中考压轴题复习与训练的思考与体会
中考压轴题复习与训练的思考与体会
注：自去年至今，做过超过20多场的压轴题专题复习的讲座，组织编写过压轴方面的书（《顶尖中考微专题》、《图解精析中考数学压轴题》、中考数学备考冲刺等），分享过多篇压轴题解析的文章（近三年福建九地市的一检、二检和中考压轴），与微信和QQ朋友也多次交流过．近期又有较多初三的学生家长不间断地咨询压轴题应该如何训练和学习等相关问题，感谢朋友们对我的信任和鼓励！现将之前已经发布的有关在压轴题教学方面的理解文章整理汇总发布．如果你觉得对你的教与学有点价值的话，请分享给身边需要的朋友．至今担任过二十多届毕业班的教学经历告诉我：对于多数中等及以上的学生来说，压轴题对他们的困惑并不都是在思维和理解上出现的漏洞，更多的是在思想信心、方法方式和正确的训练等方面没有达到有效的融合．如果老师或家长们能善加开导和引导，必能达到一定的效果．压轴题不可怕，可怕的是不敢去“动”、去“碰”压轴题，动态题、纯函数题虽抽象，但“动中有“静”、题中无图“心中有图”，无论在哪一瞬间都可以当作是“静”的，都有静的图（或图象）．
良好的心态是解决压轴题的关键，而良好的心态取决于答题信心，满满的信心在解题中必能势如破竹，难题再也不难． 胆大心细，从容面对．信心自然就会油然而生，源源不断． 胆大：不“迷信”压轴题可怕．（1）就从眼前读题的一字一句开始，先只关心关注你认识的文字（语言），不可忽略其中的任意一个字．哈哈，谁都会！但要注意：务必慢咬细嚼，不可快速读完，更不能把整题读完，如若这样等同于将后面的烦恼提前（后面的烦恼留着后面吧）， 何苦自己为难自己？！（2）将你所读到的每一个字和句，用数学语言“翻译”一下，弄明白是何意？再用图形语言（原图可当作参考图或模板）表示（边思考边画图）．画完符合条件的图后，你能重新快速再正确画出多个吗？你能用文字语言或数学语言再次完整描述一下试题吗？ 如果你用“图”表达试题内容时，遇到无法确定的点、线、形时，哈哈哈，这就对了，那多数就是动态的基本图形哦，你已经想到了这是动态的——第一关难度．此时你要做的是：将这些无法确定的点、线、形分别画出不同的特殊位置（或者特殊再特殊的位置上）．如：点P是△ABC所在的平面的点，在画图时，你可以画在△ABC的外心处，可以画在△ABC的边上，甚至可以画在和△ABC的顶点上．再画出一般的情形，注意可分开画图．永远记住，几何和函数的多数问题往往是：特殊情况下的解题思路和结论，在一般情况下也同样适用．更何况你已经将各种情况的图表达清楚，就不担心漏掉答案．（3）利用你画的图，（逐一）大胆思考，放开包袱，敢思敢想，甚至浮想联翩，然后再把你所得到的结论标注在图形中，或者将之记录下来．如：你已画了一个三角形，此时可做如下思考：这个三角形是特殊的三角形吗？特殊在哪？这个三角形已有什么条件？能从这些条件得到什么结论（赶紧标注上）？这些条件能影响三角形的什么元素？这个三角形是确定的吗？即这个三角形是否可解（能具体求解出什么结论）？这个图形在什么样的背景下？这个三角形是静的，还是动的？如果是动的，特殊情况下又是如何？在这个图形中，你能想到哪些定理？由这些定理你能得到什么结论？如果添加一条或几条线，通过相关组合，你能发现哪些最常见的基本图形？从这些基本图形中你又能得到什么最基本且重要的结论？……（放心，总会有你所能想到的？也许不全面甚至很少，但定会在后续的解题中用的上，即便还是没有思路，你将这些结论写上，也可得到一定的分数。其实：你之所以没能解决，仅是因为某一点或结论还没想到而已． 这一步非常有效且实用，也许你在不知不觉中已经解决了第（1）（2）小题．其实很多同学不敢“碰”压轴题的最大原因也正缘于此．记住：即便是乱想，甚至空想，也定有收获，就怕不想不碰，就怕不敢多看一眼．更何况你或多或少总会想到一些有用的结论．（4）对着刚才的思考体会和得到的结论进行疏理，做到：能思会想．能思：即“知己知彼”，将已知与未知结合图形进行多向联系：如图形上位置、数量的联系、与特殊的点（角）、线、形进行联系（如有无特殊角），尤其也特殊的基本图形（定理的原形图）的联系，若有困难，也可大胆猜想，甚至可以借助三角板和刻度尺进行特殊化和度量操作等，以此来帮助思考．会想：利用已画的图形和现有的结论大胆联想．如：联想到这个图形是否似曾相识？联想到图中有什么定理或基本图形可用？回忆一下平时老师常说哪些语言？回忆平时训练时遇到此类问题是如何解决？回忆平时有哪些办法可以打开思路？联想到类似问题通常用哪些办法？正如前面所说的，放开心怀，总有你能联想到的？哪怕只是那么一点？都不可放过，太多奇迹就是这么产生的？往往在你的这些联想中，问题已经解决过半，甚至完全迎刃而解．即便还是没有头绪，还请你放心，你不会做无用功的，你将之最有用的结论写在试卷中，相信也定会得到一定的分数，因为你只是没有完全想到，就“差那么一点”没想到而已，同样可以得高分，何乐而不为？
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二、敢于“读题”，大胆“浮想联翩”
（一）逐字逐句的读，以“图形”形式展示你的阅读成果．
切忌泛读，更不可提前读完．（注：本人在教研听课中，常遇到这种情景：×××同学请你将试题读一遍……），本人以为：如果这样的话，一是浪费时间（特别对压轴题来说，应该是在做“无用功“）；二是会将“后面的烦恼”提到前面来，势必对现有的解题有了杂念，一心不能二用，会将难题人为的“扩大化”，并产生新的“障碍”：本来就能顺利完成的某些内容（得一定的分数），被这么一读，因顾虑到后面难的不好理解的内容反而没信心了。
如果题中有图，可以将已有的图作为“样本模板“，重新构图，如果题中没图，那就更应该构图，但需注意：是构图，并非草率无根据的画图．构图过程中的”收益“定会不少，在构图中结合后面即将说明的“浮想联翩”往往已经在不知不觉中解决了问题．
在构图过程中，务必多留个“心眼“（哈哈，为人不可这样哦！），如：点P在边AB上，画的时候需注意，也许点P画在边AB中点的左边或右边或就在中点上，得到的答案就会有所不同，往往多个答案由此而生．也许当画在特殊点位置时，就已经找到了解决问题的一般思路和方法（从特殊到一般的重要数学思想正是如此哦！）
（二）结合所构“图形“，结合文字语言，大胆“浮想联翩”，用笔或标记记录你的战果．
一个点，一条线、一个基本图形、一个特殊角或特殊图形，想到了什么？
一个熟悉的条件你又想到了什么？一个“怪异“的条件又想到了什么？
条件与图结合起来，又想到了什么？
哪些图形与条件，是一而再再而三与见过的，训练过的，甚至是讨厌过的，或者遗憾过的？
一个你非常容易得到的结论，能想到什么更一般的结论，更深层次的结论？
如：由点A（2，-3）关于x轴对称点的坐标，能联想什么？
（1）点A关于y轴、原点对称的点的坐标；
（2）点A关于动直线（x=m或y＝n）的对称点的坐标；
（3）点A关于动点Q（m，3-m）的对称点的坐标；
（4）点A关于直线y=2x-4的对称点的坐标；
（5）动点A（2，n）关于上述（动）点、（动）线的对称点的坐标；
（6）动点A（m，2m-3）关于上述（动）点、（动）线的对称点的坐标；
（7）抛物线y=x2-2x+3的动点A关于上述（动）点、（动）线的对称点的坐标；
（8）直线y=2x+3关于抛物线抛物线y=x2-2x+3的动点对称的直线；
……
（三）好好品赏上述成果，再“包装“一下，就可以进入答题了．
有了上述的成果，如果还没达成，这时可建议学生好好回忆一下：这些熟悉的图形，老师上课是如何辛苦地讲解？如何强调其中的解题思路？如何添加相应的辅助线？如何进行训练？之前又是如何解决？
如果还没得到答案，也没关系，其实已经思考完成的差不多了，完全可以将成果写进试卷中，同样可以得到相当好的分数．
三、心中有图 处处有路 多数优生对解压轴题的障碍之一：心中无图，望“图“生畏，看不到”图“的本质，画不出或不敢画符合条件的图，对于”动图“更是不敢面对．而”图“往往是解决难题的重中之重，准确画出符合条件的图问题往往就能轻松破解． 实际上，在”画出符合条件的图“的过程中，本身就蕴含着对大量的知识内容和解题思路方法的回忆，对解题会产生无限的联想，尤其是重要基本图形的一些重要结论会不断浮现，对减轻问题的难度有着至关重要的作用，可以说能真正地”画图“就离”问题解决“不远了。 对一些常见的基本图形应有本质的认识，真正理解“图“．除了平时对”图“的理解积累了的一些经验外，更有必要对”图“的复习进行归纳、训练、强化，特别强化”动图“与”静图“的区别和联系，体会”动中有静“的动态思想，努力做到：心中有图，处处有路，路在图中，找到图中的真相． 如何强化训练，做到“心中有图“呢？笔者以为：（1）对基本图形的训练，要放开思路，培养“敢于联想，善于联想“的能力．建议优生将自己对基本的认识和理解用各种语言（图形语言、符号语言、文字语言）写下，归纳小结并理解． 如：对图中“一个点”： 表面（基本）理解：是动点还是静点？是特殊点还是非特殊点？与哪些点、线、形有关？这个点已经告诉了我们什么条件？这个点与所求的结论有联系吗（如何联系）？…… 深层次理解一：假设这个点在几何图形中．这个点与其他点如何联系？与这一点相关的基本图形有哪些？与这个点有关的可联想到什么定理和结论？图中有无这点对哪些结论会发生影响？这个点如果换成其他不同位置上，图形将发生如何变化？这点如果换成任意点呢？点的位置改变，会整个图形或已知条件或相关结论造成什么样的影响？……上述的各种情况，你能画出相应的图形吗？ 深层次理解二：假设这个点在坐标系中．这点能写出或表示出吗？其他相关的点坐标能写出吗？或缺少什么条件就能将之相关的点的坐标写出（或表示出）？这点可认为是什么图象的交点？由这点相关的计算（如线段、直线解析式等）想到什么思路？同上述类似，换成不同位置上的点呢？ 本质理解：从函数观点看：静中有动、动中有静，点动成线（如何用文字语言、图形语言、符号语言描述）．如点P（m，2-3m），若将m看作一个具体的值，则点P是一“静中有动”的点，若将m看作一个变化的参数，则点P则是一“动中有静”的点，同时点P运动路径为一函数图象，就会发现：函数图象的“灵魂“——点的坐标．如果将坐标系想象成大网格（很多时候，坐标系＝网格），又能想到直角三角形、矩形、正方形，问题进一步简单化了．
如：对三角形的变换画图： 一般训练：将一△ABC（先特殊三角形，再一般三角形）进行无干扰的平移、对称、旋转，再进行有干扰的平移、对称、旋转，再考虑在不同背景下（如一般几何图形中，坐标系背景下）． 进阶训练：在几何图形中，设置一动点，将任意与之关联的三角形进行任意设定的条件的平移、对称、旋转进行画图，观察与周围图形的各种特殊关系，或者特殊位置时的关系． 理解本质：不论何种变换，图形的变化均体现在点的变化上，实际解题时只需画出相应的所需要的点、线即可，理解特殊位置上的点在变化中提供或能得到的相关结论即能完美作答．（3）利用已练过或现有的试题隐去相关的点线，或将之拓展延伸，进行实战演练． 训练题源：中考真题，这些试题中的绝大多数（超过90%）不需要给图，教师只需给出一个最基本的图（主要考虑到画出的图的比例大小）． （笔者曾带过一个年级总人数为400多人的30人的实验班，将一道中考真题让学生思考，并告诉学生：此题无图（原题有图），结果居然发现很多孩子画出的图五花八门，解题大受影响，能准确快速完成寥寥无几，后来给了图，居然多数学生已经会做了，后来了解到：画图浪费了非常多的时间，而且不准确，给了图，之所以快，是因为之前在画图中很多方面都已经想到并思考清楚了） 训练方法：一要定量定时；二要画出不同可能情况下的图；三是思考在“动态“情景下画图；四是找出其中的基本图形（定理所蕴含的图形）；五是分别在不同的背景下． 训练反馈：小结画图的得失（时间与效率），分享品尝画图中得到的收获．（4）在画图中体会图形的动态变化，教师可以将中考中常见的图形和图解思路进行归纳，展示（画板展示效果最好），无需多长时间，优生自会潜移默化． 教师准备：常见图形和思路（图解方式）——可以从中考真题中进行归纳小结，如：一线三等角，定点定弦（四点共圆）、三角形旋转、特殊四边形对称、旋转，抛物线的平移等．进行课堂展示（动画展示，效果更理想），时间不需要多，每节课前或课后一分钟． 平时教学或练习：不论上课，还是课外，总有意无意与这些图“扯”上关系，特别是要让“优生”与之“纠缠不清”，让他（她）们产生“不解之缘”．
四、强化计算，突破 “拦路虎“
会做不敢算、不会算，或对计算没信心、效率低，是中考数学压轴题解决路上的“拦路虎“，成了很多优生的遗憾，而计算（特别是式的计算）又是高中数学学习中必备的，是必须掌握的一个基本能力，因此对优生来说，无疑必须且必要进行强化训练，为今后进一步学习打下良好基础。
1．有意识地对优生进行如下强化训练
训练内容：含参方程（组）及不等式（组）的相关计算
训练目的：敢算、会算，快速得到准确答案．
习题来源：可用课本中（或已经练习过）的方程（组）、不等式（组），将其中的一个或几个已知常数换成字母系数或关于字母系数的代数式，进行训练（如：解关于字母系数的方程、方程组、不等式、不等式组）．如字母系数可以为x1．y1或m2-m或m+1/m等．
训练程序：（1）单纯的解关于x/y的方程（组）、不等式（组）；
（2）将方程（组）转换成含参的函数，进行与“函数交点“、”增减性“相关的试题训练中；
2．压轴题感受与演练（下列试题只给出答案中的部分，需要原题或详细阅读“试题解析“，请关注本公众号后，点击右上角“…”——往下拉——查看全信息——在搜索栏中（正上方）输入标题——点击搜索，即可打开相应的试题解析文章）
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五、理解基本图，用好基本图，体会压轴的本来面目 说明：本文所叙述的几何中的基本图形，是指几何定理所涉及的图形，或课本例习题所见到的极个别最常见的图形． 平时训练时，尽量以动态(平移、对称、旋转及位似等)的眼光“善待”和“亲近”基本图形，加以“随时随地随处“的“画、作图”训练，定会让你的解题水平达到另一种境界：心中有图，处处有路． 例如：“平行线分线段成比例定理“中的一个推论中的基本图形(下图示，其中DE∥BC)，这个图形本人多次讲座分析，《顶尖中考微专题》也有专门的篇幅说明．下面我从各个角度来理解一下这个图形．
(1)
(3)再将△ADE的点D在任意一条确定的直线FG上运动，保持∠DAE=∠BAC，∠ADE=∠B(或AD/AE=AB/AC)，即△ADE∽△ABC．则又可得到：
提示：可得到△AB(3)如果继续脱离△ABC的直接影响，将△ADE在任意平移保持∠CAE不变(如cos∠DAE=2/3)，且AD:AE=定值(如3/4)，如下图示：
(5)在(4)的△ADE满足的条件下，若将此自由△ADE放在圆弧上运动，显然又可得到“旋转相似“相关的结论(如路径、最值问题)．如下图示：其中△MNP为任意已知三角形．
七、积累好经典练习，体会压轴的渗透
下面以一道经典的简单试题为例说明：
例 已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（2，0）、B（4，0），且过点C（0，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当x为何值时，函数y有最值？
（3）当x为何值时，y随x的增大而增大？
这是一道非常基础且重要的经典试题，练习或听老师复习讲解时，若能结合平时压轴练习展开思路，放开思考，并善于利用，不但对基础知识和基本能力达到系统复习的目的，而且可将压轴题复习（含方法思路）潜移默化、条件反射地将渗透于此类练习之中，就会在不知不觉中感受到：压轴题不是那么可怕，离自己能完美解决并不遥远，随时随地在我们的问题探索中得到解决，同时还是如此的“亲近“！
从表面上看，当然需注意：
（1）抛物线的解析式的求法常见的三种情况说清，以及适用范围；
（2）配方法的复习，最值的求法，顶点与对称轴的关系；
（3）数形结合（学会画好图象草图），复习抛物线的性质（增减性）．
深入一步，还可复习到：
（1）A、B、C三点均为特殊点，显然特殊意义（如：对称轴可直接求解），进一步地，可得到抛物线上的对称点间的联系；
（2）从对称性结合函数值（性质）理解…，如：当x>m时，y承x的增大而减小，求m的取值范围．
（3）从方程和不等式看，可得相关方程和不等式的解（解集），或何时函数值大于0或小于0等；
（4）从数形结合看，可解决ax2+bx+c=k或｜ax2+bx+c｜=k的相关根的关系问题或图象的交点问题；
（5）从变换角度看，可渗透平移（a相同，如何进行相关平移）、对称、旋转（中心对称）知识复习．
从变式拓展延伸角度理解：
改变条件，或提高问题的难度：
（1）若题中的A、B两点改为（2，－1）和（4，－1）呢？——“水涨船高“
（2）若题中的点A改为（m，0）呢？若为双参数呢？——渗透含参计算
（3）若题中的条件描述改为：与x轴两交点的距离为2呢？——与含参结合，融入相关知识点的复习．
追加问题：
（4）渗透类似“当-2<x<8时，求函数y的取值范围；或者当y<4时x的取值范围“的问题；
教学时，可演示多种同类型或不同类型的图形，让学生归纳出问题的本质，最终的分类标准和方法，得到解题思路
（注：上述所给图形是有意打乱类型和类别，目的让学生通过观察、画图归纳出一般性的解题思路和分类标准）
（5）若（x1，y1）和（x2，y2）是该抛物线上的两点，若x1、x2满足何条件时，y1＞y2？
（6）通过抛物线上某定点（如：C点）的直线与抛物线相交的另一点为M，如何快速求出M点坐标．
（7）结合上述分析，利用二次函数与方程关系，渗透含参思路，结合抛物线的性质，进一步可以编制纯（代）函数的相关试题进行复习．
如：已知抛物线与x轴交于点A（t，n）、B（t+4，n），且过点C（0，4）．若点B是直线y=2x+n的动点，求抛物线的解析式．
显然如果再渗透三角形或四边形（或其面积相关），可拓展延伸的内容就更多了。
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结束语：不“迷信”压轴题真的那么可怕．胆有多大，成功就有多大；心有多细，得分就有多高；胆大心细，成就成功和高分．相信自己：我行，肯定行！
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