中考压轴｜《圆》专项（1）

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例1.如图,⊙O的直径AB=10,弦AC=6,∠ACB的平分线交⊙O于D,过点D作DE∥AB交CA延长线于点E,连接AD,BD.

（1）由AB,BD,弧AD围成的曲边三角形的面积是          ；

（2）求证：DE是⊙O的切线；

（3）求线段DE的长.

【图文解析】(1)   简析：由CD为∠ACB的平分线,∠AOD=∠BOD=90°, 连接OD.由直径AB=10,所以r=5,由AB,BD,弧AD围成的曲边三角形的面积,即为图中阴影部分面积.即S_阴影=S_扇形AOD+S_△BOD=1/4×πr²+1/2r²=25π/4 +25/2.

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（2）要证DE是⊙O的切线,只需证得∠ODE=90°,∵DE∥AB,∠AOD=90°,∴∠ODE=90°,即DE是⊙O的切线.

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（3）过点A作AF⊥DE于点F,在正方形OADF中，DF=r=5;∵AB=10,AC=6,∠ACB=90°∴BC=8,△ AFE∽△BCA.即EF/AC=AF/BC,∴EF= AC×AF/BC　　=6×5/8=15/4;∴DE=DF+EF=35/4.

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例2.如图，AB、CD是⊙O的直径，BE是⊙O的弦，且BE∥CD，过点C的切线与EB的延长线交于点P，连接BC．

（1）求证：BC平分∠ABP；（2）求证：PC²=PB•PE；（3）若BE﹣BP=PC=4，求⊙O的半径．【图文解析】（1）此题有“平行”、“角平分线”，想到初二学习等腰三角形“角平分线遇平行必有等腰”时的基本图形（如图1）于是，就在复杂的图形中分解出基本图形（如图2），此题得证。

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（3）诈看此题，无从入手。仔细观察后发现：BP、PC在第（2）小题的结论中出现，于是想到：前面的结论经常会是后面题目的台阶。于是，设PB=x,则EB= x+4, PE=2x+4,代入

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【反思】第（3）小题，诈看，无从入手。但仔细观察后发现：BP、PC在第（2）小题的结论中出现，于是想到：前面的结论经常会是后面题目的台阶。于是，设PB=x,…，几何题目代数解,最后用相似、对应边成比例解之.例3.(2017·甘肃兰州)如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，弦AF交BC于点E，延长BC到点Ｄ，连接OA，AD，使得∠FAC＝∠AOD，∠D＝∠BAF.

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为5，CE=2，求EF的长.

例4.如图，AB是⊙O的直径，弧AC=弧BC，AB=2，连接AC．

（1）求证：∠CAB=45°；

（2）若直线l为⊙O的切线，C是切点，在直线l上取一点D，使BD=AB，BD所在的直线与AC所在的直线相交于点E，连接AD．

 ①试探究AE与AD之间的是数量关系，并证明你的结论；

②EB/CD是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

【图文解析】
（1）简析：45⁰的角，联想到“等腰直角三角形的两锐角”或“直角的一半”等。法一：如下图示，由弧AC=弧BC得∠AOC＝∠BOC＝180⁰/2＝90⁰，又根据“圆周角定理”知：∠CAB＝1/2∠BOC＝90⁰/2＝45⁰（或根据等腰三角形的性质：OA＝OC，∠CAB=∠CBA=90⁰/2＝45⁰）. 

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法二：如下图示，连接BC，由AB是⊙O的直径，得∠ACB=90°，又由弧AC=弧BC，得AC=BC，所以∠CAB=∠CBA=(180⁰-90⁰)/2＝45⁰.

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（2）根据“点D的位置”不同，可分为下列两种情况：

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第一种情形：当D在C左侧(即∠ABD为锐角)时，如下图示，

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首先，根据切线的性质和等腰直角三角形的性质不难证明CD∥AB。如下图示：

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其次，由BD=AB(是直径)=2OC(与半径相关联)=2×半径……，由此可大胆地猜想：如果将“这种关系”在同一三角形(尤其是直角三角形)中构造出来，结合三角函数的定义，又可得到：角之间的相关结论；如下图示，

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易证四边形OCDF是矩形，得DF=OC(设半径为R)，而BD=AB=2R，在Rt△BDF中，由sinB=R/2R=1/2，得到∠B=30⁰.或：类似上述思路可证得∠BDF=30⁰，进一步得到∠ABD=30⁰.
回到△ABD中，不难得到(如下图示)：同时，根据“三角形的一个外角可以等两个不相邻的内角和”又可得到：

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因此，∠ADE=∠AED=75⁰，所以AD=AE，如下图示：至此，第①小题得到解决。

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第二种情形：
当D在C右侧(即∠ABD为钝角)时，如下图示，类似第一种情形，简析如下：  从而∠E=∠ADE=15⁰，因此AD=AE.

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下面，分析第②小题

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第一种情形：
当D在C左侧(即∠ABD为锐角)时，如下图示，
从上面的分析，可以发现AB∥CD，∠B=∠CAD=30⁰，因此可以得到与CD、BE相关的多对两三角形相似，而CD、BE又与半径有密切的联系.可先考虑△CAD和△BAE，如下图示，

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得到△CAD∽△BAE，所以CD：AE=AC：AB=1：根号2，得

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在△ABE中，如下图示，具备三个元素，显然△ABE可通过  “添加高线转化为直角三角形”可解(用a的式子表示)，即可求得BE的长(用a表示).
在不影响两特殊角的情况下，可通过E点添垂线段，如下图示：得到BE=2a=2CD.
所以BE：CD=2.

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第二种情形：
当D在C右侧(即∠ABD为钝角)时，如下图示，类似第一种解法，简析如下：

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【反思】本题有多对三角形相似，由此得到的比例式非常丰富。如下图示：说明：如果将边AB和AD删除，就相当于两等腰直角三角形绕点B旋转任意角度。

例5.如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是弧CBD上任意一点，AH=2，CH=4．

（1）求⊙O的半径r的长度；

（2）求sin∠CMD；

（3）直线BM交直线CD于点E，直线MH交⊙O于点N，连接BN交CE于点F，求HE•HF的值．

【图文解析】（1）简析：方法一：如下图示，在Rt△COH中，由勾股定理，得r²=4²+（r﹣2）²，解得：r=5．

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方法二：如下图示，不难得到∠A＝∠1.分别在Rt△ACH和Rt△BCH中，由tan∠A＝CH/AH＝CH/BH＝tan∠1，得4：2＝（2r－2）：4.解得r=5.

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方法三：如下图示，
通过△ACH∽DBH，得AH：DH＝CH：BH，即2/4＝4/（2r－2）…….

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（2）如下图示，点M在运动过程中，∠CMD的度数始终保持不变。由于∠CMD无法确定具体的度数，因此要求sin∠CMD的值，必须建立一个含“与∠CMD相等”的角的直角三角形，然后通过三角函数的定义求出。

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 法一：根据圆周角定理和相关结论，可添加如下图所法的辅助线，得到直角.不难证明sin∠CMD＝sin∠CPD.同时在Rt△CPD中，sin∠CPD＝CD/PD，如下图示：所以sin∠CMD=sin∠COA=4/5.

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法二：根据圆周角定理，可以将∠CMD转化为圆心角，如下图示：
由CD⊥AB，AB为直径，根据垂径定理和等腰三角形的性质，得∠CMD=0.5∠COD=∠AOC.所以sin∠CMD=sin∠COA=CH/OC=4/5.如下图示：

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（3）如下图示，本题图形繁杂，务必分清哪些是我们所需要的线，同时我们要求的是“HE•HF的值”是一个乘积式，这种形式的值的求法往往通过“相似”或“面积”或“函数”等转化，显然本题后两种解决起来困难重重，因此通过“相似”转化为“比例式”，如下图示：不难证明△MHE∽△FHN，得HE/HN=HM/HF，根据比例性质，可得HE•HF=HM•HN(这时已经转化到圆中的相关线段的乘积形式).类似地，继续将HM•HN转化其他乘积式(往已知方向转化)，如下图示，不难证明△AMH∽△NBH，得到HE/HN=HM/HF，根据比例性质，可得AH•BH=HM•HN.
综上所述，得HE•HF=AH•BH=2×8=16.

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【反思】常用“相似”将“乘积式”转化为“比例式”的数学思想是解决相似相关问题的重要方法，解题时，可尽量将未知量(或所求的量)往已知图形或已知量方向进行转化．

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