【厚积薄发】立体几何垂直证明的六大绝招，真的是秒懂！！！

Original 高中数学王晖高中数学王晖 2022-07-17

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距高考还有202天

类型一 利用已知垂直关系证垂直例题：已知△ABC中，∠ACB=90°，SA⊥面ABC，AD⊥SC，求证:AD⊥面SBC

证明：∵SA⊥面ABC ∴SA⊥BC又∠ACB=90° ∴AC⊥BC又AC，SA⊆面SAC ∴BC⊥面SAC∴BC⊥AD又AD⊥SC且BC，SC⊆面SBC∴AD⊥面SBC
变式：如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，求证：AD⊥AC

类型二 利用等腰三角形中线证垂直例题：在三棱锥P-ABC中，AC=BC，AP=BP，求证PC⊥AB

证明：取AB的中点M，连接PM，CM

∵AC=BC，M是AB的中点，∴AB⊥CM∵AP=BP，M是AB的中点，∴AB⊥PM∴AB⊥面PCM∴AB⊥PC

变式：四棱锥P-ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AD，求证面PAD⊥面PCD

类型三 利用勾股定理逆定理证垂直例题：如图，四棱锥P-ABCD的底面是边成为3的正方形，PA⊥CD，PA=4，PD=5，求证：PA⊥面ABCD

证明：∵PA=4，AB=3，PD=5∴PA²+AB²=PD²，∴三角形PAD是直角三角形，∴PA⊥AD又PA⊥CD，∴PA⊥面ABCD
变式：如果，在三棱台ABC-DEF中，平面BDEF⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3，求证：BF⊥面ACFD

类型四

利用三角形全等证垂直

例题：如图，三棱锥P-ABC中，△PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90°，求证：AB⊥PC

证明：取AB的中点M，连接CM，

∵△PAB是等边三角形，∴PB=PA
又PC=PC，∠PAC=∠PBC=90°∴△PBC≌△PAC，∴BC=AC∴△ACB是等腰三角形，M是AB的中点，∴CM⊥AB又在等边△PAB中，M是AB的中点，∴PM⊥AB∴AB⊥面PMC∴AB⊥PC
变式：如图，在以A、B、C、D、E、F为顶点的五面体中，平面CDEF⊥平面ABCD，FC=FB，四边形ABCD为平行四边形，且∠BCD=45°，求证：CD⊥BF

类型五 利用平行关系证明垂直例题：如图四棱锥P-ABCD，底面是正方形，PA⊥底面ABCD，∠PDA=45°，E是棱AB的中点，求证：面PCE⊥面PCD

证明：分别做PC，PD的中点M，N两点，连接EM，MN，NA

∵MN为△PCD的中位线，∴MN∥CD且MN=1/2CD又∵E是AB的中点，∴AE∥CD且AE=1/2CD∴四边形AEMN是平行四边形，则EM∥AN，∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AD，且∠PDA=45°，∴△PAD是等腰直角三角形又N是PD中点，∴AN⊥PD∵四边ABCD是正方形，∴CD⊥AD，又PA⊥CD，∴CD⊥面PAD，∴CD⊥AN，又上面已求PD⊥AN，∴AN⊥面PCD又∵EM∥AN，∴EM⊥面PCD∵EM⊂面PEC，∴面PEC⊥面PCD
变式：如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC， ∠BAD=90°，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将△ABE沿BE折起到△A₁BE的位置，如图2，证明CD⊥面A₁OC.

类型六 利用向量数量积证明垂直例题：如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD，侧面PBC⊥底面ABCD，证明：PA⊥BD。

证明：取BC得中点O，连结PO，∵平面PBC⊥底面ABCD，△PBC为等边三角形∴PO⊥底面ABCD以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系如下：