【博学多才】筷子夹汤圆，夹出一个美丽的"蒙日圆"，真是太神奇了！！！

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距高考还有207天

夹汤圆

右边这个图形，象不象用一双筷子，夹住一个汤圆了呢?

我们不妨就将类似这种图形的问题，叫“筷子夹汤圆”问题吧。

对，就叫筷子夹汤圆！

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其实，如果注意观察，目前这种方式，夹汤圆时筷子的位置虽然不同，但两双筷子之间的关系好像总是不变的。

对，两双筷子总是互相垂直。

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除了这个，你还能从图中观察出什么呢?对，P点在旋转过程中留下的痕迹，竟是一个漂亮的圆呢！偶然的，还是必然?接下来我们做进一步研究。

蒙日圆的证明

在证明之前，首先在几何上，普及两个有关四边形的结论。

①在平行四边形中，各边的平方和等于对角线的平方和。

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    ②在矩形ABCD中，对于平面内任一点O，均有：

PA²+PC²=PB²+PD²

  好，下面便可以用几何方法肆意地去找这个圆了。

其实，这个圆就是传说中椭圆的“蒙日圆”。它是由法国数学家加斯帕尔·蒙日发现的，按惯例，便很自然地以他的名字命名了。当然，更为有意思的是，不仅椭圆，双曲线也有类似的“蒙日圆”，而且连圆的方程都是非常相似的：

你能从下图中，看出蒙日圆的其它性质吗?

蒙日圆的应用

从这个题的思路可以看出，当我们拿筷子的手在蒙日圆内部时，筷子的夹角是钝角，手在蒙日圆的外面时，筷子的夹角是锐角，而蒙日圆，就是两种角的分界线了。

夹汤圆的一般情形

再回顾下蒙日圆的证明：

其实，从蒙日圆的这个证明过程我们不难看出，只要两条切线的斜率之积为定值，动点P的轨迹就是我们所熟悉的圆、椭圆、双曲线，甚至于直线。

那么，可根据λ的不同取值范围，去分析方程所表示的对应曲线了。

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