成为数学尖子生的必备条件与训练方法 ——尖子生培养的思考与体会

声明：本公众号所有标有“原创”标识的文章均为原创，欢迎转发朋友圈.任何公共平台（包括微信公众号、商业网站、传统媒体等）转载需联系作者授权.成为数学尖子生的必备条件与训练方法——尖子生培养的思考与体会注：自去年至今，做过超过30多场的压轴题专题复习的讲座，组织编写过压轴方面的书（《顶尖中考微专题》、《图解精析中考数学压轴题》、《中考数学备考冲刺》和《尖子生之路》（共7册）等，可点击书名了解或购买），分享超过千篇各类考试和压轴题解析方面的文章（如：近三年福建九地市的一检、二检和中考压轴），与微信和QQ朋友也多次交流过．近期又有较多老师和学生家长不间断咨询应该如何训练和培养尖子生等相关问题，感谢朋友们对我的信任和鼓励！现将之前的回复言语和发布的相关文章整理汇总．如果觉得对你的教与学有点价值的话，请分享给身边需要的朋友．
       至今带过二十多届毕业班的教学经历告诉我：对于多数中等及以上的学生来说，对难题或综合压轴题的困惑并不都是在思维和理解上出现的漏洞，并不都是知识和方法上掌握的不完美，更多的是在思想信心、方法方式和正确的训练等方面没有达到有效的融合．如果老师或家长们能善加开导和引导，加上一定量的有效训练必能达到一定的效果，成为尖子生也不是难事．一、强大且高效的计算能力      本文所说的计算能力，不仅仅是通常的数式、方程不等式（组）等基本运算，也不仅仅指的是能算会算，关注的是：计算快且准，会灵活运用运算律和相关必备公式，整体思想、换元思想等巧算，尤其是在数与方程不等式（组）中渗入含参（即式的运算）计算．       会做不敢算、算不对，或对计算没信心、效率低，是数学难题解决路上的“拦路虎“，成了很多优生的遗憾，而计算（特别是式的计算）又是高中数学学习中必备和必须熟练掌握的一个基本能力．由于计算不像其他类型的数学题，除了需要的是孩子的良好计算习惯外，更需要的是“条件反射”的能力。进行系统的、多样的，持续的计算训练就能在一定程度上提高计算能力，得了计算就得了“数学天下”，因此对于计算，怎么花时间训练都不为过，都是值得．为成为尖子生的道路铺开坚实的基础和保障。       对于基本计算的具体训练，可参考文章“不要为计算出错找借口，得了计算得数学天下“（点击打开阅读）．对于含参的方程（组）及不等式（组）的相关计算，训练内容可以选用课本中（或已经练习过）的方程（组）、不等式（组），将其中的一个或几个已知常数换成字母系数或关于字母系数的代数式进行训练．如：解关于字母系数的方程、方程组、不等式、不等式组；又如字母系数可以为x₁．y₁或m²-m或m+1/m等．训练时，可按以下步骤进行：（1）单纯训练含参的相关试题，如：解关于x/y的方程（组）、不等式（组）；（2）将方程（组）转换成含参的函数，融入“函数交点“、”增减性“相关的试题训练中；（3）感受与演练压轴题的含参内容，如下各题：（下列试题只给出答案中的部分，需要原题或详细阅读“试题解析“，请关注本公众号后，点击”精彩回顾——搜索文章——输入关键词或标题“——点击搜索，或点击右上角“…”——在搜索栏中（正上方）输入标题——点击搜索，即可打开相应的试题解析文章）【例1】2017年福建省中考压轴题中的计算部分【例2】2018年福建省中考A卷压轴题的计算部分
【例3】2019年福建省中考A卷压轴题的计算部分

二、良好的“读题画（作）图“的习惯      良好的读题画（作）图习惯，是解决难题的前提和必备，正所谓的“万事开头”，倘若忽略了良好开端，将会首尾不顾，一片混乱，信心就无从谈起，必会困难重重．建议：可进行如下训练：       从一字一句读题开始，关注你认识的文字（语言），不可忽略其中的任意一个字．务必慢咬细嚼，不可快速读完，更不能把整题读完，将所读到的每一个字和句，用数学语言“翻译”，弄清何意？再用图形语言（原图可当作参考图或模板）表示（边思考边画图）．画完符合条件的图后，应能重新快速再正确画出多个（通常一个图形所花时间不超过10秒），并能用文字语言或数学语言再次完整描述一下试题．       若用“图”表达试题内容时，遇到无法确定的点、线、形时，那多数就是动态的基本图形，此时要做的是：将这些无法确定的点、线、形分别画出不同的特殊位置（或者特殊再特殊的位置上）．如：点P是△ABC所在的平面的点，在画图时，可以画在△ABC的外心处，可以画在△ABC的边上，甚至可以画在和△ABC的顶点上．再画出一般的情形，（可分开画图）．实际上，几何和函数的多数问题往往是：特殊情况下的解题思路和结论，在一般情况下也同样适用．三、细致的“敢思敢想”和善于联想的能力“敢思”：即“知己知彼”，将已知与未知，结合图形进行多向联系：如图形上的位置、数量的联系、与特殊的点（角）、线、形进行联系（如有无特殊角），尤其也特殊的基本图形（定理的原形图）的联系，若有困难，也可大胆猜想，甚至可以借助三角板和刻度尺进行特殊化和度量操作等，以此来帮助思考．“敢想”：利用已画的图形和现有的结论大胆联想．如：联想到这个图形是否似曾相识？联想到图中有什么定理或基本图形可用？回忆一下平时老师常说哪些引导和总结性语言？回忆平时训练时遇到此类问题是如何解决？回忆平时有哪些办法可以打开思路？联想到类似问题通常用哪些办法？总之，可放开心怀，总有你能联想到的？哪怕只是那么一点？都不可放过，太多奇迹就是这么产生的？往往在你的这些联想中，问题已经解决过半，甚至完全迎刃而解．即便还是没有头绪，还请你放心，你不会做无用功的，你将之最有用的结论写在试卷中，相信也定会得到一定的分数，因为你只是没有完全想到，就“差那么一点”没想到而已，同样可以得高分，何乐而不为？　　　　　　　　善于联想：结合“图形“，可大胆联想：       一个点，一条线、一个基本图形、一个特殊角或特殊图形，想到了什么？       一个熟悉的条件你又想到了什么？一个“怪异“的条件又想到了什么？       条件与图结合起来，又想到了什么？       哪些图形与条件，是一而再再而三与见过的，训练过的，甚至是讨厌过的，或者遗憾过的？       一个你非常容易得到的结论，能想到什么更一般的结论，更深层次的结论？      如：由点A（2，-3）关于x轴对称点的坐标，能联想什么？能解决哪些问题？（1）点A关于y轴、原点对称的点的坐标；（2）点A关于动直线（x=m或y＝n）的对称点的坐标；（3）点A关于动点Q（m，3-m）的对称点的坐标；（4）点A关于直线y=2x-4的对称点的坐标；（5）动点A（2，n）关于上述（动）点、（动）线的对称点的坐标；（6）动点A（m，2m-3）关于上述（动）点、（动）线的对称点的坐标；（7）抛物线y=x²-2x+3的动点A关于上述（动）点、（动）线的对称点的坐标；（8）直线y=2x+3关于抛物线抛物线y=x²-2x+3的动点对称的直线；      ……训练时，同时需注意以下几个细节：（1）不放过任何蛛丝马迹．试题（含图形）中的条件（特别是隐藏条件）是否忽略了，是否没考虑完整？任何“蛛丝马迹”倘若没有“处理”好，往往会阻碍你进一步的思考，也正是你尚未解决好问题的最大原因；（2）要“多留一个心眼”．多方面思考问题（还能这样吗？换一个位置能否满足条件，可以吗？），良好的解题习惯，会帮助你避开漏答或多答；（3）换“位”思考：把压轴题当作中等题的位置．（笔者做过这样的试验：在中考冲刺阶段的适应训练，故意将倒二的试题放在倒四位置，居然超出了师生的想象．后来告知原因，自然皆大欢喜；（4）心理镇定：随时给自己心理暗示，你做不来其他高手也同样做不来，何况你还能完成一部分的解答，分数已经高于他人之上，接下来能思考出多少都是“净赚”啊！其实这也不是心理暗示，事实上就是如此：命卷老师本来就不想让人得高分啊！（5）完美答好前面试题（答好必得分数）．似乎这不是压轴题中的内容，但需谨记：没有前面试题的完美解答，就不会有“全身心”投入到压轴题中，那时无法静下心态，何谈信心？一切皆空．       也常常暗示和激励自己：（一）不“迷信”难题或综合压轴题可怕；（二）胆有多大，成功就有多大；（三）心有多细，得分就有多高；（四）胆大心细，成就成功和高分强调：在各种考试与训练中，哪怕只剩下几秒钟，也要对压轴题“多看一眼”、“再看一眼”！切忌遇到压轴题先给自己“判死刑”：我反正做不了．永远记住：什么困难都不会比“自己不相信自己“难，成功来自于自己的信心，有了信心什么问题都不是问题！

四、熟练的“玩转”基本图（形）的动态思维能力．       熟练掌握基本图，并能深层次理解基本图形的动态变换过程中的本质特征，以“一变应万变”．（说明：本文所叙述的几何中的基本图形，是指几何定理所涉及的图形，或课本例习题所见到的极个别最常见的图形．）　　平时训练时，尽量以动态(平移、对称、旋转及位似等)的眼光“善待”和“亲近”基本图形，加以“随时随地随处“的“画、作图”训练，做到：心中有图，处处有路．例1：线段中点和角平分线相关问题：例2：对称中的最值基本图．

充分利用基本图形：

例3．“平行线分线段成比例定理“中的一个推论中的基本图形．这个图形本人多次讲座分析，《顶尖中考微专题》也有专门的篇幅说明．下面我从各个角度来理解一下这个图形．
(1) 从平移和旋转角度解读：(2)继续将第二个图平移到特殊位置，
此时，从圆的相关知识联系解读，有AB是△BDE，或AE是△BDE的外接圆的切线．(3)将三角形特殊化(如∠ABC=90°)，则有：
又得到非常重要的基本图形——直角三角形斜边上的高．
(4)再将△ADE的点D在任意一条确定的直线FG上运动，保持∠DAE=∠BAC，∠ADE=∠B(或AD/AE=AB/AC)，即△ADE∽△ABC．则又可得到：此时又可得到另一对相似(仅给第一个图，其他图形类似)，如下图中的两阴影部分三角形：此时随着D点在线段EF(或直线EF)上运动，相应的点E也在一定直线上运动，可解决相关路径和最值相关的问题(如求BE的长的最小值)．
提示：可得到△AB(5)如果继续脱离△ABC的直接影响，将△ADE在任意平移保持∠CAE不变(如cos∠DAE=2/3)，且AD:AE=定值(如3/4)，如下图示：同样有上述相关结论．思路：找到原始状态下的基本图形(即为辅助线)或构造一个特殊情况下的基本图形，或者类似于上述图形中的△ABC均可(方法多种，本质一样)，如下图示：
(6)如果即脱离△ABC的直接影响，也让D点在任意确定的线、弧、函数图象上运动——类似于一个自由三角形ADE在保持本质不变(即任何位置均保持互相相似)情况下，将其在任意平移，同样还有上述结论：如下图示：构造特殊情况下的基本图形——“哪里哪里去“，方法多种．(5)在(4)的△ADE满足的条件下，若将此自由△ADE放在圆弧上运动，显然又可得到“旋转相似“相关的结论(如路径、最值问题)．如下图示：其中△MNP为任意已知三角形．提示：构造特殊情况下的基本图形——“哪里哪里去“，当然与圆心有密切联系，因此需围绕圆心构造特殊基本图形，方法多种．如(6)再将“派生“出的基本图形放在圆的背景下
若让点D在圆上运动，在保持△ADE与△ACD相似的情况下，不难得到AE：AD=AD：AC．利用这个结论，又可任意构造类似“加权最值“的相关问题．如下图示
可求“DM+m/n×DC“的最值．
解题思路：构造基本图形．如下图示：又如：对图中“一个点”：
表面（基本）理解：是动点还是静点？是特殊点还是非特殊点？与哪些点、线、形有关？这个点已经告诉了我们什么条件？这个点与所求的结论有联系吗（如何联系）？……深层次理解一：假设这个点在几何图形中．这个点与其他点如何联系？与这一点相关的基本图形有哪些？与这个点有关的可联想到什么定理和结论？图中有无这点对哪些结论会发生影响？这个点如果换成其他不同位置上，图形将发生如何变化？这点如果换成任意点呢？点的位置改变，会整个图形或已知条件或相关结论造成什么样的影响？……上述的各种情况，你能画出相应的图形吗？深层次理解二：假设这个点在坐标系中．这点能写出或表示出吗？其他相关的点坐标能写出吗？或缺少什么条件就能将之相关的点的坐标写出（或表示出）？这点可认为是什么图象的交点？由这点相关的计算（如线段、直线解析式等）想到什么思路？同上述类似，换成不同位置上的点呢？本质理解：从函数观点看：静中有动、动中有静，点动成线（如何用文字语言、图形语言、符号语言描述）．如点P（m，2-3m），若将m看作一个具体的值，则点P是一“静中有动”的点，若将m看作一个变化的参数，则点P则是一“动中有静”的点，同时点P运动路径为一函数图象，就会发现：函数图象的“灵魂“——点的坐标．如果将坐标系想象成大网格（很多时候，坐标系＝网格），又能想到直角三角形、矩形、正方形，问题进一步简单化了．五、纵横知识转化、挖掘内涵联系的能力．例1：给定一个正方形，点G是对角线（或所在直线上的动点），连接BG，AE⊥BG于点E，……(从图形的动态变化上……)若点G是边CD、AD（或所在的直线上的动点呢？
若以正方形为背景改为“矩形“为背景呢？……例2：给定一个方程，如：x²-4x-1=0．从方程自身的角度拓展延伸：（1）方程的不同解法，如配方法，求根公式法，方程的两根关系；（2）当x为何值时，代数式x²-4x-1的值为0？或代数式x²-4x的值为1？（3）从整体角度理解：方程｜x｜²-4｜x｜-1=0，（x-1）²-4（x-1）-1=0等；从数与式的角度拓展延伸：（1）求x²-4x-1的最小值．（2）求x－1/x，x+1/x，x²－1/x²等的值．（3）将式子简单变形，如：将方程两边都除以x，则有1－1/x－1/x²=0；（4）整体代入或整体求出，如求x³-5x²+3x-4的值．……从函数角度拓展延伸：（1）抛物线y=x²-4x-1与x轴交点；（2）抛物线y=x²-4x与直线y=1的交点；（3）抛物线y=x²-1与直线y=4x的交点；（4）抛物线y=x²与直线y=4x+1的交点；（5）直线y=x-4与双曲线y=1/x；给一个参数系数k，及所在的参数位置不同呢？若给定两个参数系数，或参数所在的位置不同，问题就更有深度了！……例3：给定一个方程，如：ax²-4ax-1=0．……
六、积累好经典练习，体会压轴的渗透下面以一道经典的简单试题为例说明：例　已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（2，0）、B（4，0），且过点C（0，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）当x为何值时，函数y有最值？（3）当x为何值时，y随x的增大而增大？       这是一道非常基础且重要的经典试题，练习或听老师复习讲解时，若能结合平时压轴练习展开思路，放开思考，并善于利用，不但对基础知识和基本能力达到系统复习的目的，而且可将压轴题复习（含方法思路）潜移默化、条件反射地将渗透于此类练习之中，就会在不知不觉中感受到：压轴题不是那么可怕，离自己能完美解决并不遥远，随时随地在我们的问题探索中得到解决，同时还是如此的“亲近“！从表面上看，当然需注意：（1）抛物线的解析式的求法常见的三种情况说清，以及适用范围；（2）配方法的复习，最值的求法，顶点与对称轴的关系；（3）数形结合（学会画好图象草图），复习抛物线的性质（增减性）．深入一步，还可复习到：（1）A、B、C三点均为特殊点，显然特殊意义（如：对称轴可直接求解），进一步地，可得到抛物线上的对称点间的联系；（2）从对称性结合函数值（性质）理解…，如：当x>m时，y承x的增大而减小，求m的取值范围．
（3）从方程和不等式看，可得相关方程和不等式的解（解集），或何时函数值大于0或小于0等；
（4）从数形结合看，可解决ax²+bx+c=k或｜ax²+bx+c｜=k的相关根的关系问题或图象的交点问题；（5）从变换角度看，可渗透平移（a相同，如何进行相关平移）、对称、旋转（中心对称）知识复习．从变式拓展延伸角度理解：改变条件，或提高问题的难度：（1）若题中的A、B两点改为（2，－1）和（4，－1）呢？——“水涨船高“（2）若题中的点A改为（m，0）呢？若为双参数呢？——渗透含参计算（3）若题中的条件描述改为：与x轴两交点的距离为2呢？——与含参结合，融入相关知识点的复习．追加问题：（4）渗透类似“当-2<x<8时，求函数y的取值范围；或者当y<4时x的取值范围“的问题；教学时，可演示多种同类型或不同类型的图形，让学生归纳出问题的本质，最终的分类标准和方法，得到解题思路（注：上述所给图形是有意打乱类型和类别，目的让学生通过观察、画图归纳出一般性的解题思路和分类标准）
（5）若（x₁，y₁）和（x₂，y₂）是该抛物线上的两点，若x₁、x₂满足何条件时，y₁＞y₂？（6）通过抛物线上某定点（如：C点）的直线与抛物线相交的另一点为M，如何快速求出M点坐标．（7）结合上述分析，利用二次函数与方程关系，渗透含参思路，结合抛物线的性质，进一步可以编制纯（代）函数的相关试题进行复习．如：已知抛物线与x轴交于点A（t，n）、B（t+4，n），且过点C（0，4）．若点B是直线y=2x+n的动点，求抛物线的解析式．    显然如果再渗透三角形或四边形（或其面积相关），可拓展延伸的内容就更多了。 您的"在看"是对我的鼓励和肯定！

结束语：良好的心态是解决压轴题的关键，而良好的心态取决于答题信心，满满的信心在解题中必能势如破竹，难题再也不难．胆大心细，从容面对．信心自然就会油然而生，源源不断．人人都有可能成为尖子，日常学习中，努力配合老师，配合合适的练习，并做到以上几点，你将会觉得：数学原来如此好玩、有趣，不知不觉中你已经是个尖子生了．相信自己：我行，肯定行！

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