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【例1】如图，已知☉O的半径长为1，AB、AC是☉O的两条弦，且AB=AC，BO的延长线交AC于点D，联结OA、OC.
(1)求证：△OAD∽△ABD；(2)当△OCD是直角三角形时，求B、C两点的距离；(3)记△AOB、△AOD、△COD的面积分别为S1、S2、S3，如果S2是S1和S3的比例中项，求OD的长.
【图文解析】（1）法一：如下左图示，由OB＝OA＝OC得：∠1＝∠3＝0.5(180°－∠AOB)，∠2＝∠4＝0.5(180°－∠AOC)；又AB＝AC得∠AOB＝∠AOC，所以∠2＝∠3，又∠AOD＝∠AOD，从而△OAD∽△ABD.
法二：如上右图，作直径AE.由AB＝AC得弧AB＝弧AC，根据“圆的对称性”知弧BE＝弧CE，得∠1＝∠2，又OA＝OB得∠1＝∠3，所以∠2＝∠3，下同…….（2）分两种情况：当∠CDO＝90°，如下图示，不难得到△ABC为等边三角形.
当∠COD＝90°，如下图示，不难得到△BOC为等腰直角三角形……，
因OA＝OC，∠OCD＝∠OAC，由三角形定理知，2∠OCD＝∠OCD+∠OAC＜180°，从而∠OCD不可能为90°.
综上所述，所求的BC＝√3或√2.（3）（注：新人教版课本中没有“比例中项”和“黄金分割”等概念及相关知识属于阅读内容）
另一方面，
反思：本题中的第3小题，将三角形中的面积相关（等高）的常见结论、黄金三角形（有关性质与结论）、与比例相关知识完美地融合在一起，在圆的背景下，图形不但简洁美观，而且隐藏动感（动态）之美、计算之美，同时又可以无限扩展，可以将更多的圆的相关知识融入其中。
【例2】如图，已知AB、CD为⊙O的两条直线，DF为切线，过AO上一点N作NM⊥DF于M，连结DN并延长交⊙O于点E，连结CE．
（1）求证：△DMN∽△CED；（2）设G为点E关于AB对称点，连结GD、GN，如果∠DNO＝45°，⊙O的半径为3，求DN2＋GN2的值．
【图文解析】
（1）由DF为⊙O切线，可得直径CD⊥DF，又NM⊥DF，可证MN∥CD，即有∠DNM＝∠EDC；由CD为直径，可得∠DEC＝90°＝∠NMD，即可得△DMN∽△CED．
切线的性质与直径所对的圆周角是90°，是圆的问题中常见的两个工具．
【思路2】由CD⊥DF可得∠FDE＋∠EDC＝90°，由∠DEC＝90°可得∠EDC＋∠C＝90°，同角的余角相等，即有∠C＝∠NDM，亦可证明全等．
该思路的落脚点是弦切角定理的证明．
（2）由∠DNO＝45°，可知对顶角∠ENA＝45°，由对称性可证∠GNA＝45°、GN＝EN，即有∠GND＝90°＝∠GNE，连接GE，则有∠EGN＝∠GED＝45°，题中要求DN2＋GN2的值，由勾股定理即是求GD2．题中只给出半径为3，思考，将半径（或直径）与GD联系．【思路1】连接OG，∴∠GOD＝2∠GED＝90°，根据勾股定理GD2＝GO2＋DO2＝18．
【思路2】连接CG，∴∠GCD＝∠GEN＝45°，∠CGD＝90°，∴∠CDG＝45°，即△GDC为等腰直角三角形，即可得CD2＝GD2＋CG2＝2GD2＝36，故GN2＋DN2＝GD2＝18．
【反思】同弧或等弧所对的圆周角相等，圆心角和圆周角的数量关系，在圆的证明和计算中，一定要时刻留意图中是否有这样的信息，并加以利用．【例3】如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，点D在⊙O上，OD∥BC，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CD交OE边于点F．（1）求证：△DOE∽△ABC；（2）求证：∠ODF=∠BDE；（3）连接OC，设△DOE的面积为S1，四边形BCOD的面积为S2，若S1：S2＝2：7，求sinA的值．
【图文解析】
（1）简析：如下图示：
（2）法一：如下图示，
由△DOE～△ABC可得∠A＝∠ODE=∠1+∠3，又∠A＝∠BDC=∠2+∠3（根据“同弧所对的圆周角相等”），所以∠1+∠3＝∠2+∠3，得∠1＝∠2，即∠ODF=∠BDE.
法二：如下图示，
由垂径定理得弧BD＝弧BG，进一步得∠2＝∠4，又由OD∥BC得∠1＝∠4，所以∠1＝∠2，即∠ODF=∠BDE.
法三：如下图示，
不难证得：∠2＝∠5，而∠5＝∠4，得∠2＝∠4，又由OD∥BC得∠1＝∠4，所以∠1＝∠2，即∠ODF=∠BDE.
（3）法一：如下图示，
由△DOE∽△ABC得S△DOE：S△ABC＝(OD：AB)2=1:4，得到S△ABC =4S1，又因OA＝OB，得S△BOC =2S1.
另一方面，由已知S1：S2＝2：7可设S1＝2a，则S2＝7a，S△BOC =2S1＝4a.进一步得到：S△BOD =3a. S△BOE =a.如下图示：
所以S△DOE：S△BDE =2a：a＝2：1=OE：BE（因E在OB上）.
若设BE＝t，则OE＝2t，OD＝OB＝3t，在Rt△DOE中，sin∠ODE＝2t/3t=2/3，并且由（1）可得：∠A＝∠ODE，因此sinA=2/3.法二：如下图示，
S1＝S△DOE＝0.5Rsinα×Rcosα
=0.5R2 sinα·cosα.而S2＝S四边形BCOD＝S△BOD+ S△BOC＝0.5R·Rcosα+0.5·2Rsinα·Rcosα.= 0.5R2 cosα+R2sinα·cosα.所以
( 已知S1:S2＝2:7)
解得sinα=2/3即sinA=2/3.【反思】本题的第2小题的3个解法和第3小题的2个解法，都很有代表性，都值得深思．
【例4】在平面直角坐标系中的点和图形，给出如下的定义：若在图形上存在一点，使得两点间的距离小于或等于1，则称为图形的关联点．（1）当的半径为2时，②点在直线上，若为的关联点，求点的横坐标的取值范围．（2）的圆心在轴上，半径为2，直线与轴、轴交于点．若线段上的所有点都是的关联点，直接写出圆心的横坐标的取值范围．【图文解析】（1）①根据“关联点”的定义，符合条件的点P必在如下图所示的以O为圆心以1和3为半径的两同心圆组成的圆环（含边界）上，通过计算不难得到：OP1<1，OP2＝1，OP3＞1，所以答案应选：P2和P3.
②类似地，符合条件的点P既在直线y=－x上，又在以O为圆心，以1和3为半径的两同心圆组成的圆环内（含边界），即点P就在如下图中的两条红色线段（含端点）上。
因此只需求出其中红色线段的各个端点对应的横坐标，即可得到答案。下面仅以一个端点的求法图文解析（如下图示），其他类似。
相应地，
（2）从“关联点”的定义和上述分析可知：若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，则整条线段AB必须落在以C为圆心，半径分别为1和3的两同心圆组成的圆环内（含边界）。符合条件圆心C的特殊位置如下：右侧时： 此时圆心C的运动范围如下图示：此时圆心C的运动范围如下图示：
由以上分析，可知：只需求出对应的C1、C2、C3、C4点的横坐标即可得到相应的取值范围.
不难得到A（1，0），B（0，1）.下面求C3、C4的横坐标。添加如下图示的辅助线：反思（1）理解新定义的概念（从“数与形”的角度全方位理解）；（2）画出相应符合条件的图。
【例5】如图示AB为⊙O的一条弦，点C为劣弧AB的中点，E为优弧AB上一点，点F在AE的延长线上，且BE=EF，线段CE交弦AB于点D．①求证：CE∥BF； ②若BD=2，且EA：EB：EC=3：1：√5，求△BCD的面积（注：根据圆的对称性可知OC⊥AB）．
【图文解析】
（1）由于我们想要证明的是CE//BF，而BE=BF，由这种条件和结论启发我们想到“平分线，平行线，等腰三角形”知二证一，由C是弧的中点，∴∠AOC=∠BOC，利用圆周角定理可得∠1=∠2，而BE=EF，∴∠3=∠4.
∴∠1+∠2=∠3+∠4.∴∠2=∠3，∴CE//BF.②方法1:由这里的EA:EB:EC=3：1：√5比例关系，且BD=2，∴解决问题的关键必然是要利用相应三角形的相似来求出BD边上的高，∴由圆周角定理：可以得到∠1=∠2=∠3=∠4=∠5：这里就产生了一个与条件相关的“子母型”相似：
方法2：求AD的长度我们还有另一种方法，是利用角平分线的分线段成比例定理（证明见反思），∵ED是△ABE的平分线：∴，∴DA=6，后面的过程与方法1类似.【反思】本题综合考察了垂径定理以及子母型相似，利用已知条件找到目标三角形是解决问题的关键.角平分线的分线段成比例定理的证明：
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