中考压轴｜几何动态问题系列（2）——与正方形相关
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【图文解析】分两种情况：当DE：CE＝1：3时，如下图示：
=（18√17）/17．当CE：DE＝1：3时，如下图示：
【例2】如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF＝9的点P的个数是（ ）．
A．0 B．4 C．6 D．8不难得，当点P落在正方形ABCD的顶点B和D，PE+PF的长最大，且为4√10．当点P落在正方形ABCD的顶点A、C处时，PE+PF＝4+8＝12．如下图示．
【例2】已知E是边长为1的正方形ABCD对角线BD上的一个动点,点E从D点向B点运动（与B、D不重合），过点E的直线MN平行于DC，交AD于M，交BC于N，EF垂直于AE于E，交CB(或CB的延长线)于F 问：
(1)如图1，求证：△AME≌△ENF；
(2)点E在运动的过程中（图1、图2），四边形AFNM的面积是否发生变化，说明理由.
图文解析：
（1）下图示，不难证得：∠1＝∠2，∠AME＝∠FNE＝90°，因此要证△AME≌△ENF，只需再证一对应边相等即可。
根据正方形的性质（对角线平分每一组对角），可以添加下图的辅助线证明AM＝EN.具体如下：
先证四边形AGEM是矩形，得到AM＝EG，再利用角平分线的性质，可得：EG＝EN。从而本小题得到证明（详细书写过程略去）.
（2）由（1）的结论可证得AE＝EF，得到△AEF为等腰直角三角形.
当点E在BD上运动时，观察下列图形变化，始终保持：△AME≌△ENF且△AEF是等直角三角形.
观察动态演示：（不能点击，只能自动演示）观察四边形AFNM的面积变化，同时关注特殊情况下的面积如何计算，及与一般情况的面积有何联系？
解法一：设元——设而不求.直接利用梯形面积公式.
解法二：：设元——设而不求.利用四边形ABMN的面积＋（或－）△ABF的面积.
（上述两种解法——其实是同一种解法，都用上了设元，同时又“设而不求“.这是数学最常用的解题思想——方程思想，务必要熟练掌握.）
（说明：拓展二，要用到相似，不可用全等来解决）
拓展一：当点D地BD的延长线上或DB的延长线上时，如下图示：
第一小题的结论仍然成立，第2小题有类似的结论是：图中阴影部分的面积和为0.5（定值）.试试看，你会解吗？
拓展二：（属于九年级的，八年级学生先不必阅读和思考）四边形ABCD改为”长宽分别为4和2，且设AM＝x，其他条件不变，如下图示.则第（1）结论为相似；（2）第二问面积显然不会保持不变，但可以用含x的函数关系式表示△AEF的面积，试试看！
（提示：用相似及性质或三次勾股解题——较难！）.
【例4】如图,AC是正方形ABCD的对角线.点E为射线CB上一个动点(点E不与点C,B重合),连接AE,点F在直线AC上,且EF=AE.
（1）点E在线段CB上，如图1所示；
①若∠BAE=10°，求∠CEF的度数；
②用等式表示线段CD，CE，CF之间的数量关系，并证明．
（2）如图2，点E在线段CB的延长线上；请你依题意补全图2，并直接写出线段CD，CE，CF之间的数量关系．
图文解析：
（1）①不难求得：∠CEF＝10°（＝∠BAE，非偶然，是必然，下面给予简单证明）..由∠BAE＝∠BAC－∠CAE＝45°－∠CAE，而（在△CEF中）∠CEF＝∠ACB－∠F＝45°－∠F，又由EF＝AE可得：∠CAE＝∠F，从而得到∠CEF＝∠BAE（这个结论在后面的证明常用到）.下图示。
②下面给出六种不同的解法：
解法一：在AB上截取BG＝BE，连接EG，下图示：
不难得到：∠AGE＝∠ECF＝135°，AG＝CE（因AB＝BC，BG＝BE），又由①证得：∠BAE＝∠CEF，从而可得到：△AGE和△CEF全等，所以CF＝EG，同时△BGE是等腰直角三角形，进一步得到：BE＝2分之根2GE＝2分之根2CF，又CD＝BC＝CE+BE＝CE+2分之根2CF，即线段CD，CE，CF之间的数量关系三者关系为：
解法二：过F点作FG⊥BC交BC的延长线于G，下图示：
根据∠B＝∠G＝90°，∠BAE＝∠CEF（上述已证）和AE＝EF，可以证得△ABE和△EFG，得到：FG＝BE，同时△CFG为等腰直角三角形，有FG＝2分之根号2CF，即BE＝2分之根号2CF，……（下同）.
（上面两种证法属于常规证法）
解法三：延长AB至G，使BG＝BE，连接EG和CG，（相当于△ABE绕B点顺时针旋转90°，得到△BCG），下图示：
不难证得：△ABE和△CBG，得到∠BAE＝∠BCG，而∠BAE＝∠CEF（上已证），所以∠BCG＝∠CEF，同时∠CEG＝∠ECF＝135°，CE＝EC，从而△CEG和△ECF全等，得到GE＝CF，同时△BEG为等腰直角三角形，进一步得到BE＝2分之根号2GE＝2分之根号2CF，下同…….
解法四：将△AEG绕E点顺时针旋转90°得到△HEG，下图示：（证明与上述情况类似，下面简写分析过程）.
由旋转可得到：BE＝AE＝EF，EC＝EG，∠AEH＝90°，同时不难证得：∠CEH＝∠BAE＝∠CEF，进一步又可证明△CEF和△CEH全等，（下图示）
从而∠CH＝CF，且CEF＝∠ECH＝135°，又∠ECG＝45°，得到∠GCH＝180°，从而G、C、H三点共线，所以：
（其实证法三和四，用的旋转的方法进行转化，下面用对称的方法继续探索）
解法五：作△CEF关于CE对称得到△CEG，连接AG.（下面看图示，不做详细说明）
解法六：（类似解法五）
（3）同样也有类似的六种解法：（下面以图形形式介绍）
结论是：
解法一
解法二
解法三
解法四
解法五
解法六
反思1：本题其实就是课本的一道试题进行变式得到的：
是这么变形来的——对称：
（本公众号前面文章“一道精典的几何证明题的多种证题思路与拓展”有这题的详细变式）
反思2：将上述正方形分别改为其他的正多形，解法与结论类似：
（试试看！，其中等边三角形、正方形和正六边形时，八年级学生可以做的，其他正多边形九年级学生才可完成）
等边三角形时：
正五边形时：
正六边形时：
其实，E在直线BC上的任何位置均可，均有类似的结论，均有六种解法。（上述没给出E点BC的延长线上，主要原因图形的版面太大）
答案：对于正n边形，结论是：E在BC边上时，CD＝CE+CF除以（2cos180°/n）；E在CB延长线上时，CD＝CE－CF除以（2cos180°/n）；E在BC延长线上时，CD＝CF除以（2cos180°/n）－CE.
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