九下尖子生培优系列(70) ——反比例函数(3)
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【例题】如图,A、B两点都在双曲线y=k1/x上,C、D两点都在双曲线y=k2/x上,AC⊥x轴于E,BD⊥x轴于F,AC=6,BD=9,EF=10,求k2-k1的值.
【图文解析】所求的式子k2-k1的k1和k2均为反比例函数的比例系数,同时题目条件均为线段的长,与之相关的自然想到“反比例函数的比例系数与面积的关系”,为此可添加下列辅助线:
不难得到矩形ACGH和BDPQ的面积均相等,均等于|k1|+|k2|,同时,由图象不难判断出k1<0,k2>0,因此|k1|+|k2|=k2-k1.
若设OE=t,则OF=10-t,则根据:“矩形ACGH和BDPQ的面积相等”可以得到:(如下图示)
6t=9(10-t),解得t=6.
所以k2-k1=|k1|+|k2|=6t=36
(或k2-k1=|k1|+|k2|=9(10-t)=36).
【练习】如图,A、B两点都在双曲线y=k1/x上,C、D两点都在双曲线y=k2/x上,AC⊥y轴于E,BD⊥y轴于F,AC=6,BD=9, k2-k1=54求EF的长 .
【上期答案】
【原题呈现】如图,点A在x轴的正半轴上,点B在第一象限,点C在线段AB上,点D在AB的右侧,△OAB和△BCD都是等腰直角三角形,∠OAB=∠BCD=90°,若函数y=6/x(x>0)的图象经过点D,求△OAB与△BCD的面积之差.
不难得到D(a+b,a-b),代入反比例函数的解析式y=6/x,得(a+b)(a-b)=6,化简,得:a2-b2=6,而△OAB与△BCD的面积之差=0.5a2-0.5b2=0.5(a2-b2)=3.
【解答】∵△OAB和△BCD都是等腰直角三角形,
∴OA=AB,CD=BC.
设OA=a,CD=b,
则点D的坐标为(a+b,a﹣b),
∵反比例函数y=6/x在第一象限的图象经过点D,
∴(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2=6,
∴△OAB与△BCD的面积之差
=0.5a2﹣0.5b2=0.5×6=3.
【点评】用字母表示出反比例函数图象上点D的坐标,根据反比例函数图象上点的坐标应满足函数解析式,从而进一步得到所求的值.
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