七上期末复习试题选解——数轴与绝对值（1）
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七上期末复习试题选解——数轴与绝对值（1）
【例题】认真阅读下面的材料，完成有关问题．
材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|=|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|=|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a﹣b|．
（1）点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣2、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为 （用含绝对值的式子表示）．
（2）利用数轴探究：
①找出满足|x﹣3|+|x+1|=6的x的所有值是 ；
②设|x﹣3|+|x+1|=p，当x的值取在不小于﹣1且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是 ；当x的值取在 的范围时，|x|+|x﹣2|取得最小值，这个最小值是 ．
（3）求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|的最小值为 ，此时x的值为 ．
（4）求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|+|x+2|的最小值，求此时x的取值范围．
【解析】
（1）根据阅读材料中的“两点间的距离公式”，可得A到B的距离与A到C的距离可分别表示为|x+2|和|x﹣1|，所以其距离之和为：|x+2|+|x﹣1|.
（2）①根据阅读材料中的“两点间的距离公式”知：－1与3的距离为4，而|x﹣3|+|x+1|=6，所以所求的点在点A或在B点的左边（或在C点的右边）且距离为1个单位，如下图示，
所以满足|x﹣3|+|x+1|=6的x的所有值是﹣2、4.
②根据阅读材料中的“两点间的距离公式”，结合数轴，当点在线段上，可得最小值；所以|x﹣3|+|x+1|=p的最小值是4（即3与－1的距离）；当x的值取在不小于0且不大于2的范围时，|x|+|x﹣2|取得最小值，这个最小值是2（即0与2的距离）.
（3）可将|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|看成（|x﹣3|+|x+1|）与|x﹣2|的和，根据问题（2）中的探究②可知，要使|x﹣3|+|x+1|的值最小，x的值只要取﹣1到3之间（包括﹣1、3）的任意一个数，要使|x﹣2|的值最小，x应取2，显然当x=2时能同时满足要求，因此只需将x=2代入原式计算即可，即当x=2时，原式＝1+0+3＝4.
（4）类似（3）的解析，因|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|+|x+2|=（|x﹣3|+|x+2|）+（|x﹣2|+|x+1|），同样可以根据（2）中分析，要使|x﹣3|+|x+2|的值最小，x的值取﹣2到3之间（包括﹣2、3）的任意一个数；而要使|x﹣2|+|x+1|的值最小，x取﹣1到2之间（包括﹣1、2）的任意一个数，显然当x取﹣1到2之间（包括﹣1、2）的任意一个数能同时满足要求，不妨取x=0代入原式，得|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|+|x+2|=3+2+1+2=8.
（本题若用分类讨论思想去解，则相当较麻烦，这里略去，大家可以参考本公众号之前的文章“适合三个年级上学期的尖子生培优系列（5）”（点击标题直接打开）中的初一组试题.
【反思】理解绝对值的几何意义是关键．结合数轴求两点之间的距离，形象直观，渗透数形结合的思想．
【练习】结合数轴与绝对值的知识解下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；表示﹣3和2两点之间的距离是 ；数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 ．如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a=．
（2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，求|a+4|+|a﹣2|的值；
（3）当数a的点在图1什么位置时，|a+5|+|a﹣2|的值最小，最小值是多少？
（4）有理数a、b、c在数轴上对应的位置如图．试化简：|b﹣a|﹣|b﹣c|+|a+b|+|a﹣b|．
【解】（1）a=﹣5或1；（2）6；（3）当数a的点在图1的﹣5与2之间位置时，|a+5|+|a﹣2|的值最小，最小值是2﹣（﹣5）=7；（4）依题意有b﹣a＜0，b﹣c＞0，a+b＞0，a﹣b＞0，
则|b﹣a|﹣|b﹣c|+|a+b|+|a﹣b|=﹣b+a﹣b+c+a+b+a﹣b=3a﹣2b+c．
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