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中考前两月,还需哪些解题习惯——深度审题练习

高晓晴 张祖冬 初中数学延伸课堂 2022-07-16

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中考前两月,还需哪些解题习惯

——深度审题练习


一段对话:数学张老师在教列方程解应用题时张问:“拿到题目后第一件事是干什么?”有的学生答:“设未知数”,有的答:“写解字”,……张老师大吼一声:“读题!” 一个实验解题时先让学生独立阅读,然后要求学生用自己的话讲解题目的意思。有的学生只会复读一遍,像复印机的功能,未达到理解;有的学生词不达意,毫无头绪地表达;有的学生用自己的语言进行概括要点,回答清晰明了,一下子抓住了题目的本意。对问题理解的程度差异显而易见。 二八定律:要用80%的时间来研究问题,再用20%的时间来解决它。这80%对于解题来说,就是审题,形成相关问题的“心理表征”。问题表征是指解题者通过审题,认识和了解问题的结构,通过联想,激活头脑中与之相关的知识经验,从而形成对所要解决的问题的一种完整的形象。所谓审题,就是审清题意,弄清题目内容,弄清已经知道什么以及要求(要证)什么。审题是解题的前提,是正确解题的关键之一,不认真审题就无法进行分析与推理。 审题要素审文字、审图形、审符号对试题进行逐字逐句的全面“翻译”(三种语言的自如转化),充分“联系“(串联定理,数形结合),激活“思维“(转化问题,正逆向思考)

一个案例下面通过2019年厦门九下二检倒一试题进行分析:【厦门二检】在平面直角坐标系xoy中,已知点A.若对点A作如下变换:第一步:作点A关于x轴的对称点A1;第二步:以O为位似中心,作线段OA1的位似图形OA2,且相似比OA2/OA1=q,则称A2是点A的对称位似点.(1)若A(2,3),q=2,直接写出点A的对称位似点的坐标;(2)已知直线l:y=kx-2,抛物线C:.点N在直线l上.①当k=1/2时,判断E(1,-1)是否为点N的对称位似点,请说明理由;②若直线l与抛物线C交于点M(x1,y1)(x1≠0),且点M不是抛物线的顶点,则点M的对称位似点是否可能仍在抛物线C上?请说明理由.


从宏观到微观1宏观方向:•看问题:题干背景+两个大问题+第二大问题的两个分支小问题(1)题干背景是考查什么方向?(2)两个大问题之间关系是什么?两个分去小问题的方向是什么,关系是怎样的?•看形式:有文字和符号,没有图形补充形式:可否作出图形,需要做几个图形?怎样画图?2、微观方向按顺序读题,逐字逐句翻译题干解读:原文在平面直角坐标系xoy中,已知点A.若对点A作如下变换:读出题意:坐标系背景下:(养成好习惯)建立坐标系,此时的点尚未确定,可理解为动点,另外此语句也道出的试题背景,新定义或阅读理解的开始.原文作点A关于x轴的对称点A1……读出题意:点A与点A1的坐标特点:横坐标相同,纵坐标相反,即若A(a,b),则A1(a,-b),其中a、b是任意实数.在坐标系表示时,点A和点A1可以在任意象限或坐标轴上,若连接AA1,则有AA1垂直平分x轴.
原文以O为位似中心,作线段OA1的位似图形OA2……读出题意:位似是相似的特殊情况,相似的相关性质均成立,原文中的描述相当于:将线段以原点为缩放中心进行放缩.同时要特别注意的是:位似中心为坐标原点(为特殊点),在坐标系中,以原点为位似中心的对应点的坐标特征又是如何?(提示:若点P(m,n),相似比为k,则位似点的坐标为(km,kn)或(-km,-kn).原文……相似比OA2/OA1=q……读出题意:(1)同时对几何图形来说,两线段的长度的比值均为正数,即题中的“q“为正数,但在坐标系中对于坐标而言,其值可正可负.自然需要考虑到关于原点对称的两情况;(2)q的值并不是确定的值,可理解为动参数,且q≠0,显然当q的值变化时,位似点A2也随之改变;(3)”点动成线“——点A2总是在直线OA1运动,即经过原点和点A的对称点(A1)上运动(原点除外).因此当点A确定时,点A2的运动路径也随之确定,如下动态图演示.(插入动画1)原文称A2是点A的对称位似点……读出题意:新定义(阅读理解)型试题,思考相关问题时,务必遵循上述规则思考点的变化,并能用数学语言和图形语言(坐标系中表示)表达出来.第一小题解决       读懂了题干,第(1)问就迎刃而解了。如下图示:答案为(4,-6)或(-4,6).

第二问(两小题)
(支)题干解读:原文已知直线l:y=kx-2……读出题意:

(1)该直线的解析式中有一个参数k(位于一次项系数的位置),并且没有任何限制条件.有一个常数-2;

(2)简单理解:直线y=kx-2是动直线,且直线的倾斜度随k的值的变化而变化,当k取特殊值0时,则直线与x轴平行,此时是一个常数函数.

(3)进一步,理解本质:该直线经过定点(0,-2),且绕着定点(0,-2)旋转的任意直线.

原文抛物线C:

读出题意:

(1)抛物线C的解析式中只带一个参数m,且位于一次项系数上,同时m的值为正数,而二次项系数和常数项均为常数;

(2)图象上理解:当m的值变化时,抛物线C可以由任意特殊位置(如y=-1/2x2)进行互相平移;

(3)抛物线经过定点(0,-2)(恰好也是直线y=kx-2所经过的定点),由此又可得到:若直线l与抛物线C还相交,则另一交点坐标可通过因式分解易求,即解的结果不会出现根式(本公众号已有多篇文章说明),如下:联立抛物线C与直线l的解析式,得整理,得x(x-2m-2k)=0.解得x=0或x=2(m-k).即抛物线C与直线l的另一个交点M的横坐标xM=2(m-k).从而得到点M的坐标.

(4)由m>0,与二次函数-1/2<0异号,则抛物线的对称轴x=m,位于y轴的右边.

(5)可以通过配方,得到抛物线的顶点坐标(用m表示)为(m,-m2/2-2).

从上述分析,显然还是没办法画出准确的函数图象,但可以根据m的值画出草图了)




原文点N在直线l:y=kx-2上……读出题意:(1)N点坐标很繁杂,且有两个参数,显然可能通过这个条件,找出m与k的等量关系.(2)将N点坐标代入直线解析式,得:

(3)为了便于计算,均用含k的式子表示,此时抛物线的顶点为(2k,-2k2-2)或(-k,-k2/2-2).(5)当m=2k时,xM=2(m-k)=2k,对应的ym=-2k2-2,即M(2k,-2k2-2).此时点M恰为抛物线C的顶点;当m=-k时,xM=2(m-k)=-4k,对应的ym=-4k2-2,即M(-4k,-4k2-2)第二题(1)问的解决原文①当k=1/2时,……;读出题意:当k=1/2时,由上述题干解读知:所有的相关点的坐标(如N(2,)).和相关式子均可具体求出;当然也可直接代入进行求解.本小题所需要的点是N(2,-1)原文判断E(1,-1)是否为点N的对称位似点?请说明理由;读出题意:此时E(1,-1)和N(2,-1),根据题干解读知:只需判断点E是否在直线ON(y=-x/2)点?或E点与N点的坐标能否满足:横坐标的比=纵坐标的比(比值绝对值即为题中的q)?因此只需将相关数据直接代入计算即可判断.第二题(2)问的解决问题再现:若直线l与抛物线C交于点M(x1,y1)(x1≠0),且点M不是抛物线的顶点,则点M的对称位似点是否可能仍在抛物线C上?请说明理由.下面详细分析原文直线l与抛物线C交于点M(x1,y1)(x1≠0)……读出题意:(支)题干解读中已详细分析. M(2k,-2k2-2)M(-4k,-4k2-2)原文点M不是抛物线的顶点……读出题意:因顶点为(2k,-2k2-2)(题干解读中已有分析),所以M(-4k,-4k2-2).原文点M的对称位似点……读出题意:M(-4k,-4k2-2),根据题干解读知:点M关于x轴的对称点为M1(-4k,4k2+2),点M的对称位似点为M2(-4kt,(4k2+2)t)(t≠0的实数,用t不用原来的q是为了避开分类讨论).答案如下:

请相信自己,中考前的深度审题能帮助你达到成功的顶峰。审题练习最关键的是完全投入,大胆地跨出这一步,然后勇往直前。

— END —

-作者-

张祖冬 初中数学延伸课堂发起人,长期推送初中数学的典型试题、常用解题方法、思路、技巧等,图文并茂地解析中考数学压轴题,分享教育教学管理相关好文。

高晓晴 自由撰稿人,在学习数学的道路上,把思考变成文字,与你相伴,点亮你心中的数学之灯。

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