艺林小札：弧线的数字密码 ——“赵子昂氏”印鉴再鉴 | 赵华

笔者在《伪赵孟頫书画印考辨——以俞和作伪赵孟頫书画为例》（以下简称“考辨”）一文中采用计算机矢量绘图的方法，对赵孟頫“赵子昂氏”及俞和作伪“赵子昂氏”印鉴进行了作图辅助的非同一性鉴定，通过特征指示，显示二者有显著差别（图1）。将拟合结果叠加到不同检品上，显示这些特征组合在赵孟頫真迹组或俞和作伪组的组内非常稳定，组间互斥，能准确区分。

图1　赵孟頫“赵子昂氏”及俞和作伪“赵子昂氏”印鉴的比较

作图对重要特征之一的“昂”字B弧段进行了辅助拟合，通过局部放大调整，拟合曲线能很好地贯穿笔画中心（图2），并且在组内叠加过程中，也能基本保证这一原则，组间交叉叠加则拟合曲线无法贯穿画心。

图2　手工拟合曲线能很好地居于笔画中心

但是这种拟合靠手工调整、肉眼判定，因此绘图中采用了不利原则，即，为避免让读者产生刻意制造有利于二者显著差别的嫌疑，尽量在作图中减少二者差别，为证明制造不利条件。如果仍然有很大差别，那么可以认为二者确实有显著差别。

使用计算机随机采样和统计学方法，可以消除这种不利原则的影响。撤去“嫌疑人保护法”后，真伪印鉴的实际差别会比手工拟合肉眼判定更接近真实，显示差别也更大。

01
统计圆心

根据圆的定义，在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆。据此，有圆的标准方程：

(x - a) ² + (y - b) ² = r ²

其中，（x，y）和（a，b）分别是圆形上点和圆心在直角坐标系中的坐标，r 是半径。

根据圆的定义可知，定点、定长具有唯一性。但近似圆上的点到圆心的距离是一个范围。

平面上n个点（x₁，y₁）（x₂，y₂）……（x_n，y_n），组成的细窄而不规则环形或扇形，可以视为近似圆形或圆弧，这个近似圆的圆心在什么位置？半径又该是多少呢？

如果假设平面上任意点（a₁，b₁）为圆心，计算近似圆上所有点（x₁，y₁）（x₂，y₂）……（x_n，y_n）到该圆心的距离，得到一组数值不尽相同的半径r_1.1、r_1.2……r_1.n（图3）。

图3　平面上n个点组成近似圆和两个假设圆心的半径组

同样，可以假设平面上任意点（a₂，b₂）……（a_n，b_n）为圆心，得到各自半径组并分别计算。

那么，r值差异越小的组，也就是越近似于“定长”的组，所对应的假设圆心（a，b），越接近于近似圆的圆心，反之则偏离于圆心。

差异，可以用标准偏差（S）来度量其偏离程度，即一个半径组内所有样本值（r_i，i从1到n）与全组样本值平均数之差的平方值的平均数开方：

S_（a，b）为极小值S_{（a，b）min}时，（a，b）点即以上n个点组成的近似圆形的统计圆心，如果S_（a，b）=0，则这n个点在一个绝对圆上，（a，b）即该绝对圆的圆心（图4）。

图4  假设圆心的偏离热力图

根据定义，S_{（a，b）min}≠0又可表述为，近似圆上所有点，到拟合圆的距离的一种平方和开方加权平均值。以统计圆心所作拟合圆使近似圆（环或扇）在其两侧平均分割，S_{（a，b）min}又等于近似圆单侧所有点到拟合圆的平均距离，那么2S_{（a，b）min}即单侧平均扇宽，4S_{（a，b）min}即两侧合计的平均扇宽（图5）。

图5  S_min的含义与加权平均扇宽

02
实例数字坐标采样与统计圆心和半径的计算

回到“赵子昂氏”的B长弧，其每一次钤盖，都可以视作平面上的一组点阵（x，y），这些点组成一个近似弧形的不规则细窄扇面，习惯上仍称作弧形。

为了计算其统计圆心，必须进行有限筛选采样，通过图形数字化软件，采集特征弧段上点的坐标数据，采样过程应保证采样均匀随机、标准统一、采样结果与原始图像的等价。

首先对原始图像进行图像处理，提取待采样弧段，并以下、左边框中心线为X、Y轴建立直角坐标系，最小刻度到0.1mm。然后使用采样软件，设置合适的采样密度，对弧段进行数字坐标采样，得采样图（图6），和相应490采样点数字坐标（略）。

图6　《王羲之四事帖》印鉴特征弧段全数字采样

根据估算，选取横坐标13mm到20.9mm，纵坐标6mm到11.9mm区域，按0.1mm间隔共假设4800个圆心，计算每个假设圆心（a，b）与上述弧段490个采样点（x，y）的距离r，可得235.2万个r值，仍按假设圆心分组，分别计算每组r值的标准偏差，得标准偏差表及其热力图（图7）：

图7　《王羲之四事帖》印鉴特征弧段在估算区域内假设圆心的半径标准偏差热力图

查得该标准偏差表极小值S_min为0.14630，对应坐标（16.8，8.8），半径分布14.02-14.67mm，平均半径14.32mm，平均扇宽0.59mm，最大扇宽0.65mm。导入原印坐标系，重建拟合圆弧，如图8。

图8　真迹真印特征弧段的数字重建

这一计算结果，比“考辨”使用不利原则辅助拟合的半径15.9mm，减小了1.58mm。

同法可以对俞和作伪赵孟頫款《六体千字文》进行采样计算，查得其标准偏差表极小值S_min为0.104239，坐标（24.3，11.3），半径分布21.84-22.26mm，平均半径22.06mm，平均扇宽0.417mm，最大扇宽0.42mm，导入原印坐标系，重建拟合圆弧如图9。

这一计算结果，与“考辨”辅助拟合半径21.9mm相比，只增加了0.16mm，基本完全重合。

二者半径差由6mm扩大到7.74mm。

图9　俞和伪印特征圆弧的数字重建

03
误差与对策

由采样数据及所得圆心可计算，《王羲之四事帖》特征弧段圆心角32.56°，《六体千字文》特征弧段圆心角21.02°，在360°圆上的完整度分别只有9.0%和5.8%，因此以上热力图中的极小值分布在一个狭长区域。圆心角、半径散布水平、平均半径等都对热力图极小值区散布水平有较大影响，圆心角越小、平均半径越大、半径散布范围越大，热力图中极小值区散布范围越大。

同样是4800个假设圆心，设定2%区域为极小值区，《王羲之四事帖》的极小值散布范围为（15.3，8.4）到（19.1，9.4），长度3.9mm，而《六体千字文》为（22.0，10.6）到（26.6，12.0）长度4.8mm。

也就是说，把圆心设在极小值区域上，重建拟合圆弧，难以分辨拟合弧线两侧印痕的比例。这也是之前设置不利原则的原因，有必要对其误差进行分析评价：

1、数字采样密度过低，漏采偶然性较大，可以通过增加作品数量和增大单个作品样品采样密度的办法解决。以《王羲之四事帖》为例，中心弧长7mm，平均扇宽0.59mm，面积为4.10mm²，本文设置采样点490个，采样密度为120个/mm²，能满足精度要求；

2、设置的假设圆心密度100个/mm²，已经高于肉眼分辨率，达到讨论的精度要求，使用的计算方法，对该图形的圆心和半径的计算过程也是准确的；

3、图像缩放适配坐标系的过程，会受到边框粗细影响，好在误差传递为平行传递，无放大。以《王羲之四事帖》为例，按扇宽0.59mm即边框宽度计，坐标线应在边框线中心0.30mm位置，极限情形是将坐标线放在边框外沿或内沿，最大位置误差也只有±0.30mm。而半径误差则受半径边长比（r÷L，四事帖约为0.75，六体千字文约为1.13）的影响，误差传递只有±0.23mm和±0.34mm，影响有限。加上相同建标习惯会抵消这一误差，实际操作中，系统误差又要远远小于极限误差；

4、图像本身不准确带来的干扰，在诸多因素中影响最大。印鉴钤盖在纸、绢上，每一次都会出现不同的赘痕和缺陷，又会因为流传、装裱、卷舒、悬坠等原因产生变形。如《双松平远图》（图10）因为印泥不均产生目视扭曲。钤盖误差必然通过后面的准确采样和准确计算，准确或放大传递到最终结果，产生误差量级，数以毫米计。

图10　赘痕与缺陷导致印文的视觉扭曲

为了检验赘痕误差的影响，可将《王羲之四事帖》特征弧段不同位置人为添加平均扇宽直径的赘痕，同样进行采样计算，结果，该赘痕对圆心位置和半径大小带来重大影响（图11）。

图11　不同位置赘痕为采样计算带来误差

基本规律是：

1、弧线中部赘痕，内侧使拟合半径变大，外侧使拟合半径变小；

2、弧线端点赘痕，内侧使拟合半径变小，外侧使拟合半径变大；

3、弧线不同部位产生缺陷，对结果的影响与赘痕相反；

4、相同大小的赘痕、缺陷，圆心角相同弧半径越小、或弧半径相同圆心角越小，对结果的影响越大，可称“二小情形”；

5、同类影响叠加，结果产生叠加放大；

6、相反影响叠加，结果部分或全部抵消；

实际情况中，赘痕和缺陷，一般以多发、平衡、部分抵消为主，也就是情形6。

污染较大，影响较明显的单发赘痕，如《秋声赋》《赤壁二赋册》等（图12），这种情况需手工清理，但必须作出说明。

清理仍应参照不利原则，比如《秋声赋》端点外侧赘痕只清理主体部分，《赤壁二赋册》端点内侧赘痕则应该能清尽清。

图12　两枚印鉴手工清理的说明

第5种情形叠加放大型也有案例，可以先用人为添加赘痕和缺陷的办法进行模拟，如图13。

图13　小弧线（左）在人为制造缺陷（中左蓝色）和添加赘痕（中右黄色）后变得平直（右）

实例仍见台北故宫博物院藏《赤壁二赋册》（图14），这枚印蜕综合了4、5两种情形。对于印章以及书画的鉴定，偶然现象干扰无法回避，需要正确理解和对待，以全局视野统计观察，不能斤斤于一个细小局部。从全局观察，《赤壁二赋册》上的这枚印章局部是偶然现象，整体上仍然与本文讨论的真印是同一枚。

图14　《赤壁二赋册》印鉴中缺陷与赘痕的叠加影响

抗干扰能力较差的二小情形在鉴定中排他性不足，价值相对较低。与之相反，弧长、圆心角越大，抗干扰能力越强，相同大小的赘痕、缺陷造成的影响越有限，这样的弧段在鉴别中是高价值样本。

选择高价值样本进行鉴别是重要鉴定原则之一，在矛盾论中称为主要矛盾或矛盾的主要方面。

多位置的特征组合可以防止被局部偶然所蒙蔽，进而认识偶然，正确对待偶然。

04
偶然必然与统计发现

基于以上理论和实例，单枚印蜕的采样计算，无法排除由偶然性带来的计算结果误差，难以完全准确地反映原始印鉴的真实信息。

好在，由钤盖造成的赘痕和缺陷具有随机性，虽然每一次都必然出现，但不会始终出现在同一个位置，而是随机出现在各个位置。

如果同一形态赘痕或缺陷在某一位置有限次数重复出现，可以判断为同一时段钤盖，实例如《褉帖源流卷》，前后二十年的三个落款，印鉴顶边同一位置出现印泥赘痕（图15），由此判断此卷早年并未钤印，都是二十年后重题时所补。赘痕重复，验证了赵孟頫早期作品其实并未用印的判断。

图15　《禊帖源流卷》上三枚印鉴上相同的赘痕

当然，这种“赘痕”也有可能是新近的制版印或者数控机床作伪，依样画葫芦，需要区分。拍卖中曾见过这样的假“赘痕”，为避免纠纷，这里就不举例了。

古今一切徒手伪印的共同特征，之一是从细节到整体大面积不准确，之二是刻意模仿原印上的固有缺陷和偶然赘痕，即使这种模仿是不准确不完整的，或者是多余累赘的。这样的印章很多钤盖在真迹上，也毫无疑问的是伪印。

如果某一位置始终或长时段出现同一形态赘痕或缺陷，那就是原印所有或分期特征。这一点“分期”和“考辨”两文已经注意到了原印中顶边的两处分期特征、和多处一直存在的特征缺陷。

一般认为，赵孟頫的元朱文印原印匀、净、圆、滑，放大看到的凹凸不平都是印泥不匀造成的。例如“昂”字左上的上横线右侧（图16），单独看可能会认为是一个偶然的印泥粘附赘痕，但是有了规模的统计观察，虽然形态有些微差异，又或并不明显，但可以发现这并不是印泥过量粘附造成的偶然现象，原印在这里本就不平直。

图16　在偶然中发现必然

这又是该印的一个隐秘特征，这样的隐秘特征只能通过统计发现，任何一枚徒手伪印作者都想模仿这样的细节，但都没有也不可能注意到这样隐秘的统计细节。

同样，徒手伪印“从细节到整体大面积不准确”，并不否认偶然相似的存在。例如“考辨”中定义的“氏”字末笔A弧，《王羲之四事帖》圆心为（27.5，9.9），《六体千字文》圆心（27.9，10.3），纵横坐标分别只相差0.4mm，非常接近，落在误差范围以内，非常接近，这就是偶然，是幸运因素在起作用，但幸运并不能达成大面积准确。

通过统计规模的印蜕图像观察，可以发现必然，正确理解偶然，将偶然对判断的影响降到最低。

05
统计的统计

仍按文章前半部分的采样和计算方法，对31件赵孟頫真迹真印，和10件俞和作伪赵孟頫款书画中的11枚伪印进行处理，采样2万多个点，计算1亿零500多万个假设半径，可分别得到42个统计圆心，这些圆心分布在两个区域，如图17。

图17　真伪印两组采样计算所得圆心位置

真迹真印组由于圆心角较大，受到偶然影响相对较小，圆心散布范围集中在横向2.3mm、纵向0.9mm之间，具有很好的同一性；

伪迹伪印组由于圆心角较小，加上《浴马图》《绝交书》都是绢本，有肉眼可见的明显扭曲，而《跋墨竹坡石图》在曲线中部外侧有较大缺陷因修复面积过大而未作处理，所以散布范围较大，其余8枚纸本伪作的伪印则相对集中，结合人工判读，11枚印鉴具有同一性，而整体上与真迹真印组差距非常显著。

同样，将31枚真迹真印和11枚伪迹伪印特征弧段的统计圆心，按照前两节方法进行再统计，可得图18，这些圆心的标准偏差在热力图洼底呈正态分布，真迹核心在（16.6，8.8），俞和作伪则在（23.4，11.0）。

图18　统计再统计后得到的圆心位置热力图

由31件真迹特征弧段的31个统计半径计算其与不同假设半径的偏差，可作曲线如图19，查得S_min对应假设半径为14.07mm，即上述圆心对应的最优半径，比简单算数平均值多0.13mm。同样可得俞和伪印特征弧段最优半径21.44mm，比简单算数平均值小0.48mm，约为真印的1.5倍，差异悬殊。

图19　31组统计半径对不同假设半径的偏差

统计基本消除了单个印蜕的偶然误差，可以认为，圆心（16.6，8.8）、半径14.07mm就是赵孟頫原印该弧段的准确圆心和准确半径，这样的松雪斋密码，在手工伪印时代是不可能破解的。

06
余论

以上，本文仅就“赵子昂氏”印鉴的一个排他性较强的局部特征进行了数字化拟合的一种方法的尝试。

圆是椭圆的特殊形式，用椭圆拟合通用性更强，当然用不同类型曲线、甚至直线拟合都未尝不可，俞和伪印比赵孟頫真印更接近直线，在直线拟合中标准偏差一定远远小于赵孟頫真印，也可鉴而别之。

基本原理是，如果曲线a和曲线b有差异，那么它们与拟合曲线f（x）进行比较的结果不一样，否则a、b没有差异。用不同方法都能得出一样的结论，而本质原因实在是二者本身差异太过巨大。

由局部到全局，俞和作伪印在绝大部分位置都与真印有较大差别，是全面不一致，这一点“考辨”已有比较。

当然印章又只是辅助依据，回归到书法本体，多看多比较，掌握“考辨”中的口诀，鉴别起来只会更加容易，不会更难。

而俞和伪书与伪印绝大部分时候是一同出现的，无印伪作被补其他伪印，仅见无锡博物馆藏赵孟頫款《临定武兰亭序》、台北故宫博物院藏赵孟頫款《急就章》明代补伪印2例。俞和所有作伪作品伪款均为俞和亲笔，并无被改款情况，也不可能有人能达到俞和伪款水平。作伪书、落伪款、造伪印、编故事混淆视听，俞和主动作伪的性质，是不容置疑的。

到目前为止，尚未发现赵孟頫真印在俞和及其他作伪者伪作中出现，也未发现俞和伪印在赵孟頫真迹和其他作伪者伪作中出现。数字采样与统计，又为赵孟頫真迹、俞和及其合作者作伪赵孟頫书画的鉴别添加了一个可以量化分析的金标准。

（李跃林博士对本文有重要贡献）

附：

本文采样赵孟頫真迹作品及其特征弧段参数一览表

本文采样俞和等作伪赵孟頫款作品及其特征弧段参数一览表

END

编辑 |  云在

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