【可圈可点】立体几何折叠问题的两大模块汇总，真是太出彩了，猛戳收藏！！！

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距高考还有190天

以下资料源于公众号“”品数学

立体几何中的折叠问题是历年高考命题的一大热点与难点,主要包括两个方面：一是平面图形的折叠问题,多涉及到空间中的线面关系、体积的求解以及空间角、距离的求解等问题；二是几何体的表面展开问题,主要涉及到几何体的表面积以及几何体表面上的最短距离等.

平面图形的折叠

解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形,抓住两个关键点：不变的线线关系、不变的数量关系.不变的线线关系,尤其是平面图形中的线线平行、线线垂直关系是证明空间平行、垂直关系的起点和重要依据；不变的数量关系是求解几何体的数字特征,如几何体的表面积、体积、空间中的角与距离等的重要依据.1. 折叠后的形状判断

例题：如下图,在下列六个图形中,每个小四边形皆为全等的正方形,那么沿其正方形相邻边折叠,能够围成正方体的是_____________(要求：把你认为正确图形的序号都填上)

【分析】根据平面图形的特征,想象平面图形折叠后的图形进行判断.也可利用手中的纸片画出相应的图形进行折叠.【答案】①③⑥【解析】①③⑥可以.②把横着的小方形折起后,再折竖着的小方形,则最上方的小方形与正方体的一个侧面重合,导致正方体缺少一个侧面；④把下方的小方形折起后,则上方的小方形中的第1,2个重合,导致正方体的底面缺少,不能折成正方体；⑤把中间的小方形当成正方体的底面,则右下方的小方形折叠不起来,构不成正方体.变式：下图代表未折叠正方体的展开图,将其折叠起来,变成正方体后的图形是（  ）

2.折叠后几何体的位置特征

例题：将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四边形ABCD(如图2),则在空间四边形ABCD中,AD与BC的位置关系是(　　)A．相交且垂直              B．相交但不垂直C．异面且垂直              D．异面但不垂直【答案】C【解析】在图1中的等腰直角三角形ABC中,斜边上的中线AD就是斜边上的高,则AD⊥BC,折叠后如图2,AD与BC变成异面直线,而原线段BC变成两条线段BD、CD,这两条线段与AD垂直,即AD⊥BD,AD⊥CD,故AD⊥平面BCD,所以AD⊥BC.变式：如图,在正方形ABCD中,点E,F分别为边BC,AD的中点,将△ABF沿BF所在直线进行翻折,将△CDE沿DE所在直线进行翻折,在翻折过程（   ）A. 点A与点C在某一位置可能重合B. 点A与点C的最大距离为2ABC. 直线AB与直线CD可能垂直

D. 直线AF与直线CE可能垂直

3. 折叠后几何体的数字特征折叠后几何体的数字特征包括线段长度、几何体的表面积与体积、空间角与距离等,设计问题综合、全面,也是高考命题的重点.解决此类问题的关键是准确确定折叠后几何体的结构特征以及平面图形折叠前后的数量关系之间的对应。

例题1：如图所示,等腰△ABC的底边AB=6√6，高CD=3,点E是线段BD上异于点B,D的动点,点F在BC边上,且EF⊥AB,现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置,使PE⊥AE,记BE=x，V(x)表示四棱锥P-ACFE的体积。

(1) 求V(x)的表达式；(2) 当x为何值时,V(x)取得最大值？变式：在平面四边形ABCD 中，AB=BC=2, AC=AD=2√2 , ∠CAD=30°，现沿对角线AC折起,使得平面DAC⊥平面ABC，则此时得到的三棱锥D-ABC外接球的表面积。

例题2：如图,矩形ABCD中,AB=12,AD=6,E、F分别为CD、AB边上的点,且DE=3，BF=4,将△BCE沿BE折起至△PBE位置(如下图所示),连结AP、EF、PF,其中PF=2√5。

(1) 求证:PF⊥平面ABED；      (2) 求直线AP与平面PEF所成角的正弦值.【点评】折叠问题分析求解两原则：(1)折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系；(2)折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持不变.

变式：如图(1)，已知△ABC是边长为6的等边三角形，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足AD=CE=2，如图(2)，将△ADE沿DE折成四棱锥A₁-BCED，且有平面A₁DE⊥平面BCED。

(1) 求证：A₁D⊥平面BCED；(2) 记A₁E的中点为M，求二面角M-DC-A₁的余弦值．

几何体的展开几何体表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程,一般地,涉及到多面体表面距离的问题,解题时不妨将它展开成平面图形试一试.1. 展开后形状的判断例题：把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如右下图）,请根据各面上的图案判断这个正方体是（　　）解析：这是图③模型,在右图中,把中间的四个正方形围起来做“前后左右”四个面,有“空心圆”的正方形做“上面”,显然是正方体C的展形图,故选（C）.变式：水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示.如右图,是一个正方体的平面展开图,若图中的“似”表示正方体的前面, “锦”表示右面, “程”表示下面.则“祝”、 “你”、 “前”分别表示正方体的______________________.

2.展开后的数字特征

如图,已知圆柱体底面圆的半径为2/π,高为2,AB,CD分别是两底面的直径,AD,BC是母线．若一只小虫从A点出发,从侧面爬行到C点,求小虫爬行的最短路线的长度．【点评】几何体表面上的最短距离需要将几何体的表面展开,将其转化为平面内的最短距离,利用平面内两点之间的距离最短求解.但要注意棱柱的侧面展开图可能有多种展开图,如长方体的表面展开图等,要把不同展开图中的最短距离进行比较,找出其中的最小值.

变式：如图,在长方体中,AB=3,BC=4,CC₁=5 ,求沿着长方体表面从A到C₁的最短路线长. 

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