2018年九下质检系列——福建晋江倒一题
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（2018·福建晋江九下质检）已知经过原点的抛物线y=ax2+bx与x轴的正凟交于点A，点P是抛物线在第一象限上的一个支点.
（1）如图1，若a=1，点P的坐标为（5/2，5/4），
①求b的值；②若点Q是y轴上的一点，且满足∠QPO＝∠POA，求点Q的坐标；
（2）如图2，过点P的直线BC分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点B、C，过点C作CD⊥x轴交射线OP于点D，设点P的纵坐标为yP，若OB·CD＝6，试求yP的最大值.
【图文解析】
（1）①直接代入，即可求得，答案为：b=2.相应的解析式为：y=x2－2x.
②画出符合题意的图是解决问题的第一步，也是重中之重，本题的图不难画出，但要注意两种情况，如下图示：
第一种情况显然Q（0，5/4）；
第二种情况可以直接求解，也可以借助第一种情况求解.
法一：先求PQ2与x轴交点坐标E，再求出直线PQ2的解析式，最后再求出Q2坐标，如下图示：
可得E（25/16，0），进一步得到直角PE的解析式为y=4/3x－25/12，从而得到Q（0，－25/12）.
法二：利用角平分线的对称性，如下图示，
（3）如下图示，
由于抛物线是不确定的，题中所叙述的P点其实与抛物线无关，也就只是说符合条件OB×CD＝6的P点，均能找到a、b使抛物线y=ax2+bx过P点且满足题中条件.（如下动态图演示）
因此本题可以撇开抛物线来解决。如下图示：
由此得到要求yP的最大值，就是求1/yP（不妨设为s）的最小值.即问题转化为“求函数s=1/t+t/6（其中t>0）的最小值”，其根据就是反比例函数的性质.下面通过两种方法求其最小值：
（与“2017年福建省中考的倒一题”解法类似，有兴趣的朋友可直接点击标题打开阅读）.
法一：（完全平方式法——利用平方的非负性，其实就是高中的“均值不等式”法）
法二：判别式法（与“判别式的妙用”思路完全相同，有兴趣的朋友可以直接点击标题打开阅读）
将等式s=1/t+t/6进行去分母，可得：6st=6+t2，整理成关于s的一元二次方程，得：t2－6st+6＝0，由于t>0，所以关于t显然有实数根，因此有△＝(－6s)2－4×1×6＝36s2－24≥0，即s2≥2/3，由于s＞0，所以s≥√6/3.……
【点评】第3小题的解题思路与2017年福建中考的解法类似，计算相对会容易些。在这样的几何基本图形的背景下，融入反比例函数的相关知识和最值问题，富有内涵，虽然本题似乎几何味道更浓些，但这可能与倒二也含有函数背景有关.
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