【真才实学】立体几何共线、共面题型归纳------看完的确有种“so easy”的感觉！！！

点击上方蓝色字体“高中数学王晖”关注王晖老师，免费获取各种知识干货和学习经验~~~您的点赞转发是对老师的最大鼓舞~~~

距高考还有199天

  共线专题  

1

结合两个平面的交线证共线例题：已知空间四边形ABCD，其中E是 AD的中点，H是CD上的点，且DH:HC=2:1，EH的延长线交面ABC与点O，求证：A，O，C点共线证明：根据题意可得：面ADC∩面ACB=AC又EH⊆面ADC又O∈EH则O∈面ADC又O∈面ABC∴点O为面ADC与ABC的公共点，即O点在面ADC与ABC的交线上∴A，O，C点共线

2

平面向量共线基本定理例题：设E，F，G，H分别为正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱C₁D₁，A₁D₁，CC₁，AB的中点，且M是FG的中点，求证：E，M，H三点共线证明：以D为坐标原点，以DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD₁所在直线为z轴，建立空间直角坐标系如下：
设正方体的边长为4，则可得：E(0，2，4)，F(2，0，4)，G(0，4，2)，H(4，2，0)∵M是FG的中点，可知：M(1，2，3)

  共面专题  

1

经过两条平行的直线，有且只有一个平面例题：已知空间四边形ABCD，其中E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且CG:CB=1:3，CH:CD=1:3，求证：E，F，G，H四点共面证明：根据题意，连接EF，HG，如下图所示：
∵E，F分别是AD和AB的中点，根据三角形的中位线可知：EF∥BD又CG:CB=1:3，CH:CD=1:3，可得：△CHG∽△CDB则有：HG∥BD∴HG∥EF∴E，F，G，H四点共面

2

过两条相交的直线有且只有一个平面例题：设P，Q，R，S，M，N分别为正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AB，BC，CC₁，C₁D₁，A₁D₁，A₁A的中点，求证：P，Q，R，S，M，N共面。证明：连接A₁B，MQ，NR，如下图：∵ P，N分别为AB，A₁A的中点，∴A₁B∥PN又M，Q分别是A₁D₁和BC的中点，且有A₁D₁∥BC∴四边形A₁BQM是平行四边形∴A₁B∥MQ∴PN∥MQ∵经过两条平行的直线，有且只有一个平面即可得，PN，MQ确定一个平面ɑ同理可得：PQ∥NR∴PQ，NR确定一个平面β又已知过两条相交的直线PN，PQ有且只有一个平面∴ɑ和β重合即可得：P，Q，R，S，M，N共面

3

经过直线外一点有且只有一个平面例题：已知：A₁，B₁，C₁和A₂，B₂，C₂分别是两条异面直线L₁和L₂上的任意三点，M，N，R，T分别是A₁A₂，B₁A₂，B₁B₂，C₁C₂的中点，求证：M，N，R，T四点共面。证明：根据三角形的中位线可知：MN∥L₁，NR∥L₂

又L₁与L₂为异面直线，且MN与NR相交于点N

∵过两条相交的直线有且只有一个平面

则M，N，R三点可以确认一个平面β

连接B₁C₂，且中点S，连接RS，ST，如下图所示：根据上图可知：RS∥L₂，又已知RN∥L₂，且RS∩RN=R∴R，S，N三点共线又M不在R，S，N所在的直线根据经过直线外一点有且只有一个平面可知：M，N，R，T四点共面

4

共面向量定理例题：如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为4，点E在AA₁上，点F在CC₁上，且AE=FC₁=1，求证：E，B，F，D₁四点共面。证明：
以D为坐标原点，以DC所在直线为x轴，DA所在直线为y轴，DD₁所在直线为z轴，建立空间直角坐标系如下：F(4，0，3)，B(4，4，0)，E(0，4，1)，D₁(0，0，4)，D(0，0，0)根据共面向量定理可知：当λ+μ+ϒ=1时，E，B，F，D₁四点共面。

往期优质数学干货链接：