【琳琅满目】立体几何平行证明的四大必杀绝技------赞！很赞！！非常赞！！！

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距高考还有194天

  类型一  

根据已有平行关系证平行

例题1：已知四棱锥P-ABCD，且G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，且有BC∥平面GEFH，证明GH∥EF。证明：∵BC∥平面GEFH，平面GEFH∩平面ABCD=EF且BC⊂平面ABCD∴BC∥EF∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC∴平面EF∥平面PBC∵平面EFGH∩平面PBC=GH∴EF∥GH例题2：如图，三棱台DEF-ABC，AB=2DE，且G，H分别为AC，BC的中点，求证：BD∥平面FGH。
证明：
在三棱台DEF-ABC中，AB=2DE且H为BC的中点，∴BH∥EF，且BH＝EF∴四边形BHEF是平行四边形又G是AC中点，H为BC的中点，根据三角形中位线可得：GH∥AB，又GH∩HF=H∴平面FGH∥平面ABED∵BD⊂平面ABED∴BD∥平面FGH变式：如图所示，在三棱锥P-ABQ中， D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点， PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH，求证AB∥GH。

  类型二  利用三角形的中位线证平行例题：如图，四棱锥P-ABCD，AD∥BC，且AD=2BC，且E，F分别为线段AD，PC的中点，求证：AP∥平面BEF。证明：连接AC，CE，且AC与BE相交于点O，连接OF，如下图：∵AD∥BC，且AD=2BC，且E是AD的中点，可得：四边形ABCE是平行四边形∴O是AC的中点，又F是PC的中点∴OF是△ACP的中位线∴OF∥PA∵PA⊄平面BEF，OF⊂平面BEF∴AP∥平面BEF变式：如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，点M，N分别为A₁B和B₁C₁的中点，求证：MN∥A₁ACC₁

  类型三  

利用平行四边形的性质证平行

例题1：在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，CD=2AB，E为PD的中点，求证：AE∥平面PBC。证明：取PC的中点F，连接EF，BF，如下图：
∵E，F分别是PD，PC的中点∴EF∥CD，且CD=2EF又AB∥CD，且CD=2AB∴AB∥EF，且AB=EF即四边形ABFE是平行四边形∴AE∥BF又AE⊄平面PBC，BF⊂平面PBC∴AE∥平面PBC例题2：如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是等边三角形，侧面BCC1B是矩形，AB=A₁B，N是B₁C的中点，M是棱AA₁上的一点，且AA₁⊥CM，证明：MN∥ABC证明：连接BM，取BC得中点P，连接AP，NP，如下图：∵BCC₁B₁是矩形，∴BC⊥BB₁，∵AA₁∥BB₁∴AA₁⊥BC∵AA₁⊥MC，BC∩MC=C，∴AA₁⊥平面BCM∴AA₁⊥MB∵AB=A₁B∴M是AA₁的中点，又P，N分别是CB，CB₁的中点，由三角形的中位线可得：NP∥BB₁，且BB₁=2NP∴NP∥MA，且NP=MA∴四边形AMNP是平行四边形∴MN∥AP∵MN⊄平面ABC，AP⊂平面ABC∴MN∥平面ABC变式：如图，四棱锥P-ABCD，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AD=3，BC=4，且M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点，证明：MN∥平面PAB。

  类型四  

利用向量法证平行

1利用平面法向量利用法向量证明直线与平面平行的基本原理为：若平面外一条直线的方向向量垂直于此平面的法向量，则该向量与此平面平行。即若法向量n⊥平面ɑ，且法向量n⊥向量a，则向量a∥平面ɑ例题：如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是正方形，AA₁=4，AB=2，E，M，N分别是BC，BB₁，A₁D的中点，证明：MN∥C₁DE证明：以D为原点，以DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD₁所在直线为z轴，建立空间直角坐标系如下：
根据AA₁=4，AB=2，可得点的坐标如下：D(0，0，0)，E(1，2，0)，C₁(0，2，4)M(2，2，2)，N(1，0，2)则有：

2利用向量共面定理

向量共面定理：已知向量a，向量b，向量c两两不共线，若存在实数x，y，使得向量c=xa+yb，则向量a，向量b，向量c共面。具体如下动图所示：备注：因为向量是可以移动的，所以几个向量共面不代表向量所对应的直线是相互共面的。
例题：如图所示四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，AB=4,PA=2，E为PD的中点，证明：PB∥平面AEC
证明：以A为原点，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系如下：根据AB=4， PA=2，可得点的坐标如下：A(0，0，0)，P(0，0，2) ，B(4，0，0)D(0，4，0) ，C(4，4，0)∵E为PD的中点，∴E(0，2，1)

3利用平面向量共线定理

平面向量共线定理：
不共线的两条直线所对应的向量分别为向量a，向量b，若向量a=λb，则向量a∥向量b接下来用平面向量共线定理再解上面用法向量求解的例题例题：如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是正方形，AA₁=4，AB=2，E，M，N分别是BC，BB₁，A₁D的中点，证明：MN∥C₁DE
证明：以D为原点，以DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD₁所在直线为z轴，建立空间直角坐标系如下：
根据AA₁=4，AB=2，可得点的坐标如下：D(0，0，0)，E(1，2，0)M(2，2，2)，N(1，0，2)则有：

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