【抛物线压轴题】相似三角形存在性

老杨和数学的故事搜索

2017—2018学年度第一学期期末调研九年级数学试题 · 第23题

相似三角形存在性

如图，二次函数y=－x²+bx+c的图象与x轴交于点A（-1，0），B（2，0），与y轴相交于点C．

（1）求二次函数的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC周长最小？若存在，请求出点P的坐标以及△PAC的周长；若不存在请说明理由；

（3）若点M在抛物线上，且在y轴的右侧．⊙M与y轴相切，切点为D．以C，D，M为顶点的三角形与△AOC相似，求点M的坐标．

老杨和数学的故事

此题改编自（2016秋·庆云县期末），原题（2）如下：

（2）若点E是第一象限的抛物线上的一个动点，当四边形ABEC的面积最大时，求点E的坐标，并求出四边形ABEC的最大面积；

       答案生成中，请稍候······

解法指导

（1）       根据题意把点A（-1，0），B（2，0）代入二次函数解析式，得到b和c的二元一次方程组，求出b和c的值即可；

（2）       先确定出点P的位置：最短路径——将军饮马问题。作点A关于对称轴的对称点（即点B），则周长为AC+AP+PC=AC+BP+PC=AC+BC，求出AC、BC的值，即可求出△PAC的最小周长；

∵B(2,0)，C（0，2），用待定系数法确定直线BC的解析式为y=-x+3，再确定抛物线的对称轴为直线x=1/2，所以点P的横坐标为1/2，再利用直线BC的解析式得到P点坐标为（1/2，3/2）．

原题第（2） 问：

设 E（a，－a²+a+2）,0<a<2，且横纵坐标均为正，首先用a和b表示出S四边形ABEC，再结合点E在二次函数的图象上，得到S_{四边形ABEC}=－a²+2a+3，配方即可求得最值；

（3）首先画出图形，先画圆研究切点D的位置，再连接边CM、DM，观察两个三角形△ACO和△DCM的关系。请看动图演示：

考虑到直角顶点是对应的，依据：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。"以C，D，M为顶点的三角形与△AOC相似"，有两种情况，分析如下：

 参考答案 

原题第（2） 问参考答案：

猜你喜欢的文章

……

想了解更多，请查看历史消息。

著作权声明

        本公众号中的微课视频、音频、动画、图文信息等均属原创，著作权属作者The Young所有。可以通过“老杨和数学的故事”微信公众号进行自由转发分享，但严禁用于商业传播和再开发利用。若您对本文有更好的建议，请留言或者直接与作者本人联系。

联系方式： 

        微  信：TheYoungMATH

        Email：[e-mail] 

        Q   Q ： 497030182

        T E L ：133 3378 5850