【深谋远虑】关于原函数与其导函数对称性关系问题的探讨，请收好！！！

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距高考还有216天

  结论一  

若可导函数f(x)为奇函数，则其导函数f’(x)为偶函数。

证明：

∵f(x)为奇函数，

则有f(-x)=-f(x)

将上式两边同时求导可得：

(-x) ’f’(-x)=- f’(x)    (复合函数求导法则)

整理得：- f’(-x)=-f’(x)

即f’(x)= f’(-x)

可知f(x)的导函数f’(x)为偶函数

备注：若可导函数f(x)的导函数f’(x)为偶函数，则函数f(x)不一定为奇函数，证明如下：

证明：

∵f’(x)为偶函数，

则有f’(x)= f’(-x)

将上式两边同时积分可得：

∫f’(x)dx=∫f’(-x)dx

即f(x)+C₁=-f(-x)+C₂      (C₁和C₂为常数)      

由上式可知：只有当C₁=C₂时，f(x)才为奇函数。

  结论二  

若可导函数f(x)为偶函数，则其导函数f’(x)为奇函数。

证明：

∵f(x)为偶函数，

则有f(x)=f(-x)

将上式两边同时求导可得：

f’(x)=-f’(-x)

可知f(x)的导函数f’(x)为奇函数

备注：若可导函数f(x)的导函数f’(x)为奇函数，则函数f(x)一定为偶函数(证明略)

例题：若f(x)=a∙sin(x+π/4)+b∙sin(x-π/4)为偶函数，则求a，b的关系

解：

∵f(x)为偶函数

∴f’(x)为奇函数，则有f’(0)=0

又f’(x)= a∙cos(x+π/4)+b∙cos(x-π/4)，

则f’(0)= a∙cos(π/4)+b∙cos(-π/4)=0

可得a，b的关系为：a+b=0

  结论三  

若可导函数f(x)的图像关于点(m，n)对称，则其导函数f’(x)的图像关于x=m对称。

证明：

已知f(x)的图像关于(m，n)对称，可得：

f(x)+f(2m-x)=2n

整理得：

f(x)=-f(2m-x)+2n，等式两边同时求导得：

f’(x)= f’(2m-x)

∴f(x)的导函数f’(x)关于x=m这条直线对称

  结论四  

若可导函数f(x)的导函数f’(x)的图像关于x=m对称，则f(x)的图像关于(x₀，[f(x₀)+f(2m-x₀)]/2)对称，其中x₀为定义域内任意值。

证明：

已知f’(x)关于x=m对称

∴f’(x)= f’(2m-x)

将上式两边同时积分可得：

∫f’(x)dx=∫f’(2m-x)dx

f(x)+C₁=-f(2m-x)+C₂

即f(x)+f(2m-x)=C₂-C₁

令x=x₀   (x₀为定义域内任意值)

则由上式可知C₂-C₁= f(x₀)+f(2m-x₀)

即：f(x)+f(2m-x)= f(x₀)+f(2m-x₀)

∴f(x)的图像关于(m，[f(x₀)+f(2m-x₀)]/2)对称

备注：当f(x)在x=m处有意义时，可以将上式的x₀用m来替代，则有f(x)的图像关于(m，f(m))对称。

例题：求f(x)=x³-6x²+2x+6的对称中心

解：

f’(x)=3x²-12x+2

可知f’(x)的对称轴为：x=2

且f(x)在x=2处有意义，

则f(x)的对称中心为(2，f(2))，即(2，-6)

  结论五  

若可导函数f(x)的图像关于x=m对称，则其导函数f’(x)的图像关于(m，0)对称。

证明：

已知f(x)关于x=m对称

∴f(x)=f(2m-x)

等式两边同时求导得：

f’(x)=-f’(2m-x)

∴f’(x)的图像关于(m，0)对称

  结论六  

若可导函数f(x)的导函数f’(x)的图像关于(m，0)对称，且在定义域内存在一点x₀，使得f(x₀)=f(2m-x₀)，则f(x)的图像关于x=m对称。

证明：

已知f’ (x)关于(m，0)对称

∴f’ (x)=- f’ (2m-x)

将上式两边同时积分可得：

∫f’(x)dx=∫-f’(2m-x)dx

f(x)+C₁=f(2m-x)+C₂

令x=x₀，

整理可得：C₂-C₁=f(x₀)-f(2m-x₀)

又已知f(x₀)=f(2m-x₀)

∴C₂-C₁=0

∴ f(x)=f(2m-x)

∴ f(x)关于x=m对称

备注：若可导函数f(x)的导函数f’(x)的图像关于(m，n)对称，不能推出f(x)的图像关于x=m对称(可自行证明)

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