， 与 有三个交点，且它们都在 内。

由引理 6 ，设 与 离原点最远的交点坐标为 ，最近的为 ，则与 Case 4 相仿可证 ，具体过程留作习题。

由于 ，故 不存在

至此，证明完毕！

留个小小的思考题：当 时，有什么情况？

七  、  「无穷迭代幂次（Tetration）函数」

我们围绕极限 讨论了很多，求出了它的收敛域为 。实际上，它可以成为一个函数，而收敛域正是函数的定义域。此函数可叫作无穷迭代幂次^[3]函数（它似乎并没有一个官方的名字）。

在第三部分中，我们得到了这个结论：若 ，则有 ，实际上，当 时，此结论也成立，但它用数学归纳法不好证明，我们不妨换一种思路。

为了方便，将函数记为 ，则有 ，即 ，这表明 和 都在隐函数 的图像上，而它是 的反函数，后者图像为：

虚线是y=1，是水平渐近线

易证它在 内严格单调增加，且满足水平线检验，于是它的反函数 在 内严格单调增加，所以当 时，有 。

由以上结论，我们现在也就证明了无穷迭代幂次函数是严格单调增加的，它的表现与当 时的函数 相同，后者的图像是这样：

只需限制 的取值范围，便可得到无穷迭代幂次函数的图像：

左上角的 是 的一种记法。

下面我们求一下它的导数。

方法一：由于它满足 ，于是 ，由反函数的求导法则得 ，这就是无穷迭代幂次函数的导数。

方法二：直接对 作隐函数求导，然后解出 即可，过程留作习题。

方法三：考虑先对 求导：

两端令 得 ，然后解出 即可。

所以以后要是有人拿 来难为你，你就可以直接怼回去：

它的拐点大约为

至于它的积分，由于原函数求不出，所以定积分只能给出近似的数值解了：

八 、 「图像分支与子列迭代」

曾见有人提过这个问题：函数 当 时是否是多值函数？

相信大家现在都能答上来，答案显然是“否”。

我们不妨思考一下，这个问题为什么会被提出来？我们前面提到了， 与 在定义域内的图像是吻合的。若不限制 中 的取值，则它在 内确实是多值的，这也正是此问题的由来。我们已经证明 收敛于下面的那一分支，不过这两个分支的出现可以通过迭代图像来解释：

当 时，函数 有两个不动点，而数列迭代只收敛于离原点较近的那个不动点。 在这里的的多值性正是由另一个不动点产生的。比如文章最初的例子，当 时，方程 对应 或 ，此时 有两个不动点 和 ，但数列迭代收敛于 而不是 ，即 当 时收敛于 。

更有意思的事情发生在 内。我们知道此时数列本身发散，但它的偶子列 和奇子列 分别收敛于当 时 的两个不动点。下面分别是它们的迭代图像：

偶子列u_n

奇子列v_n

而 的图像是这样：

它除了在 内多出来的上下两个分支之外，别处跟 的图像完全一样。这三个分支的正是由 当 时的三个不动点产生的。此时，迭代的偶子列收敛于最上面的分支，奇子列收敛于最下面的分支。

也就是说， 的图像是这样：

的图像是这样：

通过迭代分析，我们还能推知， 不论n取何值图像都一样； 也是如此。

另一种直观的表现就是，观察迭代幂次函数随x的数量增加带来的图像变化：

迭代幂次x^x^...

是不是感觉思绪更清晰了呢？

补充：一种记法： ^[3]

九 、 「变异的无穷迭代幂次 —— 迭代初始值的改变」

我们再来看看数列的迭代：

，

假如改变它的初始值 ，它会有什么表现呢？此时的无穷迭代幂次函数又是怎样的呢？

下面给出结论，证明过程留作习题~

记 ，则：

当 时， 与无穷迭代幂次函数完全相同。

当 时， 收敛域（定义域）为 （此时 ）。它在 内表现与无穷迭代幂次函数相同，但 。此时随着 取值的变化， 的图像变化如下：

改变初始值的无穷迭代幂次函数

当 时， ， 的定义域就变为 了。

下面我们看看以初始值为自变量的函数。

记 ，则：

当 时， 发散至正无穷。

当 时，

当 时， ，其中 分别是此时 距离原点较近和较远的不动点。

当 时，

当 时， ，其中 是此时 的不动点。

当 时， ，但有 ，其中 分别是此时 距离原点由近到远的三个不动点。它长得有点像阶跃函数。留个小小的思考题：此时函数 是什么样呢？

这堆结论通过观察迭代图像可更好地理解。大家不妨也可以自行用软件画一画函数 随n变大时图像的变化趋势，可以更好地理解上述结论。

补充：一种记法： ，它叫作 Iterated exponentials 。^[3]

十 、 「朗伯W函数与解析延拓」

下面，我们引入一个大名鼎鼎的函数：朗伯W函数（Lambert W function）^[4]

它的定义很简单： 是 的反函数。这表明，关于x的方程 的解为

我们的无穷迭代幂次函数可以写成含有它的函数形式。

首先对于 ，有 ，我们需要解出y来。两端取对数得 ，稍作变形得 ，由朗伯W函数定义得 ，而 ，带入整理可得：

这就说明，在定义域上，无穷迭代幂次可以写成：

我们知道，朗伯W函数在 内是多值的，那在此处运用了它的哪一分支呢？

令 ，则：

当 时，有

当 时，有

这两段可以从图像上直观地看出来：

显然，它在多值的区域内使用了靠上的那个分支。

我们继续玩玩，不妨改写下原式，令 可得：

这便是朗伯W函数的无穷迭代幂次展开。不难验证此时x的收敛范围为 ，这对应着 ，即上述的那一段图像。

把 代入可得到欧米伽常数（Omega constant）的无穷迭代幂次表达式^[5]：

若x不限制在定义域上，还把它拓广到复数域内，那它就成功地被解析延拓了。

在复平面内， 的图像是这样（x实部，y虚部。黑线对应着我们熟悉的在实数范围内的无穷迭代幂次函数图像）：

十一 、 「分形之美」

这是本文的压轴部分！

大家一定见过曼德勃罗集（Mandelbrot set）^[6]的图像吧！曼德勃罗集是由使迭代

始终有界的全体复数 构成的集合。将它用黑色在复平面上表示出来的图像是这样：

它是一个非常非常著名的分形（Fractal）图像，你可以把它无限放大下去，效果是这样：

Mandelbrot set

有关它的介绍有很多，在这里就不说啦~

实际上，我们的迭代幂次一点都不输给它哦！

将使迭代幂次 始终有界的全体复数 构成的集合，在复平面上用黑色表示出来的图像是这样^[7]：

把它无限放大的效果是这样：

迭代幂次分形

再来一波 ———— ^[8][9]

这可都是由迭代幂次产生的分形图像哦~

是不是非常漂亮呢，数学真的太美啦！！！（破音

————— THE   END —————

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补充（2020.8.30更新）

在此顺便写一下评论区出现的几个问题。

1.

绘图软件是Desmos，它的在线网址是：

Desmos | Graphing Calculator

www.desmos.com

可在手机、平板等设备上安装此软件。

2.

有人疑惑 直觉上是 时发散至无穷， 时收敛至0。但实际上，“直觉”有时候是不可靠的，迭代幂次并不像连乘那样。有人按了计算器会发现 时，随着 中 x 的数量的增加，它的值会越来越大，这是正确的，但这不意味着它发散，因为数列单调增加并不能证明数列发散。

3.

文章第二部分中

“又因为 ，由收敛数列的保号性知 ”

这句话中“由收敛数列的保号性知”的完整过程如下：

构造新数列 ，则有 ，由收敛数列的保号性（的推论）知 ，即 。

收敛数列的保号性：
若 且 （或 ），则存在正整数 使得当 时，恒有 （或 ）。
推论：
若数列 从某项起有 （或 ），且 ，则 （或 ）。

4.第二部分中假设 后用数学归纳法证明了 ，但如果假设 也能用数学归纳法证出 啊？此时数列极限不就是 4 了吗？

实际上， 并不能推出数列极限为 4 ，因为 2 也小于 4 ，你怎么知道 2 不是极限呢？这个结论太弱，无法证出我们需要的命题（即数列极限是 2 ），所以才会选择证 。

5.目前还没有一种确切的方法使迭代幂次的高度值推广至全体实数。^[3]

6.目前我发现的知乎上全面、系统地讨论无穷迭代幂次的文章还有类似的两篇。

【来源】由《许兴华数学》选自：知乎Aries.

网址是：https://zhuanlan.zhihu.com/p/168578462。

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