中考复习冲刺系列——纯代（函）数压轴选解（9）
声明：“初中数学延伸课堂”的所有文章，版权所有。欢迎并感谢朋友们分享和转发，但未经许可，不得在任何公共场合使用、开发及转载，违者必究！
(因手机出现问题，作者名填写错误，“张祖冬”成了“张祖”，好纠结，只能等平台什么时候能更改了)
建议阅读：
（如同“百度”查找）
几何画板教学视频免费教程（622分钟）：关注公众号（扫描上述二维码）后，输入“1”就可得到学习地址（需手机注册——免费）.至2018.6.7日止，观看情况如下：
（已超过10000小时的播放量.若您已在学习中，记得给个评价.本人开设的QQ现场直播群(178733124)正在进行中。如果您觉得会给您的教与学带来益处，请将本公众号分享.）
【试题】已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2(a>0)相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，直线与y轴正半轴相交于点C.
(1)若B(t，a),求t的值；
(2)在(1)的条件下，直线y=kx+b交x轴的正半轴于点D，当b=2a时，是否存在a使得∠OBD=600成立？如果成立，请求出a的值；如果不成立，说明理由；
(3)过点A作AE⊥x轴，垂足为E，延长AE，BO相交于点F，连接CF，求证：直线CF必过线段OE的中点.
——试题来自一网友咨询上传
【图文解析】
【分析】题干中不可忽略的条件：a>0；因直线与抛物线有两交点，所以两解析式联立，必有两个解(△>0)；点C(0，b)在y轴的正半轴，b>0；当然A、B均符合抛物线的解析式.
(1)简析：当点B(t，a)代入抛物线解析式，得：a=at2,因a>0，所以t2=1，解得t=1或-1，因点B在右侧,则t>0，所以t=1.
(2)当t=1时，B(1，a)，代入直线解析式y=kx+b，可得k+b=a，得k=a-b，又b=2a，所以有k=a-2a=-a，得直线的解析式为y=-ax+2a=-a(x+2)，当x=-2时，y=0由此可得到:直线一定经过(2，0)即题中的D.下面画出符合条件的图(这是解题的关键)，如下图示：
由B(1，a)和D(2，0)可知，O与D关于直线BM对称，所以OB=BD.当∠OBD=600时，△OBD是等边三角形，得到∠BOM=600，OB=OD=xD=2，所以a=BM=OBsin∠BOM=2sin600
=√3.即存在这样的a，满足条件.
(3)根据题意，画出符合条件的图，其中直线y=kx+b点相当于绕定点C(0，a)旋转，且与y轴正半轴于C点.
法一：设B(t,at2)，如下图示：
由于B(t，at2)，可得直线y=kx+b可改写为y=k(x-t)+at2(这种思路,类似于抛物线的顶点式，也就是高中的“点斜式”，本公众号刚开通时，就已经写过这样的文章，其中2017年福建九下质检和2017年中考压轴解析时用的最多，同时还有过专门的动画演示文章(2017.4.4的文章——动态演示函数图象的平移与函数解析式的关系)(可直接点标题打开)，之后也经常应用(本公众号文章中至少可以找到10篇以上!)，当x=0时，y=b=-kt+at2，所以C(0，-kt+at2)，不难求得：直线OB为y=atx.
另一方面由抛物线解析式y=ax2与直线解析式y=k(x-t)+at2联立，得：
ax2= k(x-t)+at2，移项并因式分解，得a(x+t)(x-t)-k(x-t)=0，即：
(x-t)[a(x+t)–k]=0,
解得x1=t，x2=-t+k/a
所以xA=-t+k/a=xF
又F点在直线OB(y=atx)上，所以yF=at(-t+k/a)=-at2+kt，同时由C(0，-kt+at2)得xC=-kt+at2，所以OC=EF.
如下图示，由OC=EF及已知条件不难得到△ONC≌△ENF，得到ON=EN，因此直线CF必过线段OE的中点.(或连接CE，由OC=EF且OC∥EF可得四边形CEFO是平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分，即可得到所要的结论).
法二：设A(m，am2)，B(n，an2)，则直线OB为y=anx，当x=m，y=amn，xF=amn.
另一方面，由直线y=kx+b和抛物线y=ax2的解析式联立，得：ax2-kx-b=0，由根与系数的关系，可得mn=-b/a，所以amn=-b,因此xF=-b，所以OC=EF，……(下同)
【反思】上述两种证法各有千秋，计算量均不大，但第一种解法更通用，而且还可详细求得点A的坐标(不是偶然，是必然的结果，即中间的计算必能因式分解)，后续拓展或延伸的空间更大，第二种解法用到了“根与系数的关系“，解法有所局限性。大胆训练”含参“计算，不胆计算能力能得到有效训练，而且对后续的高中学习显然更有帮助，万不可望而却步.
特别说明：进入公众号，回复“1,2,3…14,888”中的任意一个”数“，可查找到相应资料.
强烈推荐：
《顶尖中考微专题》例、习题视频讲解(共1487分钟)—与书配套视频
(因手机出现问题，作者名填写错误，“张祖冬”成了“张祖”，好纠结，只能等平台什么时候能更改了)