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【例1】如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BAD=90°，AC为直径，过点A作圆O的切线交CB的延长线于点E，过AC的三等分点F（靠近点C）作CE的平行线交AB于点G，连结CG．（1）求证：AB=CD；（2）求证：CD2=BE•BC；（3）当CG=√3，BE=9/2时，求CD的长．
【图文解析】(1)本题中圆O起到的作用是提供三个等于90°的角，它们分别是直径所对的圆周角∠ABC与∠ADC以及切线与其对应的直径所形成的弦切角∠EAC。（2）本题中涉及到的是以下几个基本图形：
（3）根据三个角是直角的四边形是矩形证明四边形ABCD是矩形，可得结论；（4）证明△ABE∽△CBA，列比例式可得结论；（5）根据F是AC的三等分点得：AG=2BG，设BG=x，则AG=2x，代入（4）的结论解出x的值，可得CD的长．【反思】本题是圆和四边形的综合题，难度适中，考查了圆周角定理、切线的性质、矩形的性质和判定、三角形相似的性质和判定、勾股定理等知识，并利用方程的思想解决问题（3）.
【例2】已知：AB是⊙O的弦，点C是弧AB的中点，连接OB、OC，OC交AB于点D．
（1）如图1，求证：AD=BD；（2）如图2，过点B作⊙O的切线交OC的延长线于点M，点P是弧AC上一点，连接AP、BP，求证：∠APB﹣∠OMB=90°；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DP、MP，延长MP交⊙O于点Q，若MQ=6DP，sin∠ABO=3/5，求MP/MQ的值．
【图文解析】
（1）连接OA、OB，由垂径定理和圆周角定理可得.
（2）角度的加减问题（线段亦同），必然涉及等量代换，将大角切成两个小角，或将两个小角拼成一个大角，这也就是数学里最基本的转化思想.
那么，可以有哪些尝试呢？l 从大角∠APB入手，切出一个90°（∠APB=∠OMB+90°）
l 从小角90°入手，补出一个∠OMB（90°= ∠APB -∠OMB）
【分析】教学中不必太强求答案，多花点时间在路径的尝试上．
（3）在动点问题上，要明确主从动点的关系. 在本小题中，点P是主动点，Q点就是从动点. 要理清MP/MQ的值，先理清主动点引发的线段间的关系. 借助几何画板，可以发现：MP/PD的值，在整个运动过程中是个定值，从而为我们的转化提供了很好的元素.
图形的整体等量代换无非三种方式：平移、旋转、轴对称.平日练习时，要有意识教会学生去尝试，考场中才能做到游刃有余.
【反思】看似无从入手的题目，其实隐藏在最常用的模型之中，不急不躁，细心回归本质，方得始终.【例3】如图，CD是⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，直线AB与CD的延长线相交于点A，AB2＝AD·AC，OE∥BD交直线AB于点E；OE与BC交于点F，（1）求证：直线AE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，cosA=4/5，求OF的长．
【图文解析】简析：思路分析：(1)从结论看，要证明直线AE是⊙O的切线由条件中：点B在⊙O上，直线和圆有公共点，连半径，证垂直，连接OB证明OB⊥AE。(2)CD是⊙O的直径，∠2+∠3=90度（3）“及∠A为公共角”可以依据“两边对应成比例且夹角相等”证明△ABD∽△ACB,∠1=∠C；
（4）圆的半径相等:OC=OB,得
∠C=∠2，所以∠1=∠2，∠1+∠3=90度OB⊥AE
【反思】
证明切线常用的方法：（1）有公共点，连半径证垂直；无公共点，作垂直证半径。（２）直径所对的圆周角是直角；圆的半径相等是圆中常常隐含条件。（2）若⊙O的半径为3，cosA=4/5， 求OF的长．【图文解析】简析：思路分析：(1)圆中隐含圆心是直径的中点，加上条件中OE∥BD交直线AB于点E，可得OF是△ CBD的中位线.OF＝BD/2
(2) ⊙O的半径为3，cosA=4/5
OA=5,由等角的余角相等，可以得到∠A=∠OBM,在直角三角形ＯＢＭ中过点B作MB⊥OA，于点Ｍ.
【反思】本题中隐含圆心是直径的中点ＯＦ是三角形ＣＢＤ的中位线，等于ＢＤ的一半，求线段ＢＤ长引导学生作垂线。
【例4】如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上（不与点A，B重合），点D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G，设∠GAB=ɑ，∠ACB=β，∠EAG+∠EBA=γ，（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据： 猜想：β关于ɑ的函数表达式，γ关于ɑ的函数表达式，并给出证明：（2）若γ=135°，CD=3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．
图文解析
（1）由表格中的数据规律，不难猜想：β=α+90°，γ=﹣α+180°.下面分析证明：β=α+90°的证明，如下图示：
γ=﹣α+180°的证明，如下图示：
（2）由（1）及γ=135°可知∠BOA=90°，∠BCE=45°，∠BEC=90°，由于△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，所以AE：AC＝4：1，进一步地，可得到：
在Rt△AOB中，可得R＝5.反思：本题涉及到较多知识点，如：圆周角定理，垂直平分线的性质、解直角三角形及特殊角的相关结论等知识，综合程度较高，需灵活运用所学知识。【例5】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．（1）求证：直线DM是⊙O的切线；（2）求证：DE2=DF•DA．
【图文解析】(1)经典弦切角模型，证法颇多，一法如下：因D在圆上，只需连接OD，证明OD⊥MD即可，图解如下：
（2）显然这与相似有关，又D、E、F、A四点共线，可以转化线段的证明：观察到DF·DA，可以考虑反A相似，恰图中存在这样的基本图形，图解如下：
【反思】1、本题主要涉及的是共线段乘积的转化，应该明确构造相似基本图形的常用方法.2、这题来自于课本课后练习，应该说是一道很出色的题目，但本题难度偏小，作为中考倒二略显失色，乃纯证明考查.
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