【大放异彩】空间向量在立体几何中的运用到底有多广？？？答曰：每一种类型题都能解！！！

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距高考还有178天

共线、共面的证明

1共线证明

平面向量共线定理：

对于非零向量a和向量b，如果存在唯一实数λ，使得b=λa，则向量a和向量b共线。

例题：设E，F，G，H分别为正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱C₁D₁，A₁D₁，CC₁，AB，的中点，且M是FG的中点，求证：E，M，H三点共线

2共面证明

空间向量共面定理：如果两个非零向量a，b，存在有序实数组(x，y)，使得c=xa+yb，那么向量c与向量a，b共面
例题：如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为4，点E在AA₁上，点F在CC₁上，且AE=FC₁=1，求证：E，B，F，D₁四点共面。

平行证明

1线线平行

已知直线p，q，且p，q的方向向量分别是向量a，b，要证明p∥q，即证明a=λb即可。

例题：已知不重合的两条直线m，n，又直线m所在直线的方向向量为a=(0，2，4)，直线n所在直线的方向向量为b=(0，-1，-2)，试求直线m与n的位置关系。

解：

根据题意可得：

a=-2b

又m，n不重合，

∴m∥n

2线面平行

已知直线p，平面ɑ，且直线p的方向向量为a，平面ɑ的法向量为n，要证明p∥ɑ，即证明a∙n=0即可。例题：如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是正方形，AA₁=4，AB=2，E，M，N分别是BC，BB₁，A₁D的中点，证明：MN∥面C₁DE

3面面平行

已知平面ɑ，β，且两个平面的法向量分别为m，n，要证明ɑ∥β，即证明m=λn即可。

例题：如图，矩形ABCD和梯形BEFG所在平面互相垂直，且BE∥CF，∠BCF=90°，AD=√3，EF=2，求证：平面ABE∥平面DCF。

垂直证明

1线线垂直

已知直线p，q，且这两条直线的方向向量分别为a，b，要证明p⊥q，即证明a∙b=0即可。例题：如图所示，已知四棱锥P-ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD，侧面PBC⊥底面ABCD，证明：PA⊥BD。

2线面垂直

已知直线p，平面ɑ，且直线p的方向向量为a，平面ɑ的法向量为n，要证明p⊥ɑ，即证明a=λn即可。例题：如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠ACB=90°，AC=1，BC=√2，侧棱AA₁=1，侧面AA₁B₁B的两条对角线交点为D，B₁C₁的中点为M，求证：CD⊥平面BDM.备注：利用向量法证明线面垂直时，也可以通过已知直线上的方向向量与平面ɑ内的两条相交直线对应的方向向量数量积分别为0来证明。

3面面垂直

已知平面ɑ，β，且两个平面的法向量分别为m，n，要证明ɑ⊥β，即证明m∙n=0即可。
例题：若平面ɑ，β的法向量分别为a=(4，0，-2)，b=(1，0，2)，试求平面ɑ与β的位置关系。解：根据题意可知：a∙b=4x1+0x0+(-2)x2=0可知ɑ⊥β

空间角求法

1线线夹角

已知直线p，q，且这两条直线的方向向量分别为a，b，则两条直线夹角的余弦值公式为：备注：两条直线的夹角范围为[0，90°]，两条异面直线的夹角范围为(0°，90°]

例题：在三棱锥P-ABC中，|PA|=|AB|=|BC|=1 ，|AC|=|PB|=√2 ，|PC|=√3，则试求异面直线PC与AB所成角的余弦值。

2线面夹角

已知直线p，平面ɑ，且直线p的方向向量为a，平面ɑ的法向量为n，则直线p与平面ɑ所成角的正弦值公式为：

备注：直线与平面的夹角范围为[0，90°]例题：如图，已知两个正方形ABCD和DCEF互相垂直，M，N分别是AB，DF的中点，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值。

3面面夹角

已知平面ɑ，β，且两个平面的法向量分别为m，n，则两平面的二面角的余弦值为：

①如果二面角为两个法向量的夹角：

②如果二面角为两个法向量夹角的补角：

备注：二面角范围为[0，180°]

例题：如果，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°(1)证明：平面PAB⊥平面PAD(2)若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A-PB-C的余弦值。

距离求法

1点到点的距离

已知空间内任意两点A(x₁，y₁，z₁)，B(x₂，y₂，z₂)，则空间向量两点间的距离公式为：

例题：已知点A (0，0，0)，B(2，4，6)，且M为AB的中点，求|AM|的长。

2点到线的距离

已知空间上一点A，一条直线p(点A不在直线上)，在直线p上取任意一点B，且直线p的方向向量为a，则点A到直线p的距离公式为：例题：已知空间上一点A(0，1，0)，且有一条直线p，它的方向向量a=(0，3，1)，且直线p过一定点B(2，0，0)，试求点A到直线p的距离。
备注：空间内两条平行线间的距离可以转化为其中一条线上的已知点到另外一条直线的距离求解。

3点到面的距离

已知空间上一点A，平面ɑ(点A不在平面ɑ)上，在平面ɑ有一已知任意点B，且平面ɑ的法向量为n，则点A到平面ɑ的距离公式为：例题：已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的边长为4，连接AB₁，AD₁，B₁D₁，求点A₁到面AB₁D₁的距离。
备注：直线与平面平行的线面距离，以及两个平行平面的距离均可以转化为点到面的距离进行求解。

4异面直线的距离

已知直线p，q为异面直线，两条异面直线公垂线所在的方向向量为n，另直线p有一点A，直线q有一点B，则两条异面直线的距离为：例题：已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的边长为1，求异面直线DA₁与AC的距离。

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