2017年湖北孝感中考填空压轴（画板解析）

Original 2017-12-27 福建福州　张丽华 初中数学延伸课堂

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（2017·孝感）如图，在平面直角坐标系中，OA=AB，∠OAB=90°，反比例函数y=k/x（x＞0）的图象经过A，B两点．若点A的坐标为（n，1），则k的值为　　．

【基本思路】对于本题，要求k的值，只要求出点A的坐标即可。

【图文解析】由已知条件∠OAB=90°，很容易想到构造一线三等角这个基本图形，因此，过点A作x轴的平行线，交y轴于点D，过点B作x轴的垂线，两线交于点C，如下图示：

再由OA=AB，且点Ａ坐标为（ｎ，１），可得△OAD≌△ABC，因此BC＝DA＝n，AC＝DO＝1，从而得到点B的坐标为（n+1,1-n）,如下图示；由A、B都在反比例函数y=k/x上，可建立方程n´1=(n+1)(1-n),且n>0,那么n就可以求出了。

【反思】对于已知条件中的直角，我们往往可以过直角顶点作平行于坐标轴的直线，构造一线三等角，得到三角形相似或全等，同样的用法例如：

例1：如图，在Rt△AOB中，O为坐标原点，∠AOB=90°，tanA=2.若点A在反比例函数y=1/x（x＞0）的图象上运动，点B在反比例函数y=k/x（x＞0）的图象上运动，求k的值 .

【分析】同样抓住∠AOB=90°，过点A、B作y轴的垂线，利用一线三等角构造三角形相似，再利用反比例函数中k的几何意义即可求解。如下图示：

例2（2015丽水）:如图，反比例函数y=k/x的图象经过点（-1，-2√2），点A是该图象第一象限分支上的动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，顶点C在第四象限，AC与x轴交于点P，连结BP．当BP平分∠ABC时，点C的坐标是。

【分析】本题中虽然也有∠C=90°，但是点C没有任何已知条件可用，因此不能作为构造一线三等角的条件，那么根据双曲线的中心对称性，抓住点O是等腰直角三角形斜边AB的中点，根据三线合一的性质，连接OC，则可构造出∠AOC=90°，同样的方法，分别过点A、B作y轴的垂线，构造一线三等角，则可解决问题。如下图示：

不仅是反比例函数背景中可以抓住直角构造一线三等角，在其他的几何背景中这个模型也有大量的应用，如已知两个定点，找一个给定条件的动点，“是否存在直角三角形”问题，我们进行分类讨论，当求以动点为直角顶点时，同样也可以过这个给定条件的动点作x轴或y轴的垂线，构造一线三等角。

例3：如图，已知直线y＝kx－6经过点A(1,－4)，与x轴相交于点B．若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．