【数学故事】原来金庸的武侠江湖也有这么多数学故事
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“飞雪连天射白鹿，笑书神侠倚碧鸳”
老爷子一生总共写了15本武侠小说，他是武侠小说的一代宗师，对诸子百家、佛经道藏、诗词歌赋、医卜星象等等都了然于胸，其作品也被认为是中国文化的瑰宝。
除去这些，金庸小说中亦包含了浓厚的数学文化
如《连城诀》中，将宝藏隐藏在一串数字里；
“九阴真经”“独孤九剑”“六脉神剑”这些绝世神功都含有数字9或者6；
《射雕英雄传》，瑛姑研究的算术题……
其实仔细研究，不难发现，数学和文学是相通的，而里面蕴涵的信息之精妙。
现在，我们以《射雕英雄传》瑛姑算算术这一小说情节为例，一起来探讨下，金庸的武侠江湖中的数学故事。
古人是如何开平方的
在《射雕英雄传》之中就有这么一段情节：
黄蓉坐了片刻，精神稍复，见地下那些竹片都是长约四寸，阔约二分，知是计数用的算子。再看那些算子排成商、实、法、借算四行，暗点算子数目，知她正在计算五万五千二百二十五的平方根，这时“商”位上已记算到二百三十，但见那老妇拨弄算子，正待算那第三位数字。黄蓉脱口道：“五！二百三十五！”
那老妇吃了一惊，抬起头来，一双眸子精光闪闪，向黄蓉怒目而视，随即又低头拨弄算子。这一抬头，郭、黄二人见她容色清丽，不过四十左右年纪，想是思虑过度，是以鬓边早见华发。
那女子搬弄了一会，果然算出是“五”，抬头又向黄蓉望了一眼，脸上惊讶的神色迅即消去，又见怒容，似乎是说：“原来是个小姑娘。你不过凑巧猜中，何足为奇？别在这里打扰我的正事。”顺手将“二百三十五”五字记在纸上，又计下一道算题。
这段故事当中，郭靖与黄蓉被铁掌派追杀，郭、黄二人无意中闯到瑛姑的小屋中，正巧撞见瑛姑正在算这样一道开平方的问题。
那么小说当中，宋朝人用来计算平方根的方法是什么呢？我们今天就来介绍一下。
增乘开方法
小说中所提到的这种计算平方根的方法叫做增乘开方法，是由我国古代数学家贾宪在十一世纪中叶所提出来的，其方法与意大利数学家鲁裴尼（P.Ruffini）和英国数学家霍纳（W.G.Horner）所提出来的高次方程数值解法相同，但比他们早了750年。
那么增乘开方法是如何来计算一个数的平方根的呢？
01
举个例子
我们就以小说中瑛姑所计算的求55,225的平方根这个问题为例（为了便于理解我们就直接用阿拉伯数字来表示，就不用算筹啦。
首先我们把55,225放入实这一行
1.由于55,225是一个五位数，因此我们估算商应当是一个三位数，并且由于万位上的数是5，所以估计商的百位数是2（200的平方是40,000，而300的平方是90,000，所以商的百位数一定是2）。
2.令借为1，法的值则为借乘商（1×2）。
3.更新实，使之为原实减去商乘法（5-2×2=1），则新实为1。
4.更新法为商乘借加到旧法上（2+2×1=4）。
5.将法后移一位，借后移两位。
02
再次重复1- 5的循环
1.估算商的十位为3（3×4,000=12,000＜15,225）。
2.更新法，为原法加十位商乘借（4,000+3×100=4,300）。
3.更新实，使之为原实减去商乘法（15,225-4,300×3=2,325），则新实为2325。
4.更新法为商乘借加到旧法上（43+3×1=46）。
5.将法后移一位，借后移两位。
03
再一次重复这五个步骤
1.估算商的个位为5。
2.更新法，为原法加个位商乘借（460+5×1=465）。
3.更新实，使之为原实减去商乘法（2325-465×5=0）。
到这一步我们惊喜的发现，实的值为0了，也就是说我们最后解出来了55,225的平方根为235。
我们可以再验证一下，计算235的平方。
发现235的平方果然是55,225，也就是说我们的计算结果是正确的。
04
增乘开方法的步骤
总结一下，增乘开方法其实一共五个步骤：
估算商；
用商乘借加到法上；
实减去商乘法；
再用商乘借加到法上；
法后移一位，借后移两位。
然后只要不断地循环上述步骤，直到实为0，此时的商就是我们所求的平方根的值啦。虽然步骤比较抽象，但是对照着例子还是比较容易理解的。
如何用增乘开方法开更高次方
上面我们说到，郭靖黄蓉二人误打误撞来到了瑛姑的小屋，看到她正在计算一道开平方的问题，我们继续来看小说后面的案例：
这次是求三千四百零一万二千二百二十四的立方根，她刚将算子排为商、实、方法、廉法、隅、下法六行，算到一个“三”，黄蓉轻轻道：“三百二十四。”那女子“哼”了一声，哪里肯信？布算良久，约一盏茶时分，方始算出，果然是三百二十四。
接下来瑛姑又计算了一道开立方的问题，那么如何来开一个数的立方根呢？其实之前我们所讲的增乘开方法，不只能用来开平方根，还能用来开立方以及更高次方的根。我们接着介绍一下如何用增乘开方法开更高次的平方。
01
小说中的bug
书中所写故事的时代背景是写到成吉思汗去世为止，成吉思汗死于公元1227年，而关于贾宪的增乘开方法的提出时间，所能找到的最早的记载是杨辉的《详解九章算法纂类》，该书写于1261年。
也就是说，瑛姑所用的开平方的方法，如果按照时间关系上来看，所用的应该是时间更早的《九章算术》中的开平方的方法；
但如果根据书中所写的瑛姑把算筹摆成“商、实、法、借”四行的话，就应该用的是贾宪的增乘开方法了。
而瑛姑所用的开立方的方法，将算子摆为六行，又是《九章算术》的方法了，用增乘开方法的话只需要摆成五行就够了。
增乘开方法是贾宪在《九章算术》中开方的方法的基础上，对传统方法进行改进，并推广到了开更高次方的情况，因此，我们还是主要来介绍增乘开方法。
02
先复个习
我们先来复习一下，之前所讲的增乘开方法的五个步骤：估算商；用商乘借加到法上；实减去商乘法；再用商乘借加到法上；法后移一位，借后移两位。
只要不断循环这五个步骤，直到实变为0，所得到的商就是我们的结果啦。
开平方与开立方的方法是类似的，我们介绍完开立方的方法之后，再经过类比，推广出开任意次方的方法。
03
举个例子
接下来我们还是以小说中的这道题为例来计算，为了便于理解，我把每一步计算所变化的数框了起来~
先将被开方数放到实的位置上，并将1置于下法。
将下法的1每次向前移动两格，共移动了三次，说明商应当是一个三位数。
接下来正式开始计算啦~
1.估算商的值为3（3的三次方为27，小于34）。
2.用商乘下法置于廉（3×1=3），再用商乘廉置于方（3×3=9）。
3.实减去商乘方（34-3×9=7）。
4.商乘下法加到廉（3×1+3=6），商乘廉加到方（9+3×6=27）。
再用商乘下法加到廉（3×1+6=9）。
5.将方、廉、下法一次向后退1、2、3格。
然后我们就可以开始下一个循环啦。
1.估计商的十位为2。
2.商乘下法加到廉，商乘廉加到方。
3.实减去商乘方。
4.商乘下法加到廉，商乘廉加到方，商乘下法加到廉。
5.将方、廉、下法一次向后退1、2、3格。
第二个循环结束，开始第三遍啦~
1.估计商的个位为4。
2.商乘下法加到廉，商乘廉加到方。
3.实减去商乘方。
我们惊喜的发现，实变成了0，也就是说，我们所求的34,012,224的立方根就是324啦~
04
开立方的步骤
我们总结一下，开立方其实也是五个步骤：
估算商；
商乘下法加到廉，商乘廉加到方；
实减去商乘方；
商乘下法加到廉，商乘廉加到方，商乘下法加到廉；
将方、廉、下法一次向后退1、2、3格。
和开平方的步骤一样，接下来只要不断地循环以上步骤，直到实为0，此时的商便是所求的根啦~
05
推广到开任意次方的步骤
我们先把开平方和开立方的步骤放到一起来对比一下。
从这个表格中我们能够非常容易的找到规律，从而总结出用增乘开方法开任意正整数次方的方法。
假设我们要求一个数的n次方（n为正整数），那么我们共需要写出n+2行，前两行分别是商和实，其余的n行我们用N1、N2、···、Nn来表示。
将被开方数放入实这一行，在Nn上的最后一格放上一个1，将Nn上的1向左移动，每次移动n-1格，在下一次移动便会超出实的时候停止，此时1移动的次数便是商的位数。
接下来，我们就可以开始进行五个步骤循环的计算啦~
1.估算商。估计出一个商的第一位数的值，设它为a1，a1的n次方应当小于1上面的实的值，而a1+1的n次方是大于它的。
2.依次从下到上填入数字，Nn中已经填入了1，接下来
Nn-1=a1×1
Nn-2=a1×Nn-1
……
N1=a1×N2
3.更新实。新的实=原实-N1×a1
4.更新从N1到Nn。
第1轮：
Nn-1=a1×1+Nn-1
Nn-2=a1×Nn-1+Nn-2
……
N1=a1×N2
第2轮：
Nn-1=a1×1+Nn-1
Nn-2=a1×Nn-1+Nn-2
……
N2=a1×N3
如此不断循环下去，一直重复到第n-2轮，只剩下一步，Nn-2=a1×Nn-1+Nn-2为止。
5.将从N1到Nn上的数依次向后移动1、2、3、...n个格。
接下来只要重复上述几个步骤，直至实变为0为止。
如果是无法开出整数的情况的话，实便永远除不尽，便可以不断地重复上述步骤，得到后面无穷无尽的小数啦。
幻方、九宫八卦与河图洛书
接下来我们继续来看小说中的内容，情节并没有任何进展，郭黄二人还在瑛姑的小屋中，黄蓉和瑛姑开始讨论关于幻方的内容
说是讨论，其实是学霸黄蓉对学渣瑛姑的碾压
首先是瑛姑给黄蓉出了一道三阶幻方的问题，被黄蓉嘲笑说你这题太小儿科我根本不放在眼里，原文如下：
那女子沮丧失色，身子摇了几摇，突然一交跌在细沙之中，双手捧头，苦苦思索，过了一会，忽然抬起头来，脸有喜色，道：“你的算法自然精我百倍，可是我问你：将一至九这九个数字排成三列，不论纵横斜角，每三字相加都是十五，如何排法？”
黄蓉心想：“我爹爹经营桃花岛，五行生克之变，何等精奥？这九宫之法是桃花岛阵图的根基，岂有不知之理？”当下低声诵道：“九宫之义，法以灵龟，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。”边说边画，在沙上画了一个九宫之图。那女子面如死灰，叹道：“只道这是我独创的秘法，原来早有歌诀传世。”
那我们就来看一下瑛姑出的这道九宫图。
01
九宫图（三阶幻方）
瑛姑所出的题目呢其实就是，将1~9这9个数填入下面的三乘三的表格中，使得横、竖、斜相加之和都是十五。
可能很多同学觉得这个太简单了，我小学的时候就会做了，确实这个问题难度不大，不过黄蓉所说的口诀还是蛮有意思的，我们来看一下：
九宫之义，法以灵龟，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居央。
啥意思咧，意思是将这个九宫图当成一个龟，2和4放在龟的肩膀上，6和8放在龟的脚上，左边是3，右边是7，头上是9，尾巴是1，5在中间。
需要注意的是，古代写字是从右往左写的，所以“二四为肩，六八为足”也是要按照从右往左写的顺序来的。
我们按照口诀来画到龟龟上，就是这样了：
把它整理到表格上：
其实这个图形，就是我们古代所说的洛书，就是封面图的这个样子：
这个图中小圆圈的数量就分别代表了所对应的数字；
据传说，有神龟从洛水中出现，背上驮着的就是洛书，伏羲氏得到它据此画出了八卦（河出图，洛出书，圣人则之。）
下面这个图就是神龟背上驮着洛书的样子：
02
四四图（四阶幻方）
接下来，黄蓉又继续往下介绍了关于幻方的内容：
那女子面如死灰，叹道：“只道这是我独创的秘法，原来早有歌诀传世。”黄蓉笑道：“不但九宫，即使四四图，五五图，以至百子图，亦不足为奇。就说四四图罢，以十六字依次作四行排列，先以四角对换，一换十六，四换十三，后以内四角对换，六换十一，七换十。这般横直上下斜角相加，皆是三十四。”那女子依法而画，果然丝毫不错。
我们来按照黄蓉所说的方法来填一下：
首先把数字从一到十六顺次放入表格中，
接下来将四个角分别对换位置：
再将里面的四个角互相交换位置：
这样我们所得到的幻方的横、竖、斜相加都是34啦~
03
九宫八卦图
说完这些，黄蓉又继续介绍：
黄蓉道：“那九宫每宫又可化为一个八卦，八九七十二数，以从一至七十二之数，环绕九宫成圈，每圈八字，交界之处又有四圈，一共一十三圈，每圈数字相加，均为二百九十二。这洛书之图变化神妙如此，谅你也不知晓。”举手之间，又将七十二数的九宫八卦图在沙上画了出来。
这个九宫八卦图看起来有点难，其实呢只需要圈内的数字相加起来相等就好了，并不需要横、竖、斜相加相等，所以也不是很难啦~
这一题小说里没有说如何来解，那我们就一起来解解看好了。
先按照书中所说的内容把图画出来：
如图所示，八个数围成一个圈，九宫格的九个圈加上交界处的四个圈一共十三个圈，我们要在这十三个圈中填入72个数，使得每个圈中的数字之和为292。
仔细观察这个图，我们能够发现我们可以把每斜着的两个数看做一组，
这样这个图就可以简化成这样：
只要我们能让这个图中每个中的数字相等，也就是每两个数的和相等，就能够满足题里的要求啦~
想让各组数相等，可就简单的多了， 只需要把从1到72这些数首尾配对、两两一组，即1与72一组，2与71一组，以此类推，再把各组数分别填入就好啦，我们最后得到的答案是这样的：
04
总结一下
这次我们主要介绍了三阶幻方（洛书）、四阶幻方（四四图）以及九宫八卦图这三种幻方。
关于幻方，其实是有着通用的解法的，通常要分为奇数阶、单偶数阶和双偶数阶这三种情况来讨论，不过具体解法比较复杂篇幅有限，我们就以后有机会再来介绍好啦~
参考资料
[1] 金庸. 射雕英雄传[M]. 北京: 生活·读书·新知三联书店, 1994.
[2] 梅荣照. 贾宪的增乘开方法——高次方程数值解的关键一步[J]. 自然科学史研究, 1989, (01):：1-8.
[3] 李兆华. 增乘开方法与贾宪三角形[J]. 中等数学, 1986, (1)： 44-45.
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