九上尖子生培优系列(37) ——期中复习试题选解（3）

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九上期中复习压轴试题选解（3）

如果你想早点突破压轴题，提高数学学习能力，为今后的数学学习打下基础，那你应该从现在开始，每两天思考一道压轴题（争取在15分钟以内考虑清楚，10分钟以内书写完整）！当你能完整做好10道左右的压轴题，你解数学压轴题的感觉就上来了，不知不觉地在解难题的能力上有了重大的突破！

      本系列视频选取近几年的中考压轴题及《2017年福建省中考数学指导意见》中的所有压轴题，每一题均详细视频解析。

　　视频中的部分试题如下：

例：已知：如图，抛物线y=ax²+3ax+c（a＞0）与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3BO．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；

（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【图文解析】

（1）简析：由B（1，0）和OC＝3BO不难得到：C（0，－3），代入原抛物线解析式中，即可得到a=3/4，c=－3，所以抛物线的解析式为：

显然，四边形ABCD面积＝△ABC的面积+△ACD的面积.而△ABC面积是固定的（＝0.5×AB×OC＝0.5×（1+4）×3＝7.5），因此只需求△ACD的面积最大即可.

法一：添加如下图所示的辅助线，

       当x=2时，S_△ACD的面积最大为6，从而四边形ABCD的面积最大值为6+7.5＝13.5（面积单位）.

法二：也可添加如下图的辅助线求△ACD面积的最大值.

       S_△ACD= S_△AOD+ S_△COD－ S_△AOC =0.5OA×｜y_D｜+0.5OC×｜x_D｜－0.5OA×OC＝…，下同.

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       当然，如果学了相似和三角函数本小题就有更多的解法，有兴趣的朋友可参考本公众号的文章“2017年的福建中考倒一”（点击标题可直接打开）中的第2小的解法，这里不再重复说明.

（3）首先要先找出符合条件的点E和点P，可分下列两种情况：

①当AC为平行四边形的一边时，有如下图所示的三种可能：

法一：添加如下图所示的辅助线，

       当x=2时，S_△ACD的面积最大为6，从而四边形ABCD的面积最大值为6+7.5＝13.5（面积单位）.

②当AC为平行四边形的一对角线时，有如下图所示：

       上面4种情况的解法均类似，都可以用“平移”的方法进行求解！下面仅举一种以图解形式说明.如下图示：

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    若设E（m，0），通过平移不难求得P（m－4，3），再将P点坐标，代入抛物线解析，即可得到m的值，进一步就可以P点坐标.

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【反思】若点E在直线BC上，点P在抛物线上．是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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