《反比例函数》培优文章系列汇总2019.12.10

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反比例函数(1)——反比例函数的概念

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【例2】将x=2/3代入函数y=-1/x中，所得函数值记为y₁，又将x=y₁+1代入函数y=-1/x中，所得的函数值记为y₂，再将x=y₂+1代入函数y=-1/x中，所得函数值记为y₃…，继续下去.y₁=　　;y₂=　;y₃=　　;y₂₀₁₈=　　.
【分析】根据数量关系分别求出y₁，y₂，y₃，y₄，…，不难发现，每3次计算为一个循环组依次循环，用2018除以3，根据商和余数的情况确定y₂₀₁₈的值即可．【解】y₁=-3/2；y₂=2；y₃=-1/3；y₄=-3/2，……，∴每3次计算为一个循环组依次循环，∵2006÷3=668余2，∴y₂₀₁₈为第672循环组的第2次计算，与y₂的值相同.∴y₂₀₀₆=2.【例3】已知函数y=2y₁﹣y₂，y₁与x+1成正比例，y₂与x成反比例，当x=1时，y=4，当x=2时，y=3，求y与x的函数关系式．【分析】根据正比例函数和反比例函数的定义设y₁，y₂的关系式，将所给两组解代入即可得到相应的比例系数，进一步得到所求的关系式．【解答】依题意，可设：y₁=k₁（x+1），y₂= k₂/x．∵y=2y₁﹣y₂，∴y=2k₁（x+1）- k₂/x．【练习】已知y=y₁+y₂，y₁与（x﹣1）成正比例，y₂与（x+1）成反比例，当x=0时，y=﹣3，当x=1时，y=﹣1．（1）求y的表达式；（2）求当x=-1/2时y的值．【解答】（1）依题意，可设：y₁=k₁（x﹣1），y₂=k₂/(x+1)．所以y=y₁+y₂₌ k₁（x﹣1）+ k₂/(x+1)将x=0，y=﹣3及x=1，y=﹣1代入，得∴y=x﹣1－2/(x+1)．
（2）当x=-1/2时， y=x﹣1﹣2/（-1/2+1）=﹣11/2．反比例函数(2)——反比例函数的图象(双曲线的平移)

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反比例函数（3） 
——反比例函数图象与几何综合

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【反思】充分利用等腰直角三角形的性质，结合直角坐标系和反比例函数图象上点的性质解题.

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反比例函数(4)——反比例函数的图象与性质（1）【例1】已知反比例函数y=(k-1)/x（k为常数，k≠1）．（1）若点A（1，2）在这个函数的图象上，求k的值；（2）若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围；（3）若k=13，试判断点B（3，4），C（2，5）是否在这个函数的图象上，并说明理由．【分析】本例是务必掌握的基础题，可直接根据反比例函数的定义和性质，结合图象分析解答．【解答】（1）依题意，得k﹣1=1×2，解得k=3；（2）依题意，得k﹣1＜0，解得k＜1；（3）当k=13时，反比例函数的解析式为y=12/x．将点B的坐标代入y=12/x，可知点B的坐标满足函数关系式，∴点B在函数y=12/x的图象上，将点C的坐标代入y=12/x，由5≠12/2，可知点C的坐标不满足函数关系式，∴点C不在函数y=12/x的图象上．【例2】解下列各题：（1）求出当2≤x≤4时，函数y=2/x的最大值和最小值；（2）若y=2/x的值不大于2，求符合条件的x的范围；（3）若y=k/x，当a≤x≤2时既无最大值，又无最小值，求a的取值范围；【分析】(1)结合函数的图象（可画出草图），再通过观察不难得到答案；(2)由当y=2/x=2时，求出x=1，再结合y=2/x的图象，可求得y=2/x≤2时x的取值范围；(3)①当k＞0时，结合图象可得当0＜x≤2时，得到y=k/x无最大值，有最小值k/2，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，得到y≤k/a有最大值k/a，无最小值，②当k＜0时，如图得当0＜x≤2时，y=k/2无最小值，有最大值k/2，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤k/a有最小值k/a，无最大值，【解答】（1）∵y=2/x中k=2＞0，∴在2≤x≤4中，y随x的增大而减小，∴当x=2时，y_最大=1；当x=4时，y_最小=1/2．（2）令y=2/x≤2，结合图象可得x＜0或x≥1．∴符合条件的x的范围为x＜0或x≥1．（3）①当k＞0时，如图得当0＜x≤2时，y= k/2无最大值，有最小值k/2，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤k/a有最大值k/a，无最小值；②当k＜0时，如图得当0＜x≤2时，y= k/2无最小值，有最大值k/2，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤k/a有最小值k/a，无最大值，∴当k＜0，a＜0时，此时，y= k/x既无最大值，又无最小值．综上所述，a的取值范围是a＜0；【解析】（1）由分母不为0可得自变量x的取值范围是x≠0；（2）由x≠0排除A，由y==x+9/x＝(x²+9)/x且x²+9＞0知:当x＜0时y＜0；当x＞0时y＞0可得，符合题意得函数图象为C选项；（3）可通过配方，得到：∵x＞0，反比例函数(5)——反比例函数的图象与性质（2）【例1】已知反比例函数y=k/x，其中k＞-2，且k≠0，1≤x≤2．（1）若y随x的增大而增大，则k的取值范围是　   　；（2）若该函数的最大值与最小值的差是1，求k的值．【分析】（1）根据图象结合反比例函数的性质即可得出k＜0，又因k>-2；（2）分“增大而增大”或“增大而减小”两种情况讨论，根据”最大值与最小值的差是1”可得关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解】(1)∵y随x的增大而增大，∴k＜0，∵k＞﹣2，且k≠0，∴﹣2＜k＜0．(2)当﹣2＜k＜0时，在1≤x≤2范围内，y随x的增大而增大，∴k/2-k=1，解得k=﹣2，不合题意，舍去；当k＞0时，在1≤x≤2范围内，y随x的增大而减小，∴k/2-k=1，解得k=2．综上所述， k的值为2．【例2】有这样一个问题：探究方程x³﹣x﹣2=0的实数根的个数．小芳想起了曾经解决的一个问题：通过函数图象探究方程x²+3x﹣1=0的实数根的个数，她想到了如下的几个方法：方法1：方程x²+3x﹣1=0的根可以看作是抛物线y=x²+3x﹣1与直线y=0（即x轴）交点的横坐标；这两个图象的交点个数即是方程x²+3x﹣1=0的实数根的个数．方法2：将方程变形成x²=﹣3x+1，那么方程x²+3x﹣1=0的根也可以看作是抛物线y=x²与直线y=﹣3x+1交点的横坐标；这两个图象的交点个数即是方程x²+3x﹣1=0的实数根的个数．方法3：由于x≠0，将方程变形成x+3=，那么方程x²+3x﹣1=0的根也可以看作是直线y=x+3与双曲线y=交点的横坐标；这两个图象的交点个数即是方程x²+3x﹣1=0的实数根的个数．她类比上述方法，借助函数图象的交点个数对方程x³﹣x﹣2=0的实数根的个数进行了探究．下面是小芳的探究过程，请补充完成：（1）x=0　　方程x³﹣x﹣2=0的根；（填”是”或”不是”）（2）方程x³﹣x﹣2=0的根可以看作是函数　　与函数　　的图象交点的横坐标；（3）在同一坐标系中画出两个函数的图象；（4）观察图象可得，方程x³﹣x﹣2=0的实数根的个数是　　个．【解析】（1）将x=0代入x³﹣x﹣2中，可知x=0不是方程x³﹣x﹣2=0的根；（2）方程两边都除以x，可得x²﹣1=2/x（x≠0），因此方程x³﹣x﹣2=0的根可以看作是函数y=x²﹣1与函数y=2/x的图象交点的横坐标；（3）用描点法，在同一坐标系中，画出函数y=x²﹣1与函数y=2/x的图象，如下图示：（4）根据两函数图象交点的个数，即可找出方程解得个数．通过观察图象知，函数y=x²﹣1与函数y=2/x的图象只有一个交点，所以方程x³﹣x﹣2=0的实数根的个数是1个．反比例函数(6)——反比例函数的图象与性质（3）【例题】已知：A（a，y₁）．B（2a，y₂）是反比例函数y＝k/x（k＞0）图象上的两点．（1）比较y₁与y₂的大小关系；（2）若A、B两点在一次函数y=4/3x+b第一象限的图象上（如图所示），分别过A、B两点作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，且S_△OAB=8，求a的值；（3）在（2）的条件下，如果3m=﹣4x+24，3n=32/x，求使得m＞n的x的取值范围．【图文解析】
（1）先根据反比例函数的解析式判断出函数的图象所在的象限，再根据函数的增减性及a的符号讨论y₁与y₂的大小；或
根据图象，不难得到：当a＞0时，y₁＞y₂，当a＜0时，y₁＜y₂；
（2）如下图示： ∵A（a，y₁）、B（2a，y₂）在反比例函数y=k/x（k＞0）的图象上，∴AC=y₁=k/2a，BD=y₂=k/2a，∴y₁=2y₂．又∵A（a，y₁）、B（2a，y₂）在一次函数y=﹣4/3a+b的图象上，∴y₁=﹣4/3a+b，y₂=﹣8/3a+b，∴﹣4/3a+b=2(﹣8/3a+b)，∴b=4a，∵S_△AOC+S_梯形ACDB=S_△AOB+S_△BOD，又∵S_△AOC=S_△BOD，∴S_梯形ACDB=S_△AOB，∴a²=4，∵a＞0，∴a=2．（3）由（2）得，一次函数的解析式为y=﹣4/3x+8，反比例函数的解析式为：y=32/(3x)，A、B两点的横坐标分别为2、4，且m=﹣4/3x+8、n=32/(3x)，因此使得m＞n的x的取值范围就是反比例函数的图象在一次函数图象下方时的横坐标的取值范围，如下图示，从图象可以看出2＜x＜4或x＜0．【反思】综合运用了一次函数及反比例函数图象上点的坐标特点，用数形结合的方法求不等式的解集．
【拓展】如图，已知A（a，m）、B（2a，n）是反比例函数y=k/x（k＞0）与一次函数y=﹣4/3x+b图象上的两个不同的交点，分别过A、B两点作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结OA、OB，若已知1≤a≤2，则求S_△OAB的取值范围．【解】依题意，得m=k/a，n=k/(2a)，得到A（a，k/a）、B（2a，k/(2a)），再将A、B两点坐标代入直线y=﹣4/3x+b中，得到：k/a=﹣4a/3+b，
k/(2a) =﹣8a/3+b，两式相减，并整理，得：k=8a²/3，当1≤a≤2时，S_△OAB=2a²，随自变量的增大而增大，此时2≤S_△OAB≤8．

反比例函数(7)——反比例函数的图象与性质（4）【练习2】阅读以下材料并填空：问题：当x满足什么条件时，x＞1/x？解：设y₁=x，y₂=1/x则在同一直角坐标系中画出这两个函数的草图．联立两个函数的解析式得：∴两个图象的交点为（1，1）和（﹣1，﹣1）∴由图可知，当﹣1＜x＜0或x＞1时，x＞1/x（1）上述解题过程用的数学思想方法是_____；（2）根据上述解题过程，试猜想x＜1/x时，x的取值范围是____________；（3）试根据上述解题方法，当x满足什么条件时，x²＞1/x．（要求画出草图）【图文解析】（1）根据题意可知上述解题过程用的数学思想方法是数形结合法；
（2）直接根据（1）可知x＜﹣1或0＜x＜1；（3）作反比例函数和二次函数y=x²的图象，如下图示。从图象知：当反比例函数的图象在抛物线的下方时，对应的x的范围即为所求．∴当x＞1或x＜0时，x²＞1/x．
【反思】再次体会数形结合思想在函数相关的试题中运用． 反比例函数(8)——综合应用（1）——尖子生之路[九下系列]【例1】如图，点A是双曲线y=8/x在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，求这个函数的解析式.【分析】图象的“灵魂”——点的坐标，尤其是图象上的动点，常见的解题思路是：“设”、“求”、“找”.为此可设动点A为(t，8/t)，则B点坐标为(－t，－8/t)（点A与点B关于原点对称——反比例函数图象的重要性质），再想方设法用t表示出点C的坐标，然后再找出点C的横纵坐标间所满足的关系，即为点C所在的图象上运动时的函数解析式.另一方面，等腰直角三角形中，有“相等线段”和“直角”，若连接OC，又可得到等腰直角三角形，可充分利用“直角（90⁰）”的常用思路（辅助线），同时由于在直角坐标系中，因此可添加下列辅助线：
  不难证得：根据“AAS”可判定△COD≌△OAE，进一步得到：AE＝OD＝8/t，CD＝OE＝t(当t>0)，从而得到C（－8/t，t），当t<0时，类似地，得到：C（－8/t，t），如下图示，
由于－8/t×t＝－8，所以点C在反比例函数y=－8/x的图象上.
(解答时，只需写一种情况，然后简单说明即可)详细过程如下：【解】如图，连结OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，∵A点、B点是正比例函数图象与双曲线y=8/x的交点，∴点A与点B关于原点对称，∴OA=OB，∵△ABC为等腰直角三角形，∴OC=OA，OC⊥OA，∴∠DOC+∠AOE=90°，∵∠DOC+∠DCO=90°，∴∠DCO=∠AOE，∴△COD≌△OAE（AAS），
设A点坐标为（t，8/t），则OD=AE=8/t，CD=OE=t，∴C（-8/t，t），当t<0时，同样可以得到 C（-8/t，t）∵－8/t×t＝－8，∴点C在反比例函数y=﹣8/x图象上．【反思】此类问题的常见解题思路是：设、求、找.本题充分利用90⁰的角的特征，进行转化，解题时需要综合运用反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、三角形全等．【练习】如图，点A（2，4）是双曲线y=k/x的一点，点C为x轴上的点，连接AC，以AC为直角边作等腰直角△ABC，使点B也落在双曲线y=k/x上，求点C的坐标.【解析】类似例题的解题思路，如下图示：
 设C(t，0)，通过全等不难得到点B（t+4，t－2）（书写坐标时，务必注意其符号），然后代入双曲线（解析式为y=8/x）.得到（t+4）（t－2）＝8，解得：
 

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反比例函数(9)——综合应用（2）
【例题】如图，两个边长分别为a，b（a＞b）的正方形连在一起，三点C，B，F在同一直线上，反比例函数y=k/x在第一象限的图象经过小正方形右下顶点E．若OB²﹣BE²=10，求k的值.【解析】因两正方形的边长分别为a和b，不难得到E（a+b，a－b），如下图示，因反比例函数的图象y=k/x经过E点，所以k= (a+b)( a－b)=a²－b².
同时,根据勾股定理，得OB²＝2a²,BE=2b²,由于OB²﹣BE²=10，因此2a²－2b²＝10，得到a²－b²＝5.因此k=5.
【反思】解题时要注意数形结合思想的运用，要注意体会比例系数k的意义．【练习】如图，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，点C在线段AB上，点D在AB的右侧，△OAB和△BCD都是等腰直角三角形，∠OAB=∠BCD=90°，若函数y=6/x（x＞0）的图象经过点D，求△OAB与△BCD的面积之差.【分析】注意观察本题与上题的区别，如下图示，
因此本题的解法与例题完全一样.  不难得到D（a+b,a－b）,代入反比例函数的解析式y=6/x，得（a+b）(a－b)=6，化简，得：a²－b²=6，而△OAB与△BCD的面积之差＝0.5a²-0.5b²=0.5(a²－b²)=3.
【解答】∵△OAB和△BCD都是等腰直角三角形，∴OA=AB，CD=BC．设OA=a，CD=b，则点D的坐标为（a+b，a﹣b），∵反比例函数y=6/x在第一象限的图象经过点D，∴（a+b）（a﹣b）=a²﹣b²=6，∴△OAB与△BCD的面积之差=0.5a²﹣0.5b²=0.5×6=3．【反思】用字母表示出反比例函数图象上点D的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标应满足函数解析式，从而进一步得到所求的值.

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反比例函数(10)——综合应用（3）
【例1】如图，A、B两点都在双曲线y=k₁/x上，C、D两点都在双曲线y=k₂/x上，AC⊥x轴于E，BD⊥x轴于F，AC＝6，BD＝9，EF＝10，求k₂－k₁的值.【图文解析】所求的式子k₂－k₁的k₁和k₂均为反比例函数的比例系数，同时题目条件均为线段的长，与之相关的自然想到“反比例函数的比例系数与面积的关系”，为此可添加下列辅助线：
不难得到矩形ACGH和BDPQ的面积均相等，均等于｜k₁|+｜k₂|，同时，由图象不难判断出k₁＜0，k₂>0，因此｜k₁|+｜k₂|＝k₂－k₁.
若设OE＝t，则OF＝10－t，则根据：“矩形ACGH和BDPQ的面积相等”可以得到：（如下图示） 6t=9(10－t)，解得t=6.
所以k₂－k₁＝｜k₁|+｜k₂|＝6t=36(或k₂－k₁＝｜k₁|+｜k₂|＝9（10－t）=36).【练习1】如图，A、B两点都在双曲线y=k₁/x上，C、D两点都在双曲线y=k₂/x上，AC⊥y轴于E，BD⊥y轴于F，AC＝6，BD＝9， k₂－k₁=54求EF的长 .【解析】解法类似，不做细解.如下图示：
EF＝54/6+54/9＝15.【例2】当1/2≤x≤2时，函数y=﹣2x+b的图象上至少有一点在函数y=1/x的图象下方，求b的取值范围.
【分析】结合函数图象不难理解（数形结合），如下图示： 显然当直线y=2x+b经过（2，0.5）时，在1/2≤x≤2的范围内，直线只有一点在双曲线上，因此，要让“当1/2≤x≤2时，函数y=﹣2x+b的图象上至少有一点在函数y=1/x的图象下方”，b的取值必须小于此时b的值.
【解】在函数y=1/x中，令x=2，则y=1/2；令x=1/2，则y=2；若直线y=﹣2x+b经过（2，1/2），则1/2=﹣4+b，即b=9/2；若直线y=﹣2x+b经过（1/2，2），则2=﹣1+b，即b=3，∵直线y=﹣2x+9/2在直线y=﹣2x+3的上方，∴当函数y=﹣2x+b的图象上至少有一点在函数y=1/x的图象下方时，直线y=﹣2x+b在直线y=﹣2x+9/2的下方，所以b的取值范围为b＜9/2．【反思】注意数形结合思想在解题中运用.【练习2】当1/2≤x≤2时，函数y=﹣2x+b的图象与函数y=1/x的图象有两个交点，求b的取值范围.【图文解析】画出符合条件的图两种“极端”情况：此时可联立两解析式，利用“判别式”解题.
由－2x+b=1/x得：2x²－bx+1＝0，△＝……=b²-8=0，得到b=（负值，舍去）, 另一方面，若直线y=﹣2x+b经过（1/2，2），则2=﹣1+b，即b=3.
       所以，当1/2≤x≤2时，函数y=﹣2x+b的图象与函数y=1/x的图象有两个交点，则b的取值范围为2√2＜b≤3．

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反比例函数(11)——综合应用（4）
【例1】方程x²+3x﹣1=0的根可视为函数y=x+3的图象与函数y=1/x的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程x³+2x﹣1=0的实根x₀所在的范围是（　　） A.﹣1＜x₀＜0             B.0＜x₀＜1 C.1＜x₀＜2       　    D.2＜x₀＜3【分析】所给方程不是常见的函数，无法直接利用图象来解，但可以两边都除以x可转化为二次函数和反比例函数，再结合相应函数图象即可得到实根x₀所在的范围．【解】由方程x³+2x﹣1=0（显然x≠0）的两边都除以x，可得到：x²+2=1/x，根据题中“阅读”部分，不难理解：方程x²+2=1/x的根可看作函数y=x²+2和y=1/x图象的交点的横坐标.如下图示：       显然，由于当x=1时，函数y=x²+2的值为3，y=1/x的值为1，明显已经在交点的右边了，所以交点在第一象限．且0＜x₀＜1，故选B．【反思】解决的关键是将所求的方程化为一个二次函数和一个反比例函数的解析式的形式，再利用函数图象的特点，将其解转化为求其交点的横坐标．
【练习1】用上述方法求出不等式x³+2x﹣3＜0的解集.【解析】类似例题的解题思路，由方程x³+2x﹣3＜0（显然x≠0）的两边都除以x，可得到：当x>0时，x²+2＜3/x；当x＜0时，x²+2＞3/x，结合函数y=x²+2和y=3/x图象不难得到该不等式的解集.如下图示：显然，由于当x=1时，函数y=x²+2的值为3，y=3/x的值为3，其交点坐标为（1，3）.
       结合函数图象可得：当0＜x<1时，x²+2＜3/x；当x<0时，x²+2＞3/x，所以所求的不等式的解集为0＜x<1或x<0.【例2】如图，已知直线y=﹣x+2分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线y=k/x交于E，F两点，若AB=2EF，求k的值.【图文解析】法一（通法）：作FH⊥x轴于H，EC⊥y轴于C，FH与EC交于D，如下图示，
由直线y=﹣x+2的解析式，可得A（2，0），B（0，2），且△AOB为等腰直角三角形，则AB=根号2×OA=2×根号2，而AB＝2EF，所以EF=0.5AB=根号2，且△DEF为等腰直角三角形，则FD=DE=EF/（根号2）=1；设F点坐标为（t，﹣t+2），则E点坐标为（t+1，﹣t+1），分别代入反比例函数的解析式，得到：k=t(-t+2)=(t+1)•(-t+1)，解得t=0.5，所以E点坐标为（1.5，0.5），因此k=1.5×0.5＝0.75．具体过程如下：
【解】作FH⊥x轴，EC⊥y轴，FH与EC交于D，如图，A（2，0），B（0，2），OA=OB，∴△AOB为等腰直角三角形，∴AB=根号2×OA=2×根号2，∴EF=0.5AB=根号2，∴△DEF为等腰直角三角形，∴FD=DE=EF/（根号2）=1，设F（t，﹣t+2），则E（t+1，﹣t+1），∴k=t(-t+2)=(t+1)•(-t+1)，解得t=1/2，∴E点坐标为（3/2，1/2），∴k=3/2×1/2=3/4．法二（特殊法）：由于直线y=-x+2和双曲线y=k/x均关于直线y=x对称，根据试题本身的已知条件，可以作直线y=x交AB于M，如下图示，不难得到E的坐标为（1.5，0.5），下同法一，….【反思】注意反比例函数图象上点的坐标特征：图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
【练习2】如图，已知双曲线y＝k/x(k>0)经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBC的面积为3，求k的值．【图文解析】
所以AC＝0.5DE＝0.5AE＝0.5BE，得到AC＝1/3×BC，因此S_△AOC＝1/3×S_△BOC＝1，故k=2S_△AOC=2.

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反比例函数(12)——综合应用（5）【例1】如图，正方形ABCD的顶点A，B在函数y=k/x（x＞0）的图象上，点C，D分别在x轴，y轴的正半轴上，当k的值改变时，正方形ABCD的大小也随之改变．（1）当k=2时，正方形A′B′C′D′的边长等于________．（2）当变化的正方形ABCD与（1）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，求k的取值范围.【图文解析】
（1）由“正方形”——“边等、直角”可添加如下图示的辅助线：（并设OC’＝a）不难得到A’(a，2a)，代入解析式y=2/x(x＞0），可得a=1(a=－1舍去)，因此正方形A′B′C′D′的边长等于=根号2×a＝根号2.
（2）由（1）可知：A′（1，2），B′（2，1），C′（1，0），D′（0，1），可得直线A′B′解析式为y=﹣x+3，直线C′D′解析式为y=﹣x+1． 设点A的坐标为（m，2m），点D坐标为（0，n）．      当A点（或B点）在直线C′D′上时，如下图示，由（1）可设A（m，2m），代入直线C’D’的解析式，得：2m=﹣m+1，解得：m=1/3.此时点A的坐标为（1/3，2/3），
∴k=1/3×2/3＝2/9； 当点D在直线A′B′上时，如下图示，同样设D（0,m）代入直线A′B′解析式y=﹣x+3，得m=3，此时点A的坐标为（3，6），∴k=3×6=18． 综上所述，当变化的正方形ABCD与（1）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，k的取值范围为2/9＜k＜18．
【反思】充分利用数形结合思想：画出符合条件的不同情况下的图形，再利用点的坐标特征求出k的取值范围．【练习1】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=k/x的图象和矩形ABCD在第二象限，AD平行于x轴，且AB=2，AD=4，点C的坐标为（﹣2，4）．（1）直接写出A、B、D三点的坐标；（2）若将矩形只向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，求反比例函数的解析式和此时直线AC的解析式y=mx+n．并直接写出满足k/x<mx+n的x取值范围．【解】如下图示：
（1）A（-6，6），B（-6，4），D（-2，6）．
（2）矩形ABCD向下平移后得到矩形，设平移距离为a，则B′（-6，4-a），D′（-2，6-a）∵点B′，点D′在y=k/x的图象上，∴﹣6（4﹣a）=﹣2（6﹣a），解得a=3，∴A′（﹣6，3），B′（﹣6，1），C′（﹣2，1），D′（﹣2，3），将点B′（﹣6，1）代入y=k/x得：k=﹣6，∴反比例函数的解析式为y=-6/x．将A′（﹣6，3），C′（﹣2，1）点代入y=mx+n中,并解得：m=0.5,n=0.所以所求的解析式为：y=0.5x. 如下图示，满足k/x<mx+n的x取值范围即是-6/x<0.5x的取值范围，即x<-2×根号3.【反思】要注意数形结合思想在解题中的正确运用．
【练习2】如图，点B（3，3）在双曲线y=k/x（x＞0）上，点D在双曲线y=﹣4/x（x＜0）上，点A和点C分别在x轴、y轴的正半轴上，且点A、B、C、D构成的四边形为正方形，求点A的坐标．【解】过D作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，如下图示，则∠DMA=∠ANB=90°∵B（3，3），∴BN=ON=3．
设MD=a，OM=b．∵D在双曲线y=－4/x（x＜0）上，∴ab=4．∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=90°，AD=AB．∴∠MDA+∠DAM=90°，∠DAM+∠BAN=90°．∴∠ADM=∠BAN．∴△ADM≌△BAN（AAS）．∴BN=AM=3，DM=AN=a．∴0A=3﹣a．即AM=b+3﹣a=3，a=b，∵ab=4，∴a=b=2，∴OA=3﹣2=1．∴点A的坐标是（1，0）．

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