九上期末质检复习系列——纯函数系列（3）

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【试题】在平面直角坐标系中，抛物线y=x²+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．

（1）当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；

（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；

（3）抛物线y=x²+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折得到与原抛物线剩余的部分组成如图所示的图形，若直线y=kx+1与这个图形只有两个公共点，请求出此时k的取值范围．

【图文解析】

（1）简析：当k=1时，抛物线的解析式为y=x²﹣1，直线的解析式为y=x+1，联立两解析式，解之，即可得到：A（﹣1，0），B（2，3）.

（2）（解法多种，仅提供最常用且快速的一种，有兴趣的朋友可打开本公众号中的2017年中考福建倒一的第3小题中的解法），过点P作PF∥y轴交AB于F，如下图示：

若设P（x，x²﹣1），则F（x，x+1），

PF=y_F﹣y_P=(x+1)﹣(x²﹣1)

　=﹣x²+x+2，

S_△ABP=S_△PFA+S_△PFB

      =0.5PF(x_F﹣x_A)+0.5PF(x_B﹣x_F)

=0.5PF(x_B﹣x_A)=1.5PF

      =1.5(﹣x²+x+2)

      =﹣1.5(x﹣0.5)²+27/8

∵当x=0.5时，y_P=0.5²﹣1=﹣3/4，

∴△ABP面积的最大值为27/8，

此时点P的坐标（1/2，﹣3/4）.

（3）画出符合条件的草图如下图示，将图形折叠，显然应先求出直线与翻折后的抛物线只有一个公共点的情况，再结合k＞0，即可求出k的取值范围．

先求出原抛物线与x轴的交点C、D坐标.由x²+（k﹣1）x﹣k=0得：（x+k）（x﹣1）=0，解得x=﹣k，或x=1，所以C（﹣k，0），D（1，0）.

      翻折后的抛物线与原抛物线关于x轴对称，所以翻折后的抛物线解析式为y=﹣x²﹣（k﹣1）x+k（可先求出翻折后的顶点坐标，也要直接用－y代替原解析式的y，再化简即可）.

      可先求出两种极端情况（即有三个公共点的情况），如下图示：

      联立直线y=kx+1和翻折后的抛物线解析式，得kx+1=﹣x²﹣(k﹣1)x+k，即x²+（2k﹣1）x+1﹣k=0，由△=（2k﹣1）²﹣4（1﹣k）=0得：

      当直线y=kx+1经过点C（﹣k，0）时，k=1，

【反思】画出符合条件的图形图象，再结合图象（数形结合），是解此类问题的关键．

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