高阶网络动力学综述：同步、传染、合作演化与共识形成

导语

网络日益成为研究复杂系统必不可少的工具。然而，传统网络只关注成对节点之间的连接，难以描述社会、生物和技术系统中普遍存在的群体互动，高阶网络因此成为网络科学的新前沿。近期发表于「英国皇家学会院刊」的最新综述文章“高阶网络动力学综述”，回顾了近年来关于高阶网络动力学的许多重要新发现，包括同步现象、传染过程、合作演化和共识形成等领域，并展望了未来研究的开放挑战和有前景的方向。

为了探索高阶交互结构，聚焦网络科学前沿，集智俱乐部发起了「高阶网络读书会」，研读分享相关研究。读书会自6月28日起，持续10-12周，并特邀Ginestra Bianconi等一线学者做报告。欢迎从事复杂网络研究与应用的朋友加入。详情见文末。

研究领域：高阶网络，超图，同步现象

郭瑞东 | 编译

高飞、梁金 | 审校

邓一雪 | 编辑

论文题目：Dynamics on higher-order networks: a review

论文链接：https://royalsocietypublishing.org/doi/10.1098/rsif.2022.0043#RSIF20220043C10

相比传统网络，以单纯复形（Simplicial Complex）和超图（hypergraph）为代表的高阶网络，可以更好地描述复杂系统的动力学。

1. 什么是高阶网络？

传统的网络中，一条边连接两个节点，但高阶网络中的边却不止两个节点。高阶网络的一种表达形式是超网络（Hypernetwork），超网络是网络的扩展，其连边可以连接多个节点而非仅仅两个，被称为超边（hyperlink），超网络由超边组成。另一种对高阶相互作用建模的方式是单纯复形（Simplicial complex），例如，将 k+1 个节点之间的所有连接点亮，就形成 k 阶单形（k-simplex），单形进一步连接组成单纯复形。

图1. 高阶网络的构成单元。(a）1阶到3阶的单形（simplex）示意图，（b）1阶到3阶的超边示意图

除了使用传统的复杂网络对多个节点之间的互作建模，还可以使用多层网络（multilayer networks）以及时变网络（time-varying networks）。与这些方法相比，高阶网络有以下几点优势：

首先，高阶网络对网络结构有更清晰的描述。神经元活动[1,2]、社交网络[3,4]以及生态网络中，由于参与者始终在进行三元或更多元的互作，相比使用随时间变化的两两互作或将网络分为多层，高阶网络能够以内生的方式，以更简洁的模型描述多主体互作。

其次，高阶网络的建模让研究者可以进行高阶网络上的链路预测[7]，或者反过来由动态的时序数据推测网络结构[8]，还可以对多元互作的强弱按照类似PageRank的方式排序[9]，对于最有影响力节点的评估，也可以使用向量中心性（vector centrality）的方式度量[10]。

2. 高阶网络中的同步现象

同步现象对应于，一个相互作用的动力学系统将其运动的某些性质调整为一个共同的动力学过程，相互作用模式对同步的出现起着决定性作用。同步被认为是复杂网络动力学理论中的一个重要现象，在物理、生物和技术系统中有着重要的应用。

关于同步的一些重要发现：

1. 对于包含三主体的互作，已证明在互作强度超过临界强度后，在一个相位振荡器网络中，可以产生无限多个稳定同步吸引子[11]。

2. 由于存在无数个稳定的部分均衡态（partial stable point），在三主体系统能够观察到连续突变的去同步现象。

3. 高阶网络中简单复形的互作，能够带来突发的同步和去同步现象，能够在存在两两互斥的相互作用下，使强同步的系统稳定，该现象已在英国电网和恒河猴大脑网络中被证实[12]。

4. 通过一个适合任意阶的高阶网络，存在一个一般的框架，可使网络中的同步现象稳定下来[13]，该研究论证了完全的同步可以是一个不变解，并提供了同步解存在的必要条件。

除此之外，基于藏本模型（Kuramoto model）的耦合振子在高阶网络上的同步行为，该研究也有涉及，感兴趣的读者可阅读原文。

3. 高阶网络建模社会网络动力学

各类社会过程一直是复杂科学研究的一个主要领域，包括观点、文化和语言动态到群体行为、层级制的形成、人类动态、合作演变和社会传播等一系列情景，都在相当大的程度上受到社会网络中人际互动的影响，由此引导研究者们从数学的角度来探索网络动力学。为此，网络科学应运而生，发挥了最重要的作用。

在过去十年中，已有很多研究者从不同角度研究社交网络中的动力学。长期以来，研究团体一直对个体之间的相互作用感兴趣，这种相互作用导致了不同的涌现行为。然而，正如 Castellano 等人[14]和 Malmgren 等人[15]的评论所指出的，从网络动力学的角度来看，需要用比以前更复杂的方法来捕捉真实社会传染现象的重要方面。

3.1 高阶网络中的传染过程

参考相关百科：复杂传染：信息和疾病如何在复杂网络中传播？| 集智百科

关键发现：

1. 在SIS（易感-感染-易感）和SIR（易感-感染-恢复）模型中，当存在高阶互作时，流行病的传播阈值和流行程度与不存在高阶互作时不同。[16]

2. 基于单纯复形模型，可证明并通过数值模拟说明，存在连续和非连续的突变，可以在双稳定点之间切换，且存在迟滞效应（hysteresis）[17]。

3. 在超图上的SIS模型中，当度数相关性满足特定条件时，三元组互作的节点度数非均一分布，可以抑制一阶突变的发生[18]。

4. 对于发生在办公室和家庭这样涉及多人、具有异质性的时序传播动力学，可采用高阶网络建模，能捕捉之前被忽略的问题[19]。

3.2 高阶网络中的共识形成

关键发现：

1. 在高阶网络（三体系统）中，只有当存在非线性相互作用的时候，多体系统才能有效地形成共识。由于引入了非线性函数，涌现的动力学导致了系统状态发生远离平均态度的偏移。[20]

2. 在超图上的有限信心模型中，会出现个体的意见由一个聚簇突然跳跃到另一个聚簇的观念跳跃，这在只考虑三元互作时是不会出现的。[21]

3. 对于存在社区结构（community structure）的超图，网络演化会导致回音室的出现。相比连接数较少的超边，连接数更多的超边对共识形成有决定性意义[22]。

4. 在一个通过单纯复形建模高阶互作的自适应的选举者模型中，同伴压力会加速单一观点状态和两种观点状态间的转换，这种加速是双向的。[23]

3.3 高阶网络上的演化博弈

在包括微生物和人类社会在内的各种实际系统中都可以观察到合作行为，个体为了相互利益在群体中共同发挥作用。在探索受群体相互作用影响的种群中的演化博弈动力学中，高阶相互作用不同于成对相互作用导致的收益之和，即一个人在高阶相互作用中的收益，会由于非线性导致不同的动力学过程[24]。

关键发现：

1. 更大的群体规模，有助于保持二元互动网络中的合作，而这是在只考虑三元相互作用时无法维持的。[24] 

2. 受高阶结构影响的人群中的信号传递游戏，在发送者-接收者游戏中诚实度的动态演化，会呈现一种不同形式的战略互动，即使存在说谎的诱惑，诚实的策略依然可以维持，这不同于二元互作单独存在的场景。此外，高阶互作的存在，使得即使当谎言对接受者有利时，由于发送者要付出代价，使得道德策略依然可以维持[25]。

3. 在诸如囚徒困境这样的博弈中，1阶和2阶单纯复形组成的网络，会呈现不同的纳什均衡点，这意味着多人博弈会导致非优势策略的出现及其与优势策略的共存，此外，该研究还关注高阶互作存在时，从欺骗占主导的策略到合作占主导的策略之间的转变[26]。 

4. 在度数均匀的高阶网络中的演化博弈，当超边间的关联是固定的时候，等价于在一个完全混合的群体中的博弈。不同阶数和度数分布异质性对演化博弈结果特征的影响也得到了进一步研究[27]。

4. 总结与展望

该综述除了探讨高阶互作存在时的同步，社交网络中的动力学，还探讨了高阶互作存在时的随机游走和扩散（可阅读原文第五部分）。总结来看，尽管当前在分析高阶相互作用对动力学过程的影响方面取得了一些重大进展，以下研究路线仍然值得关注：

一是时序高阶网络（temporal higher-order networks），研究方向包括结构变化，时变高阶网络动力学，这同样适用于相互依存的网络框架，特别是多层/多路结构以及高阶相互作用，对这些结构造成的影响，是一个有前景的研究方向。

另一个方向是包含嵌合体（chimera）的高阶网络，目前对此缺乏研究，而有研究表明其与多神经元的发育是相似的[28]。

第三个可能的研究方向，是高阶网络中由于节点自适应性导致的复杂性增加所引起的动力学分析。

参考文献

1. Giusti C, Ghrist R, Bassett DS. 2016 Two’s company, three (or more) is a simplex.J. Comput. Neurosci. 41, 1-14.

2.  Petri G, Expert P, Turkheimer F, Carhart-Harris R, Nutt D, Hellyer PJ, Vaccarino F. 2014 Homological scaffolds of brain functional networks. J. R. Soc. Interface 11, 20140873

3. Bianconi G. 2021 Higher-order networks. Cambridge, UK: Cambridge University Press

4. Benson AR, Gleich DF, Leskovec J. 2016 Higher-order organization of complex networks. Science

5. Levine JM, Bascompte J, Adler PB, Allesina S. 2017 Beyond pairwise mechanisms of species coexistence in complex communities. Nature

6. Grilli J, Barabás G, Michalska-Smith MJ, Allesina S. 2017 Higher-order interactions stabilize dynamics in competitive network models. Nature 

7. Sharma G, Challa A, Gupta P, Murty MN. 2021 Higher-order relations skew link prediction in graphs.

8. Beentjes SV, Khamseh A. 2020 Higher-order interactions in statistical physics and machine learning: a model-independent solution to the inverse problem at equilibrium. Phys. Rev. E 

9. Sarker A, Seby J-B, Benson AR, Jadbabaie A. 2021 Higher order information identifies tie strength.

10. Kovalenko Ket al.2021 Vector centrality in networks with higher-order interactions.

11. Tanaka T, Aoyagi T. 2011 Multistable attractors in a network of phase oscillators with three-body interactions. Phys. Rev. Lett. 

12. Skardal PS, Arenas A. 2020 Higher order interactions in complex networks of phase oscillators promote abrupt synchronization switching. Commun. Phys

13. Gambuzza LV, Di Patti F, Gallo L, Lepri S, Romance M, Criado R, Frasca M, Latora V, Boccaletti S. 2021 Stability of synchronization in simplicial complexes. Nat. Commun. 

14. Castellano C, Fortunato S, Loreto V. 2009Statistical physics of social dynamics. Rev. Mod. Phys.

15. Malmgren RD, Stouffer DB, Campanharo AS, Amaral LAN. 2009On universality in human correspondence activity. Science

16. Ritchie M, Berthouze L, House T, Kiss IZ. 2014Higher-order structure and epidemic dynamics in clustered networks. J. Theor. Biol. 348, 21-32

17. Iacopini I, Petri G, Barrat A, Latora V. 2019Simplicial models of social contagion. Nat. Commun. 10, 2485. 

18. Landry NW, Restrepo JG. 2020The effect of heterogeneity on hypergraph contagion models. Chaos 30, 103117. 

19. St-Onge G, Sun H, Allard A, Hébert-Dufresne L, Bianconi G. 2021Universal nonlinear infection kernel from heterogeneous exposure on higher-order networks. Phys. Rev. Lett. 127, 158301.

20. Neuhäuser L, Mellor A, Lambiotte R. 2020Multibody interactions and nonlinear consensus dynamics on networked systems. Phys. Rev. E 101, 032310

21. Sahasrabuddhe R, Neuhäuser L, Lambiotte R. 2021Modelling non-linear consensus dynamics on hypergraphs. J. Phys. Complex. 2, 025006

22. Hickok A, Kureh Y, Brooks HZ, Feng M, Porter MA. 2021A bounded-confidence model of opinion dynamics on hypergraphs.

23. Horstmeyer L, Kuehn C. 2020Adaptive voter model on simplicial complexes. Phys. Rev. E 101, 022305.

24. Perc M, Gómez-Gardenes J, Szolnoki A, Floría LM, Moreno Y. 2013Evolutionary dynamics of group interactions on structured populations: a review. J. R. Soc. Interface 10, 20120997. 

25. Kumar A, Chowdhary S, Capraro V, Perc M. 2021Evolution of honesty in higher-order social networks. Phys. Rev. E 104, 054308

26. Guo H, Jia D, Sendiña-Nadal I, Zhang M, Wang Z, Li X, Alfaro-Bittner K, Moreno Y, Boccaletti S. 2021Evolutionary games on simplicial complexes. Chaos Solitons Fract 150, 111103.

27. Alvarez-Rodriguez U, Battiston F, de Arruda GF, Moreno Y, Perc M, Latora V. 2021Evolutionary dynamics of higher-order interactions in social networks. Nat. Hum. Behav. 5, 586-595.

28. Majhi S, Bera BK, Ghosh D, Perc M. 2019Chimera states in neuronal networks: a review. Phys. Life Rev. 28, 100-121.

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高阶网络读书会启动

随着对现实世界的探索不断深入，人们发现在许多真实的复杂系统中，组成系统的个体之间不仅存在二元交互关系，也广泛存在多个体同时（或以特定顺序）进行交互，即高阶交互现象。为此，研究人员分别发展出了基于超图、单纯复形、依赖关系等的网络高阶表示模型，为复杂网络分析和研究提供了新的思路。为了促进此领域的交流与合作，我们发起了【高阶网络读书会】。

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