中考压轴｜《圆》专项（4）

Original 永泰一中张祖冬初中数学延伸课堂 2022-07-16

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【例1】已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，C是⊙O上的点，AC∥OP，M是直径AB上的动点，A与直线CM上的点连线距离的最小值为d，B与直线CM上的点连线距离的最小值为f.

(1)求证：PC是⊙O的切线；

(2)设OP=1.5AC，求∠CPO的正弦值；

(3)设AC=9，AB=15，求d+f的取值范围.

【图文解析】

(1)显然图中的点C是明确的(在圆O上)，要证PC是⊙O的切线，只需连接OC，证OC⊥PC即可，如下图示：

(本题解法多种，下面仅提供两种)

方法一：如下图示，

由“PB是⊙O的切线”得∠OBP=90°，再通过∠OCP=∠OBP=90°可证.

方法二：如下图示，

由“PB是⊙O的切线”得∠OBP=90°，再通过△POC≌△POB，得到∠OCP=∠OBP=90°.可证.

(2) 由OP=1.5AC，可设AC=2t，则OP=3t.可添加如下图所示的辅助线：

显然图中，有一个最基本且重要的基本图形(“母子三角形”)，显然有∠1=∠2.

在Rt△OCP和Rt△PCQ中，tan∠1=CQ:PQ=tan∠2=OQ:CQ，

即CQ:2t=t:CQ，解得CQ=√2t.

根据勾股定理，又可得到：

(3) )当AC=9，AB=15时，画出相应的几何图形(对应的相关距离 d和f)，如下图示：

由图中的彩色部分基本图(“8”形)，结合与“直角和圆”相关联，不难得到：可添加如下图的辅助线。

易证得四边形AEDF是矩形(三个角是直角)，所以AE=DF，从而d+f=BF，因此求d+f的取值范围，就是求BF的取值范围。

由于此时C点是固定(因AC=9)的，而M为直径AB上的动点，对应的CM就是动直线，当动直线变化时，对应的点F的变化范围如下图示：

其中BF的最大值和最小值的所在点是：

此时BF=AC=9.

此时BF=AB=15.

(另：在如下图的位置时，

此时BF=BD=12).

所以9≤d+f≤15.

【例2】如图在平面直角坐标系中，直线y=-3/4x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P、Q同时从点A出发，运动时间为t秒．其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位长度，点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位长度．以点Q为圆心，PQ长为半径作⊙Q．

（1）求证：直线AB是⊙Q的切线；（2）过点A左侧x轴上的任意一点C（m，0），作直线AB的垂线CM，垂足为M．若CM与⊙Q相切于点D，求m与t的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）；（3）在（2）的条件下，是否存在点C，直线AB、CM、y轴与⊙Q同时相切？若存在，请直接写出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．

【图文解析】
(1)简析:由直线y=-3/4x+3可求得A(4,0),B(3,0),AB=5；根据P、Q两点的运动速度知：AP=4t,AQ=5t;∴△PAQ∽△OAB.∴∠APQ=∠AOB=90°.即直线AB是⊙Q的切线.

【反思】只要证明△PAQ∽△OAB,即可推出∠APQ=∠AOB=90°,QP⊥AB,即证得AB是⊙O的切线;
（2）简析:①如下图,当直线CM在⊙Q的左侧与⊙Q相切时,设切点为D₁,则四边形PQ D₁M是正方形.PQ=DQ=3t,CQ=5/4•3t=15t/4,∵OC+CQ+AQ=OA,即m+15t/4+5t=4,∴m=4-35t/4.

②如下图,当直线CM在⊙Q的右侧与⊙Q相切时,设切点为D₂,则四边形PQ D₂M是正方形.
∵OC+AQ-CQ=4,即m+5t-15t/4=4,∴m=4-5t/4.

（3）简析:以下分类为⊙Q在y轴的左侧(右侧)与y轴相切两种情形讨论.①如下图，当⊙Q在y轴的右侧与y轴相切时,∵OQ+AQ=OA,即3t+5t=4,解得t=0.5,由(2)可知m=4-35t/4,∴m=﹣3/8或27/8．

②如下图,当⊙Q在y轴的左侧与y轴相切时,

∵OQ+OA=AQ,即5t-3t=4,解得t=2,由(2)可知m=4-5t/4,∴m=-13.5或1.5.

综上所述，满足条件的点C的坐标为(-8/3,0)或(27/8,0)或(-13.5,0)或(1.5，0).

【例3】如图，已知抛物线y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的图象的顶点坐标是（2，1），并且经过点（4，2），直线y＝1/2x＋1与抛物线交于B，D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点M（t，1），直线m上每一点的纵坐标都等于1．

（1）求抛物线的解析式；
（2）证明：⊙C与x轴相切；（3）过点B作BE⊥m，垂足为E，再过点D作DF⊥m，垂足为F，求BE∶MF的值．【图文解析】（1）由于图象的顶点坐标为（2，1），故可设抛物线的顶点式为y＝a(x－2)²＋1，将（4，2）代入，即可求得a＝1/4，故抛物线的解析式为y＝1/4(x－2)²＋1．（2）要证明⊙C与x轴相切，则需证明C到x轴的距离恰好等于半径，其中，半径长为直径BD的一半，C到x轴的距离即为C点的纵坐标（点C在x轴上方）．因此首先要求出B、C、D三点的坐标．联立直线解析式与抛物线解析式，得

【思路2】联立得x²－6x＋4＝0，Δ＝(－6)²－4×1×4＝20＞0，设B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则x₁＋x₂＝6，x₁x₂＝4，∴C点的横坐标为3，∴C（3，5/2），故点C到x轴的距离为5/2.

该种思路偏向高中解题思维，利用根与系数的关系，由勾股定理得列式，从代数的变化上代入计算求值．（3）该问本质是圆中的计算证明，利用平面直角坐标系提供了一些线段的长度．

【例4】已知AB是⊙O的直径，C是圆上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，如图①．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB=10，AC=6，求BD的长；（3）如图②，若F是OA中点，FG⊥OA交直线DE于点G，若FG=19/4，tan∠BAD=3/4，求⊙O的半径．[来

【图文解析】
(1)连接OD，欲证DE是⊙O的切线，即证∠ODE=90°.在该图形中有角平分线(∠1=∠2)、等腰三角形（△OAD）、及平行（OD∥AE），想到初二学习等腰三角形“角平分线遇平行必有等腰”时的基本图形（如图1）

∵∠1=∠2，∠1=∠3∴∠2=∠3.∴OD∥AE…于是，命题得证.（2）看到AB=10，AC=6，应当快速想到Rt△中“3、4、5；6、8、10；5、12、13”等这些“敏感”的勾股数，于是连接BC，则有Rt△ABC（如图2）