奇异点——描述非平衡系统相变的数学语言

导语

液态的水凝结成固态的冰，磁铁加热后磁性消失，这些都是物理学中常见的相变现象。不过，鸟群的聚集，人群的集体移动，神经元网络的同步，也都是相变现象。在这些系统中，大量主体相互作用，涌现出集体行为——这是非平衡系统的相变。处于平衡态的气液相变、铁磁相变很容易用统计力学的语言来描述，但具有额外能量来源和非互易相互作用的非平衡系统则超出了统计力学的描述范围。不过，最近科学家发现，鸟群、奇异量子态、神经元这些看似不相干的学科之间，具有深刻的数学相似性，这些非平衡系统中的相变都可以用“奇异点”这一数学语言来描述。

研究领域：非平衡系统，非互易性，临界相变，活性物质，集体运动，阻挫

Stephen Ornes | 作者

张澳 | 译者

梁金 | 审校

邓一雪 | 编辑

1. 非平衡态系统的相变

牛顿第三定律告诉我们，对于每个作用力，都存在一个大小相等且方向相反的反作用力。400年来，它一直在指导我们，解释了为什么我们不会从地板上掉下去（地板会给我们支持力） ，以及为什么划动船桨能让船在水中前进。当一个系统处于平衡状态，没有能量增损时，它必须遵守这类互易性（reciprocity）规则。这类平衡系统可以用统计力学——研究大量粒子集合的宏观运动规律的物理学分支——来优雅地描述。这使得研究人员能在物质由一种状态转变为另一种状态时（如水结冰的时候），完全模拟引起物质相变的条件。

但是存在许多远离平衡态的系统，其中最直接的例子就是生命本身[1]。我们的新陈代谢把物质转化为能量，使生命远离平衡态，而处于平衡态的人体就是一具死尸。

在这样远离平衡态的系统中，牛顿第三定律变得毫无意义。芝加哥大学的凝聚态物理理论家 Vincenzo Vitelli[2] 说，“ 想象两个粒子 a 与b，其中 a 对 b 的作用方式和 b 对 a 的作用方式不同。”这种非互易关系（nonreciprocal relationships）表现在神经元网络、流体粒子等系统中，甚至在更大范围内表现在社会群体中，如捕猎者吃猎物，但猎物不吃它的捕猎者。

图1. 芝加哥大学的 Vincenzo Vitelli 发现了一种新的描述非互易系统相变的方法。在此类非平衡系统中，牛顿第三定律并不适用。| 来源：Kristen Norman for Quanta Magazine

对于这些不遵守互易性的系统，统计力学在描述相变方面无能为力。当系统处于非平衡态时，非互易性占据主导地位。可以通过鸟群证明非互易性普遍存在：鸟儿看不到身后的同伴，所以会根据前面的同伴改变飞行模式，造成鸟 a 对鸟 b 的互动方式，和鸟 b 对鸟 a 的互动方式不同。在高速上行驶的汽车或者堵在路上的汽车也同样具有非互易性。从事超材料（其特性源于结构，而非物质）研究的工程师和物理学家利用非互易的基本单元设计声学、量子和机械装置。

许多系统之所以处于非平衡态，是由于构成系统的主体有自己的能量来源，如细胞有ATP，汽车有汽油。额外的能量来源和非互易的作用构成了复杂的动力系统，这超出了统计力学的描述范围。我们应该如何分析这种不断变化的系统中的相变？

Vitelli 和他的同事们在一个叫做奇异点（exceptional points）的数学对象上找到了答案。一般来说，一个系统中的奇异点是一个奇点（singularity），系统的两个或多个特征在该点上变得无法区分，在数学上坍缩为一个特征。系统在奇异点上的行为与在奇异点附近的行为在数学上有显著不同，并且奇异点常常被用于描述系统中能量不断增损的神奇现象，比如激光。

现在研究小组发现[3]，奇异点也控制着非互易系统中的相变。实际上奇异点并不新鲜，物理学家和数学家已经在各种不同的背景下对其研究了几十年。但是他们从来没有考虑过奇异点与非平衡体系中的相变存在联系。美国洛斯阿拉莫斯国家实验室的物理学家 Cynthia Reichhardt[4] 说: “在非平衡体系中使用奇异点是以前没人想到的。因此，可以利用我们已有的关于奇异点的所有方法来研究这些系统。”

这项新的研究将一系列多年来看似毫无联系的领域和现象联系了起来。“我相信他们的工作代表了数学发展的丰富领域，”纽约大学数学科学柯朗研究所（Courant Institute）的 Robert Kohn[5] 说。

2. 对称性破缺和相变

这项工作不是源于鸟群或神经元，而是源于量子怪异性（quantum weirdness）。几年前，一篇新论文的两位作者——芝加哥大学博士后研究中心的 Ryo Hanai[6] 和其导师 Peter Littlewood[7]——正在研究一种叫做极化子（polariton）的准粒子。

准粒子本身不是粒子。它是一系列量子行为[9]的集合，总体看起来好像是一个粒子。当光子（photons，组成光的粒子）与激子（excitons，一种准粒子）耦合时，就会出现极化子。极化子的质量极小，这意味着它可以非常快速地运动，在高于其它粒子的温度下形成一种被称为玻色-爱因斯坦凝聚态（Bose-Einstein condensate，BEC）的物质状态。在这种状态下，分离的原子全部坍缩成单一的量子态。

然而，使用极化子形成玻色-爱因斯坦凝聚态是很复杂的，因为系统是开放的。光子不断从系统逃离，这意味着必须不断有光子进入系统来弥补损失，系统不再处于平衡态。“从理论上讲，这才是我们感兴趣的地方，”Hanai 说。

图2. 在处于平衡态的体系中，物理学家已经完全理解了相变，如水结冰。但是芝加哥大学的 Peter Littlewood（左）和 Ryo Hanai（右） 发现，在一个能量不断增损的量子系统中，相变可以通过奇异点来理解。| 来源：Simons基金会，由 Ryo Hanai 提供

对于 Hanai 和 Littlewood 来说，这类似于创造激光。Littlewood 说：“光子一直在逃离激光，但激光仍然能保持某种相干态。”这是因为激光不断有新的能量供给。他们想知道：偏离平衡态如何影响极化子向玻色-爱因斯坦凝聚态或其他奇异量子态的转变？特别是，这种变化如何影响系统的对称性？

对称性是相变的核心。液体和气体是高度对称的，如果你乘坐分子大小的飞船穿过它们，会发现粒子在各个方向的排列看起来都是一样的。而当飞船穿过晶体或其他固体时，会看到分子成行成列规则排布，并且看到的排列模式由你所在的位置决定。所以当一种物质从液体或气体变成固体时，研究人员会说它的对称性“破缺”了。

在物理学中，磁性材料中的相变被研究得最多。在铁或镍这样的磁性材料中，每个原子都有一种叫做磁矩的微小磁场。在磁体中，这些磁矩都指向同一个方向，共同产生一个磁场。但是如果将材料加热到足够高的温度——在高中课堂的科学演示中，用蜡烛就足以——磁矩将变得混乱，有些指向一个方向，有些指向另一个方向。宏观而言磁体的磁场消失了，而对称性得以恢复。当磁体冷却后，磁矩再次规则排列，打破了自由形式的对称性，磁性得到恢复。

鸟群的聚集也可以被看作是对称性的破缺：鸟儿不是随机飞行的，而是像磁铁中的磁矩一样有序排列。但是两者有一个重要的区别：处于平衡状态的铁磁相变很容易用统计力学来解释，但是具有额外能量来源的鸟儿（以及细胞、细菌和车流）处于非平衡态，其相变不能用统计力学解释。Reichhardt解释说，因为有内部能量来源，鸟群的系统能量不守恒，其行为就不同了。

3. 奇异量子态的相变

Hanai 和 Littlewood 通过思考常见的相变来研究玻色-爱因斯坦凝聚态。Littlewood 说，尽管液态水和水蒸汽看起来不同，但它们的对称性基本没有区别。从数学上来说，在相变点上液态水与水蒸气是无法区分开的。在处于平衡态的系统中，相变点被称为临界点。

在宇宙学、高能物理，甚至生物系统中，临界现象无处不在。但是在所有这些系统中，研究人员仍未找到一个合适的模型，来描述当量子系统与环境耦合时形成的能量持续进入和损耗的凝聚态。

Hanai和Littlewood猜测，临界点和奇异点具有一些共同的性质，尽管它们源于不同的机制。“临界点是一种有趣的数学抽象，你不能区分这两相之间的区别。在极化子系统中也发生了同样的事情。” Littlewood 说。

他们还知道，在数学语言下，一束激光（从技术上讲是物质的一种状态）和一束极化子-激子形成的玻色-爱因斯坦凝聚态具有相同的基本方程。在2019年发表的一篇论文中[10]，研究人员将这些线索串联起来，提出了一种全新、关键且普遍的机制。通过这种机制，奇异点可以在量子动力学系统中引起相变。“我们认为这是对非平衡系统相变的第一个解释，” Hanai 说。

图3. 芝加哥大学的 Vitelli（左） 和 Michel Fruchart（右）与 Littlewood 和 Hanai ，使用分岔理论的数学框架，放宽能量景观的一般假设，将他们的工作从量子系统扩展到所有非互易系统。| 来源：Kristen Norman for Quanta Magazine

同时，他们意识到虽然他们研究的是物质的量子态，但其相变的基本方程不依赖于量子力学。那么这一机制是否适用于更普遍的现象呢？“我们开始怀疑，这种将相变与奇异点联系起来的想法也可以应用于经典系统。”Hanai 说。

为了实现这个想法，他们联系到了 Vitelli 和 Michel Fruchart[11]来寻求帮助，后者是 Vitelli 实验室的博士后，研究经典领域中不寻常的对称性。Vitelli 和 Michel Fruchart 的工作涉及到具有丰富非互易作用的超材料，这些材料在正面受挤压时表现出一种反应，在反面受挤压时表现出另一种反应，同时也存在奇异点。

Vitelli 和 Fruchart 立即被吸引住了，在极化子凝聚态中是否存在某种普遍原理，是否存在对能量不守恒系统的某种基本定律？

4. 玩具机器人模拟非互易系统的相变

现在队伍变成了四人组，他们开始寻找能够证实非互易性和相变之间联系的一般原理。对 Vitelli 来说，他倾向于用双手代替大脑思考。在面对难以阐明的抽象问题时，他会建立一个物理机械系统以帮助理解。例如，他曾使用乐高积木组成的网格来模拟边缘和内部移动方式不同的拓扑材料。

“尽管我们所讨论的是理论，但仍可以用玩具来证明它们，” Vitelli 说。但他认为乐高玩具是不足以模拟奇异点的。他认识到，有一种更加容易的方式——用自行移动但受非互易作用规则支配的构件（主体）来模拟非互易系统。

因此，研究小组搭建了一队两轮机器人，并通过程序设定非互易的相互作用。这些机器人小巧可爱且简单。研究小组根据它们的颜色设定了特定的行为。红色机器人与其它红色机器人指向相同，蓝色机器人与其它蓝色机器人指向相同。但是互动中存在非互易性：红色机器人会指向和蓝色机器人相同的方向，而蓝色机器人则指向和红色机器人相反的方向。这种设置保证了没有一个主体会得到它想要的结果。

视频1. 每个机器人都被编程为与同一颜色的其他机器人对齐，但同时它们也被编程为表现出非互易的行为：红色机器人要与蓝色机器人对齐，而蓝色机器人要与红色机器人指向相反的方向。结果发生了自发相变，所有机器人都开始在原地旋转。| 来源：Fruchart, M., Hanai, R., Littlewood, P.B. et al. Non-reciprocal phase transitions. Nature 592, 363–369 (2021). https://doi.org/10.1038/s41586-021-03375-9

研究小组把机器人分散在地板上，并在同一时间把它们全部启动。机器人群几乎是瞬间就涌现出了一种模式。机器人开始移动，缓慢地同时旋转，直到基本上原地向着同一个方向上旋转。“然而，旋转并不是机器人的内置功能，Vitelli 说，“这都是因为这些受到阻挫（frustrated）的相互作用。它们的运动永远受到了阻挫。”

这一群旋转的、受挫的机器人的魅力很容易让人忽略其背后深刻的理论，实际上，旋转的模式正是非平衡系统的相变。Vitelli 演示的对称性破缺与 Hanai 和 Littlewood 在观察奇异量子凝聚态时发现的现象在数学上是一致的。

为了更好地对比两者，他们转向了数学领域中的分岔理论。分岔是动力系统的质变行为，通常表现为一个状态分裂为两个状态。

视频2. 研究人员还模拟了两类主体以四种方式相互作用而展现的群体行为，其中两类主体的颜色分别为蓝色和红色，两者移动速度恒定且相同。（1）左边第一个方框中，两类主体随机移动；（2）第二个方框中，蓝色和红色的主体朝着同一个方向移动，自发地打破对称性，并表现出群体行为；（3）第三个方框中，两类主体朝相反的方向移动时，出现了相似的反群体行为；（4）右边第四个方框中，两类主体的相互作用具有非互易性，涌现出一个原地打转的新相，这是对称性自发破缺的另一个例子。| 来源：Fruchart, M., Hanai, R., Littlewood, P.B. et al. Non-reciprocal phase transitions. Nature 592, 363–369 (2021). https://doi.org/10.1038/s41586-021-03375-9

数学家们通过分岔图（最简单的形式看起来像叉子）来分析系统的状态如何响应其参数的变化。通常，分岔能将稳定状态与不稳定状态区分开来，也可能将不同类型的稳定状态区分开来。这在研究与混沌相关的系统中很有用，其中初始参数的微小变化可以引发结果的巨大变化。系统行为能通过一系列分岔点从非混沌转变为混沌。分岔与相变有着长期的联系，四位研究人员在此基础上更好地理解了非互易系统。

这意味着他们还必须考虑能量景观（energy landscape）。在统计力学中，一个系统的能量景观揭示能量在空间中如何变化（例如从势能转化为动能）。在平衡态，物相对应于能量景观的极小值，就像是连绵起伏的地形中那些凹陷的山谷。“但是这种对物相的解释要求系统能量最终停留在那些极小值，”Fruchart 说。

Vitelli 说，这项新工作最重要的方面可能是，它揭示了当前物理学家和数学家用来描述开放系统的语言具有局限性。当系统处于平衡态时，由于没有增加或损失任何能量，统计力学就会以能量最小化的方式来描述系统行为。但是当一个系统偏离平衡态时，“必然不能再用我们熟悉的能量语言来描述它，但是系统的集体状态仍有转变，”他说。而这项工作的新方法放宽了必须用能量最小化来描述相变的基本假设。

“当我们假设系统非互易时，就不能再定义能量，” Vitelli 说，“我们必须将用于描述相变的能量语言改造为动力学语言。”

5. 探索复杂的大脑，寻找新的奇异现象

这项工作具有广泛的意义。为了说明这些想法如何统一起来，他们分析了一系列非互易系统。能量的视角不能描述这类与奇异点联系起来的相变，这些奇异点的对称破缺仅发生于非互易系统中。这表明互易性之外存在一系列动力系统的现象，需要用新的框架来描述。

现在他们已经奠定了理论基础，开始调查这种方法的用武之地。“我们开始推广这一理论，将其应用于过去我们认为不具有类似性质的动力系统，” Littlewood 说。

Vitelli 说，几乎任何有非互易行为的动力系统都值得用这种新方法去探索，“对于动力学不受最优化原则支配的系统，这确实是迈向其群体现象一般理论的一步。”

Littlewood 说，他最兴奋的是在人类大脑[12]这个最复杂的动力系统中寻找相变。“我们接下来要探索的领域是神经科学，”他说。并且他指出神经元已被发现具有多种状态，有时兴奋，有时抑制。“这显然是非互易的。”这意味可以通过分岔和相变（表现为周期性的神经元同步）对神经元之间的连接和相互作用精确建模。“这是我们正在探索的一个非常令人兴奋的方向，”他说，“而且数学上这是可行的。”

数学家们也很兴奋。纽约大学柯朗研究所的 Kohn 表示，这项工作可能与研究人员尚未认识到的其它数学问题有关，比如湍流输运或流体流动。非互易系统可能表现出相变或其他目前缺乏合适数学语言描述的空间模式。

“这项工作可能充满了新的机遇，也许我们需要新的数学，” Kohn 说。“这可以说是数学和物理交织的核心，对双方都有好处。这也是一个我们至今没有注意到的沙盒，列出了我们未来的待办事项。”

参考资料：

[1]https://www.quantamagazine.org/how-life-and-death-spring-from-disorder-20170126/

[2]https://home.uchicago.edu/~vitelli/

[3]https://www.nature.com/articles/s41586-021-03375-9

[4]https://cnls.lanl.gov/~olson/index.html

[5]https://math.nyu.edu/~kohn/

[6]https://physics.uchicago.edu/people/profile/ryo-hanai/

[7]https://physics.uchicago.edu/people/profile/peter-littlewood/

[8]https://www.quantamagazine.org/about/

[9]https://www.quantamagazine.org/the-near-magical-mystery-of-quasiparticles-20210324/

[10]https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.122.185301

[11]https://perso.ens-lyon.fr/michel.fruchart/

[12]https://www.quantamagazine.org/brains-may-teeter-near-their-tipping-point-20180614/

原文链接：https://www.quantamagazine.org/a-new-theory-for-systems-that-defy-newtons-third-law-20211111/

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